山东省青岛市2014届高三3月自评考试数学(理)试题.pdf

高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第Ⅰ卷（选择题 共0分）
一、选择题：本大题共1小题．每小题5分，共0分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
．复数（是虚数单位虚部为
A． B． C． D．
．已知全集，集合，，则
A． B． C． D．
3．某中学高中一年级有人，高中二年级有人，高中三年级有人，现从中抽取一个容量为人的样本，则高中二年级被抽取的人数为
A． B． C． D．
在处的切线方程为
A． B． C． D．
5．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是
A．若则B．若则
C．若则D．若则
6．设其中实数满足，若的最大值为，则的最小值为
A．B．C．D．
7．函数的部分图象
如图所示，若，且，则
A． B． C． D．
8．在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施个程序，其中程序只能出现在第一或最后一步，程序和在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有A．种 B．种 C． D．种9. 函数的图象大致是发出的光线，沿平行于抛物线的
对称轴方向射向此抛物线上的点，经抛物线反射后，穿过焦点射
向抛物线上的点，再经抛物线反射后射向直线上
的点，经直线反射后又回到点，则等于
A． B． C．D．
第Ⅱ卷（非选择题 共分）
二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分．
1. 已知向量，，
若，则实数______;
12．圆的圆心
到直线的距离 ;
13．如图是某算法的程序框图，若任意输入中的实数，则输出的大于的概率为 ．均为正实数，且，
则的最小值为__________；
15. 如果对定义在上的函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“函数”.给出
下列函数①;②;③;
④.以上函数是“函数”的所有序号为 .
三、解答题：本大题共6小题,共7分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
1. （本小题满分12分），，.
（Ⅰ）求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）在中,分别是角的对边,,,
若，求的大小.
17．（本小题满分12分）
个，从中任取个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用表示取球终止时取球的总次数．
（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；
（Ⅱ）求随机变量的概率分布及数学期望．
18．（本小题满分12分）
中, ，
、分别为、的中点，，.
（Ⅰ）证明：∥面；
（Ⅱ）求面与面所成锐角的余弦值.
19．（本小题满分12分）
为正整数）,求数列的前项和.
20．（本小题满分13分）
已知函数Ⅰ）求的最值Ⅱ）当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时，这样的区间称为函数的保值区间设，试问函数在上是否存在保值区间？若存在，请求出一个保值区间；若不存在，请说明理由21．（本小题满分14分）
的取值范围；
（Ⅲ）作直线与椭圆交于不同的两点,,其中点的坐标为,若点是线段垂直平分线上一点,且满足,求实数的值.
高三自评试卷
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共1小题．每小题5分，共0分．二、填空：本大题共小题，每小题分，共分．. 13. 14． 15．②③
三、解答题：本大题共6小题，共7分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分）
……………………4分
所以递减区间是.……………………5分
（Ⅱ）由和得: ，而
又,所以
因为，同理可得：，显然不符合题意，舍去. …9分
所以……………………10分
由正弦定理得: ……………………12分
17．（本小题满分12分）(Ⅰ)设袋中原有个白球，则从个球中任取个球都是白球的概率为…2分
由题意知，化简得．
解得或（舍去）……………………5分
故袋中原有白球的个数为……………………6分
（Ⅱ）由题意，的可能取值为.
；；
；.
所以取球次数的概率分布列为：
……………10分
所求数学期望为…………………12分
18．（本小题满分12分） (Ⅰ)因为、分别为、的中点，
所以∥……………………2分
因为面，面
所以∥面……………………4分
（Ⅱ）因为
所以
又因为为的中点
所以
所以
得，即……………6分
因为，所以
分别以为轴建立坐标系
所以
则………8分
设、分别是面与面的法向量
则，令
又，令……………11分
所以……………12分
19．（本小题满分12分）解:(Ⅰ)由题设得:,所以所以 ……………2分
当时，,数列是为首项、公差为的等差数列
故.……………5分
（Ⅱ）由(Ⅰ)知: ……………6分
……………9分
设
则
两式相减得：
整理得： ……………11分
所以 ……………12分
20．（本小题满分1分）解Ⅰ）求导数，得．，解得．当时，，在上是减函数； 当时，，在上是增函数．
故在处取得最小值．（Ⅱ）函数在上不存在保值区间,证明如下：
假设函数存在保值区间,得：
因时， 为增函数，所以
即方程有两个大于的相异实根
设
因，，所以在上单增
所以在区间上一个零点
这与方程有两个大于的相异实根矛盾
所以假设不成立，即函数在上不存在保值区间.
21．（本小题满分1分）
设,，由于,所以有
……………7分
又是椭圆上的一点,则
所以
解得：或 ……………9分
（Ⅲ）由, 设
根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为,则直线的方程为
把它代入椭圆的方程,消去,整理得:
由韦达定理得,则,
所以线段的中点坐标为
(1)当时, 则有,线段垂直平分线为轴
于是
由,解得: ……………11分
(2) 当时, 则线段垂直平分线的方程为
因为点是线段垂直平分线的一点
令,得:
于是
由,解得:
代入,解得:
综上, 满足条件的实数的值为或. ……………14分
是
输入
？
输出
结束
开始
否
（第7题）。