2024届新高考一轮复习人教A版 第八章 第7节 抛物线 课件(40张)

所以 p=4.
D )
2.( 选 择 性 必 修 一 P136T3 改 编 ) 过 抛 物 线 y2=4x 的 焦 点 的 直 线 l 交 抛 物 线 于
P(x1,y1),Q(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,则|PQ|等于(
A.9
B.8
C.7
B
D.6
解析:抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.
②因为未知数只有p,所以只需利用待定系数法确定p的值.
与抛物线有关的最值问题
[例1] (多选题)(2022·福建泉州模拟)已知A(a,0),M(3,-2),点P在抛物线
y2=4x上,则下列选项正确的是(
)
A.当a=1时,|PA|最小值为1
B.当a=3时,|PA|的最小值为3
C.当a=1时,|PA|+|PM|的最小值为4
第7节
抛物线
[课程标准要求]
1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、
顶点、离心率).
2.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.
1.抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 相等 的点的轨迹叫
做抛物线.点F叫做抛物线的 焦点
,直线l叫做抛物线的 准线
2
2

所以 y =-4x 或 x = y.


答案:y2=-4x 或 x2= y


抛物线的定义及标准方程
2
1.(2022·全国乙卷)设 F 为抛物线 C:y =4x 的焦点,点 A 在 C 上,点 B(3,0),若
B
|AF|=|BF|,则|AB|等于(
A.2
解析:法一
B.2
)
D.3
C.3
焦半径.过抛物线焦点的直线与抛物线相交所形成的线段称为抛物线的焦点弦.
求解焦点弦的长度时,常利用抛物线的定义转化为交点到相应的准线的距离.
1.抛物线C:y2=2px(p>0)上一点M(1,y0)到焦点F的距离为3,则p的值为(
A.1
B.2
C.3
D.4

解析:由抛物线的定义可知,|MF|=1+ =3,
D.当a=3时,|PA|-|PM|的最大值为2
解析:当a=1时,A(1,0)为抛物线的焦点,
设P(x0,y0),x0≥0,则|PA|=x0+1≥1,
故|PA|的最小值为1,A正确;
当a=1时,设抛物线的准线为l:x=-1,如图(1),过点P作PN⊥l于点N,
此时|PA|+|PM|=|PN|+|PM|,故当 N,P,M 三点共线时,|PA|+|PM|取得最小值,此时

F(0,)

F(0,-)
离心率
准线
方程
范围
开口
方向
e=1




x=-
x=
y=-
y=
x≥0,
x≤0,
y≥0,
y≤0,
y∈R
y∈R
x∈R
x∈R
向右
向左
向上
向下
(1)若抛物线的准线与对称轴的交点为M,则抛物线的顶点为焦点与M的中点.
(2)抛物线的焦半径与焦点弦:抛物线上任意一点P(x0,y0)与焦点F的连线段称为
.
若点F在直线l上,则点的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线.
2.抛物线的标准方程与几何性质
标准
方程
y2=2px
y2=-2px
x2=2py
x2=-2py
(p>0)
(p>0)
(p>0)
(p>0)
p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离
图形
顶点坐标
O(0,0)
对称轴
焦点坐标
x轴

F(,0)
y轴

F(-,0)

由题意可知 F(1,0),准线方程为 x=-1,设 A( ,y0),


由抛物线的定义可知|AF|= +1,

又|BF|=3-1=2,由|AF|=|BF|,可得 +1=2,解得 y(1,-2),不妨取 A(1,2),故|AB|= (-) + (-) =2 .
的圆心到点(0,3)的距离与到直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义可知,
所求轨迹是一条抛物线.
3.(2022·河南商丘三模)写出一个同时满足以下条件的抛物线C的方程为
.
①C 的顶点在坐标原点;
②C 的对称轴为坐标轴;

③C 的焦点到其准线的距离为 .


解析:由①②可知 C 的方程为抛物线的标准方程,由③可知 p= ,所以抛物线 C 的
2

方程可以为 y =x(答案不唯一).

答案:y2=x(答案不唯一)

4.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN
的中点,则|FN|=
解析:法一
.
依题意可知,抛物线的焦点 F(2,0),设 N(0,t),由中点坐标公式得

M(1,),|MF|=2+1=3,
法二
由题意可知 F(1,0),|BF|=2,
所以|AF|=2,抛物线通径为 4,
所以|AF|=2 为通径的一半,
所以 AF⊥x 轴,
所以|AB|= + =2 .
2.设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则圆心C的轨迹为(
A.抛物线
B.双曲线
C.椭圆
D.圆
A )
解析:由题意知,圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,即圆C
根据题意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.
)

3.抛物线 y= x2 的焦点到准线的距离为

.
解析:因为抛物线方程可以化为x2=4y,所以p=2,焦点到准线的距离为p=2.
答案:2
4.顶点在原点,且过点P(-1,2)的抛物线的标准方程是
2
2
.

解析:设抛物线的方程是 y =kx 或 x =my,代入点 P(-1,2),解得 k=-4 或 m= ,
所以|FN|=2|MF|=6.
法二
如图,过 M,N 分别作抛物线准线的垂线,垂足分别为 M1,N1,设抛物线的准线
与 x 轴的交点为 F1,则|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.
因为 M 为 FN 的中点,所以|MM1|=3,
由抛物线的定义知|FM|=|MM1|=3,
从而|FN|=2|FM|=6.
答案:6
(1)利用抛物线的定义可解决的常见问题
①轨迹问题:用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是
否为抛物线.
②距离问题:涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,注意在
解题中利用两者之间的关系相互转化.
(2)求抛物线的标准方程的方法
①因为抛物线方程有四种标准形式,因此求抛物线方程时,需先定位,再定量.
(|PA|+|PM|)min=3+1=4,C 正确;