2018-2019学年湖北省孝感高二下学期期中联考数学(文)试题

2018-2019学年湖北省孝感高二下学期期中联考
数学（文）试题
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.命题“，”的否定是（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题直接写出结果.
【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“，”的否定是：“，”，
故选C.
【点睛】本题考查了全称命题与特称命题的形式，考查了全称命题的否定，是基础题．
2.已知复数，则的虚部是（）
A. 1
B. -1
C.
D.
【答案】A
【分析】
化简复数z，写出它的共轭复数，即可得出的虚部．
【详解】因为，所以的虚部为1.
故选A.
【点睛】本题考查了复数的化简与运算问题，考查了共轭复数及虚部的概念，是基础题.
3.点的直角坐标为，则点的极坐标可以为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到结论．
【详解】∵点P的直角坐标为，
∴，
．
∵点P在第二象限，
∴取θ．
∴点P的极坐标方程为（，）．
故选：B．
【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化，确定角的时候，要注意点所在的象限，，属于基础题．
4.椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】
由椭圆的方程，求出a和c，进而求出离心率。

【详解】由题意知椭圆中，，，，故离心率.
故选A.
【点睛】本题考查了椭圆离心率的求法，属于基础题。

5.已知双曲线：的两条渐近线互相垂直，焦距为8，则的方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意，得到a＝b，再根据c＝4，即可求出a2＝b2＝8．
【详解】双曲线C：1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为，
若两条渐近线互相垂直，则渐近线的倾斜角为或，则即a＝b，
由2c＝8，可得c＝4
由a2+b2＝c2＝16，可得a2＝b2＝8，
∴的方程为，
故选：D．
【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查双曲线的渐近线方程的运用，属于基础题．
6.极坐标方程表示的曲线是（）
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线
D. 抛物线【答案】C
【解析】
【分析】
利用即可化为直角坐标方程，即可判断.
【详解】由，得，又由则xy=1,即，所以表示的曲线是双曲线.
故选C.
【点睛】本题考查了极坐标化为直角坐标方程的方法，考查了曲线方程的特点，属于基础题．
7.“”是“直线与直线互相垂直”的（）
A. 充分不必要条件
B. 充要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据直线垂直的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】若直线与直线互相垂直，则
，解得.
又m＝﹣2时，两直线分别为-x+y+1=0和x+y+1=0，满足斜率积为-1，所以满足垂直，
∴“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件，
故选B.
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件，求出m是解决本题的关键．
8.某工厂产品的组装工序图如图所示，箭头上的数字表示组装过程中所需的时间（单位：分钟），则组装该产品所需要的最短时间为（）
A. 12分钟
B. 13分钟
C. 15分钟
D. 17分钟【答案】C
【解析】
【分析】
由已知中的工序流程图，计算出每条组装工序从开始到结束的时间，比较即可得到答案．【详解】从需8分钟，
从需10分钟，
以上两条工序可同时进行最少需要10分钟，
由需5分钟，故所需的最短时间为15分钟.
故选C.
【点睛】本题考查的知识点是工序流程图，关键是分析所给流程图，从中获得正确信息，属于基础题．
9.在极坐标系中，曲线：上恰有3个不同的点到直线：
的距离等于1，则（）
A. 2
B. 2或6
C. -6
D. -2或-6 【答案】B
【解析】
分析】
推导出曲线C1与曲线C2的普通方程，分析可得直线与圆相交，且圆心到直线的距离为1，由此能求出m．
【详解】曲线的直角坐标方程为，
曲线的直角坐标方程为，
由题意知直线与圆相交，且曲线的圆心到直线的距离为1，
则，故或.
故选B.
【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
10.甲、乙、丙三个学生中有一人申请了去新疆支教，当他们被问到谁申请了去新疆支教时，乙说：甲没有申请；丙说：乙申请了；甲说：乙说对了.如果这三人中有两人说的是真话，一
人说了假话，那么申请去新疆支教的学生是（）
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 不确定【答案】C
【解析】
【分析】
分别假设乙与丙说的假话，分析三个人的说法，由此能求出结果．
【详解】若乙说了假话，则甲、丙说了真话，那么甲、乙都申请了，与题意只有一人申请矛盾；
若丙说了假话，则甲、乙说的话为真，甲、乙都没有申请，申请的人是丙，满足题意，
故选C.
【点睛】本题考查简单的合情推理知识，考查推理论证能力，是基础题．
11.设函数是偶函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
构造函数g（x），利用导数得到，g（x）在（0，+∞）是增函数，再根据f（x）为偶函数，得到f（2）＝0，从而解得f（x）>0的解集．
【详解】令，∴，
∵当时，，
∴当时，，∴在上是增函数.
又∵，
∴，当时，，即；
当时，，即.
又∵是偶函数，∴当时，，
故不等式的解集是.
故选D.
【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，考查了构造函数及运用导数求解单调性的方法，综合运用了函数的奇偶性，属于中档题．
12.已知双曲线的离心率为2，，分别是双曲线的左、右焦点，点
，，点为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，，则（）
A. 4
B. 8
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据离心率公式和双曲线方程的a，b，c的关系，可知，根据题意表示出点p和m的取值范围，利用平面向量数量积的坐标表示得关于m的一元二次函数，问题转化为求在给定区间内二次函数的最大值与最小值，进而问题得解.
【详解】由，得，故线段所在直线的方程为，又点
在线段上，可设，其中，由于，即
，得，所以
．由于，可知当时，取得最小值，此时，当时，取得最大值，此时，则．故选A.
【点睛】本题考查了平面向量在解析几何中应用，涉及了双曲线的简单性质，平面向量的数量积表示，二次函数在给定区间的最值问题；关键是利用向量作为工具，通过运算脱去“向量外衣”，将曲线上的点的坐标之间的关系转化为函数问题，进而解决距离、夹角、最值等问题.
二、填空题.把答案填在答题卡中的横线上.
13.圆被直线截得的弦长为__________．
【答案】2
【解析】
【分析】
直接联立极坐标系下直线和圆的极坐标方程，利用的几何意义，由此能求出弦长．
【详解】将代入圆的极坐标方程，得，则，，故弦长为. 故答案为2.
【点睛】本题考查了极坐标系下弦长的求解方法，考查了极坐标方程的应用，属于基础题.
14.如图，函数的图象在点处的切线方程为，则
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
观察图象可得点P（2，f（2））在切线x﹣2y+2＝0上，故可求出f（2）；由导数的几何意义可得图象在点P处的切线的斜率k＝f′（2），即可得到结论．
【详解】由图可知，，将代入，得，
∴过，即，
∴.
故答案为.
【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，解决切线问题时，要充分利用导数的几何意义结合数形结合的知识来解决．
15.某企业对4个不同的部门的个别员工的年旅游经费调查发现，员工的年旅游经费（单位：
万元）与其年薪（单位：万元）有较好的线性相关关系，通过下表中的数据计算得到关于的线性回归方程为.
那么，相应于点的残差为__________．
【答案】0.0284
【解析】
【分析】
将x=10代入线性回归方程，求得，利用残差公式计算即可.
【详解】当时，，
∴残差为y-.
故答案为.
【点睛】本题考查了线性回归方程的应用问题，考查了残差的计算公式，是基础题．
16.已知抛物线的方程为，是焦点，且点，为抛物线上任意一点，求点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
如图所示，过P点作PB⊥l于点B，利用抛物线的定义可得PA+PB＝PA+PF，可知当点A、P、F 三点共线，因此PA+PF取得最小值FA，求出即可．
详解】将x＝5代入x2＝4y，得y＝＞4，
所以点A在抛物线外部．抛物线焦点为F（0，1），准线l：y＝﹣1．
如图所示，过P点作PB⊥l于点B，
则PA+PB＝PA+PF．
由图可知，当A、P、F三点共线时，PA+PF的值最小，
所以PA+PF的最小值为FA＝，
故点到点的距离与点到抛物线准线的距离之和的最小值为．
故答案为
【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，熟练掌握抛物线的定义及其三点共线时PA+PF 取得最小值是解题的关键．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.2016年1月1日，我国全面实行二孩政策，某机构进行了街头调查，在所有参与调查的青年男女中，持“响应”“犹豫”和“不响应”态度的人数如下表所示：
根据已知条件完成下面的列联表，并判断能否有的把握认为犹豫与否与性别有关？请说明理由.
参考公式：
参考数据：
【答案】见解析
【解析】
【分析】
找出男、女青年持“犹豫”态度的人数，可完成2×2列联表，计算K2，对照临界值得出结论；
【详解】由题意知，男性青年持“犹豫”态度的人数为300，女性青年持“犹豫”态度的人数为200，由此完成列联表如下
结合列联表的数据计算的观测值
，
所以有的把握认为犹豫与否与性别有关.
【点睛】本题考查了独立性检验的实际应用，考查了卡方的计算，属于基础题．
18.已知函数，.
（1）当时，求的极值；
（2）若有三个单调区间，求实数的取值范围.
【答案】（1），.（2）
【解析】
【分析】
（1）由a ＝1得到f （x ）的解析式，求出导函数等于0时x 的值，讨论函数的单调性，可得到函数的极值；
（2）由题意转化为f ′（x ）＝0有两个不相等的实数根，利用可求得结论． 【详解】（1）当时，则
，
即. 当时，则
或-1. 当时，；此时在
递减，
当时，
. 此时
在
递增， 故
，.
（2）若函数有三个单调区间，则有两个不等实根.
即
，解得
. 故的取值范围是
.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调区间和极值问题，考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．
19.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐
标方程为
.
（1）求的直角坐标方程，并求的半径； （2）当的半径最小时，曲线与交于，两点，点
，求的面积. 【答案】（1）圆的直角坐标方程
，半径为
； （2
）
. 【解析】 【分析】
（1）利用极坐标与直角坐标的互化，求出曲线C 的直角坐标方程，可得的半径； （2）利用几何意义求得，由此得出结论．
【详解】（1）由，得
，
即，此即为的直角坐标方程
.
的半径为.
（2）
，当
时，的半径最小，
此时的方程为.
因为曲线经过的圆心，
且，所以，
则，，
故
的面积为. 【点睛】本题考查极坐标方程、直角坐标方程的转化，考查了圆的几何意义，属于中档题．20.已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一点，，且
（为坐标原点）.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点的直线与抛物线交于，两点，求面积的最小值.
【答案】（1）（2）最小值为8
【解析】
【分析】
（1）由抛物线的几何性质知，解得p即可.
（2）由题意知直线斜率不为0，可设直线方程为，与抛物线联立，利用点到直线的距离公式及弦长公式得出面积关于t的函数，从而得出面积的最小值．
【详解】（1）由抛物线的性质，知焦点到准线的距离为8，
由，得，即.
抛物线的方程为.
（2）焦点，由题意知直线斜率不为0，所以设直线方程为.
与的方程联立，得.
由韦达定理可得，.
又坐标原点到直线的距离，
因为，
所以
.
当t=0时，取到最小值8，故面积的最小值为8.
【点睛】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查了点到直线的距离公式及弦长公式的应用，属于中档题．
21.已知函数（
且
）的图象在
处的切线与直线
平行.
（1）求； （2）若方程有两个不等的实根，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】 【分析】
（1）求导数，利用导数值为1，求出a ； （2）利用导数分析f （x ）的
单调性，得出f(x)的大致图像，可得实数m 的取值范围；
【详解】（1）因为，
由，解得
.
（2），
，
函数在
上单调递增，在上单调递减，
，
又因为
时，
，
的大致图像如图：
方程有两个不等的实根，即函数
的图象和直线
有两个不同的交
点， 故
.
【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了将方程解的个数问题转化为对应函数图象的交点个数问题，可使问题直观易懂；考查了分析解决问题的能力，属于中档题．
22.已知椭圆：的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线：与椭圆相交于，两点，若，试用表示. 【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）由题意列方程组，求解方程组即可得解；
（2）由直线和椭圆联立，利用弦长公式结合韦达定理求表示即可.
【详解】（1）由题意解得
故椭圆C的方程为．
（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由，得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8＝0，
所以，．
因为|AB|＝4|，所以，
所以，
整理得k2(4-m2)＝m2-2，显然m2≠4，又k＞0，所以．
故．
【点睛】本题主要考查了直线与椭圆相交的弦长问题，属于基础题.。