第五节 定积分应用
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分的重要概念之一，它在许多实际问题的求解中起着重要作用。
本文将介绍一些定积分的应用，并探讨它们在不同领域中的具体应用情况。
1. 几何学中的应用在几何学中，我们经常需要计算曲线与坐标轴之间的面积。
通过使用定积分，可以轻松解决这个问题。
以求解曲线 y = f(x) 与 x 轴之间的面积为例，我们可以将其划分为无穷多个宽度非常小的矩形，然后将这些矩形的面积相加，最终得到曲线与 x 轴之间的面积。
这个过程可以通过定积分来表示，即∫[a,b] f(x) dx，其中 a 和 b 分别是曲线的起始点和终止点。
2. 物理学中的应用在物理学中，定积分广泛应用于求解各种与物理量有关的问题。
例如，在动力学中，我们可以通过计算物体的位移和速度的定积分来求解物体的加速度。
同样地，在力学中，定积分可以用于计算物体所受的力的功。
这些应用都需要将物理量表示成关于时间的函数，并使用定积分来求解相关问题。
3. 经济学中的应用经济学也是定积分的应用领域之一。
在经济学中，我们经常需要计算一段时间内的总收益或总成本。
通过将这段时间划分为无数个非常小的时间段，然后计算每个时间段内的收益或成本，最后再将这些值相加，我们可以用定积分来表示这段时间内的总收益或总成本。
这种方法在经济学中有着广泛的应用，例如计算企业的总利润等。
4. 概率统计学中的应用在概率统计学中，定积分可以用于求解概率密度函数下的某个区间的概率。
在概率密度函数中，曲线下的面积表示了该事件发生的概率。
通过将概率密度函数在某个区间上的定积分，我们可以得到该区间内事件发生的概率。
这种方法在概率论和数理统计中具有重要的应用，例如计算正态分布下的概率，或者计算随机变量的期望值等。
综上所述，定积分在几何学、物理学、经济学和概率统计学等各个领域都有着重要的应用。
无论是计算面积、求解物理量、计算总收益还是计算概率，定积分都提供了一种有效的数学工具。
通过理解和掌握定积分的应用，我们可以更好地解决实际问题，并深入研究各个领域中的相关理论。
高考数学复习： 定积分的概念与微积分基本定理、定积分的简单应用
的图形的面积S,正确的是 ( )
A.S= 10 (x-x2)dx C.S= 10 (y2-y)dy
B.S= 10 (x2-x)dx D.S= 10 (y- y )dy
【解析】选A.根据题意,如图所示,阴影部分为曲线 y=x2与y=x所围成的图形,其面积S= 10 (x-x2)dx.
2.(选修2-2P67T7改编)直线y=3x与曲线y=x2围成图形
b a
f(x)dx=_F_(_b_)_-_F_(_a_)_,这个结论叫做微积
分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼茨公式.其中F(x)叫做
f(x)的一个原函数.为了方便,常把F(b)-F(a)记成
F(x)|ab ,即
b a
f(x)dx=F(x)
|ab
=F(b)-F(a).
【常用结论】 1.定积分应用的两条常用结论 (1)当曲边梯形位于x轴上方时,定积分的值为正;当曲 边梯形位于x轴下方时,定积分的值为负;当位于x轴上 方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时, 定积分的值为零.
(1)设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,则
b a
f(x)dx
= ab f(t)dt.
(
)
(2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续且恒正,
则 ab f(x)dx>0. ( )
(3)若
b a
f(x)dx<0,那么由y=f(x),x=a,x=b以及x轴
所围成的图形一定在x轴下方. ( )
(4)微积分基本定理中的F(x)是唯一的. ( )
第五节 定积分的概念与微积分基本定理、
【知识梳理】 1.定积分的概念与几何意义 (1)定积分的定义 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b将区间[a,b]等分成n个
高等数学第五章定积分及其应用
⾼等数学第五章定积分及其应⽤第五章定积分及其应⽤第⼀节定积分概念1、内容分布图⽰★曲边梯形★曲边梯形的⾯积★变速直线运动的路程★变⼒沿直线所作功★定积分的定义★定积分存在定理★定积分的⼏何意义★定积分的物理意义★例1 ★定积分的近似计算★例2★内容⼩结★课堂练习★习题5-1 ★返回2、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1利⽤定积分的定义计算积分01dx x 2?.讲解注意：例2的近似值．⽤矩形法和梯形法计算积分-102dx ex讲解注意：第⼆节定积分的性质1、内容分布图⽰★性质1-4★性质5及其推论★例1★性质6★例2★例3★性质7★例4★函数的平均值★例5★内容⼩结★课堂练习★习题5-2★返回2、讲解注意：例1⽐较积分值dx e x ?-2和dx x ?-2的⼤⼩.讲解注意：例2估计积分dx xπ+03sin 31的值.讲解注意：例3估计积分dx xxππ/2/4sin 的值.讲解注意：例4设)(x f 可导1)(lim =+∞→x f x 求且,,dt t f tt x x x ?++∞→2)(3sin lim .讲解注意：例5计算纯电阻电路中正弦交流电t I i m ωsin =在⼀个周期上的()功率的平均值简称平均功率.讲解注意：第三节微积分基本公式1、内容分布图⽰★引例★积分上限函数★积分上限函数的导数★例1-2★例3★例4★例5★例6★例7-8 ★例9★例10★例11★例12★例13★例14★内容⼩结★课堂练习★习题5-3★返回2、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1?x tdt dxd 02cos 求[].讲解注意：例2dt e dxdx t ?321求[].讲解注意：例3.)()((3);)()((2);)((1).,)(00sin cos )(?-===x x x x t f dt t x f x F dt t xf x F dt e x F x f 试求以下各函数的导数是连续函数设讲解注意：例4求.1cos 02x dte x t x ?-→讲解注意：设)(x f 在),(+∞-∞内连续0)(>x f .证明函数且,??=xxdtt f dtt t x F 00)()()(在),0(+∞内为单调增加函数.f 例5讲解注意：例6],1[)ln 21()(1上的最⼤值与最⼩在求函数e dt t t x I x ?+=.值讲解注意：例7求.dx x ?12讲解注意：例8求.1dxx ?--12讲解注意：例9设求??≤<≤≤=215102)(x x x x f ?2讲解注意：例10.|12|10-dx x 计算讲解注意：.cos 1/3/22?--ππdx x 计算例11讲解注意：例12求.},max{222?-dx x x讲解注意：例13计算由曲线x y sin =在,0π之间及x .轴所围成的图形的⾯积x =x =A讲解注意：例14?,./5.,362了多少距离问从开始刹车到停车刹车汽车以等加速度到某处需要减速停车速度⾏驶汽车以每⼩时s m a km -=汽车驶过设讲解注意：第四节换元法积分法和分部积分法1、内容分布图⽰★定积分换元积分法★例1★例2★例3★例4★定积分的分部积分法★内容⼩结★课堂练习★习题5-4★返回★例5★例6★例7★例16★例17★例182、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1计算.sin cos /25?πxdx x讲解注意：例2?a0dx 计算.0a >)(-2x 2a讲解注意：例3计算.sin sin 053?π-dx x x讲解注意：例4计算定积分dx x x ++412.2?讲解注意：例5当)(x f 在],[a a -上连续,,,)(x f 为偶函数当当有(1)(2)则 ??-=aaadx x f dx x f 0)(2)()(x f 为奇函数有?-=aa dx x f 0)(.;讲解注意：例6.--+dx e x x x 计算讲解注意：例7计算.11cos 21122?--++dx x xx x讲解注意：例8若)(x f 在]1,0[上连续证明,(1)?=00)(cos )(sin dx x f dx x f ;(2)πππ=)(sin 2)(sin dx x f dx x xf ,由此计算?π+02cos 1sin dx x x x ./2π/2π讲解注意：例9计算.arcsin 0?xdx 1/2讲解注意：例10计算.2cos 10+x xdx/4π讲解注意：例11计算.sin 0?xdx /2π2x讲解注意：例12.1dx e x 计算1/2讲解注意：例13.1)1ln(102++dx x x 求定积分讲解注意：例14-22ln e e dx x x求.讲解注意：例15.,612ln 2x e dt xt 求已知?=-π讲解注意：例16).(,)(13)()(1022x f dx x f x x x f x f 求满⾜⽅程已知? --=讲解注意：例17证明定积分公式xdx I n n n 0--?-??--?-=n n n n n n n n n n ,3254231,22143231π为正偶数.为⼤于1的正奇数./2π/2π??讲解注意：例18?π05.2cos dx x 求讲解注意：第五节定积分的⼏何应⽤1、内容分布图⽰★平⾯图形的⾯积A ★例1 ★例2 ★平⾯图形的⾯积B ★例3 ★例4 ★平⾯图形的⾯积C ★例5 ★平⾯图形的⾯积D★例6 ★例7 ★例8 旋转体★圆锥★圆柱★旋转体★旋转体的体积★例9 ★例 10 ★例 11 ★平⾏截⾯⾯积为已知的⽴体的体积★例 12 ★例 13 ★内容⼩结★课堂练习★习题5-5 ★返回2、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1]1,1[]1,0[2之间的⾯积.和轴上⽅在下⽅与分别求曲线-∈∈=x x x x y讲解注意：例2],1[ln 之间的⾯积.轴上⽅在下⽅与求e x x y =讲解注意：例3.1,1,03所围图形⾯积与直线求=-===x x y x y讲解注意：例44,0,042所围图形⾯积.和直线求由曲线===-=x x y x y讲解注意：例5.2所围成平⾯图形的⾯积与求由抛物线x y x y ==讲解注意：例642,2,所围成图形的⾯积.求由三条直线=-=+=y x y x x y422围成图形的⾯积与求+-==x y x y讲解注意：例8.0cos sin 之间所围图与在和求由曲线π====x x x y x y 形的⾯积讲解注意：例9r 圆锥体的直线、h x =及x 轴围直线连接坐标原点O 及点),(r h P 成⼀个直⾓三⾓形.x 轴旋转构成⼀个底半径为计算圆锥体的体积.h ,将它绕⾼为,的讲解注意：例10.12222y x V V y x by a x 和积轴旋转所得的旋转体体轴和分别绕求椭圆=+讲解注意：例112,22轴旋转⽽成的旋转体的体积.轴和所围成的图形分别绕求由曲线y x x y x y -==讲解注意：例12⼀平⾯经过半径为R 的圆柱体的底圆中⼼计算这平⾯截圆柱体所得⽴体的体积.并与底⾯交成,,⾓讲解注意：例13.的正劈锥体的体积的圆为底、求以半径为h R ⾼位平⾏且等于底圆直径的线段为顶、讲解注意：第六节积分在经济分析中的应⽤1、内容分布图⽰★由边际函数求原经济函数★需求函数★例1★总成本函数★例2★总收⼊函数★例3★利润函数★例4由边际函数求最优问题★例5★例6其它经济应⽤★例7⼴告策略★消费者剩余★例8★国民收⼊分配★例9★返回2、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1),80,(80,4) (,==-='q pp qp格的函数关系.时即该商品的最⼤需求量为且边际需求的函数已知对某商品的需求量是价格求需求量与价讲解注意：例2, 90,2)(0.2 ==ceqCq 求总成本函数.固定成本的函数若⼀企业⽣产某产品的边际成本是产量讲解注意：例310,40),/(2100)(个单位时单位时的总收⼊及平均收⼊求⽣产单位元单位时的边际收⼊为已知⽣产某产品-='q q R q 并求再增加⽣产所增加的总收⼊.讲解注意：例45,10,413)(,225)(0==-='-='q c q q C q q R 时的⽑利和纯利.求当固定成本为边际成本已知某产品的边际收⼊讲解注意：例5吨产品时的边际成本为某企业⽣产q )/30501)(吨元q q C +='(?,900试求产量为多少时平均成本最低元且固定成本为讲解注意：例6q q q C q q R ,1(3)?(2);54(1)),/(/44)(),/(9)(+='-='求总成本函数和利润函数.万元已知固定成本为当产量为多少时利润最⼤万台时利润的变化量万台增加到试求当产量由其中产量万台万元成本函数为万台万元假设某产品的边际收⼊函数为以万台为单位.边际讲解注意：例70.02,10%,,100000,130000)(,.10%,1000000t e t 则决如果新增销售额产⽣的利润超过⼴告投资的美元的⼴告活动对于超过按惯例⾏⼀次类似的总成本为以⽉为单位下式的增长曲线⼴告宣传期间⽉销售额的变化率近似服从如根据公司以往的经验平均利润是销售额的美元某出⼝公司每⽉销售额是美元的⼴告活动.试问该公司按惯例是否应该做此⼴告.1000000公司现在需要决定是否举定做⼴告讲解注意：8例.2,318)(-=CS q q D 并已知需求量为如果需求曲线为个单位试求消费者剩余,表⽰某国某年国民收⼊在国民之间分配的劳伦茨曲线可近似地由讲解注意：第七节⼴义积分1、内容分布图⽰★⽆穷限的⼴义积分★⽆穷限的⼴义积分⼏何解释★例1★例2★例3★例4★例5★例6★⽆界函数的⼴义积分例7★例8★例9★例10★例11★例12★例13★内容⼩结★课堂练习★习题5-7★返回★2、讲解注意：3、重点难点：4、例题选讲：例1?∞+-0.dx e x 计算⽆穷积分讲解注意：例2.sin 0的收敛性判断⽆穷积分∞+xdx讲解注意：例312?∞+∞-+x dx计算⼴义积分讲解注意：例4计算⼴义积分.1sin 12∞+dx x x 2/π讲解注意：例5计算⼴义积分∞+-pt dt e 且0>p 时收敛p 是常数,(). t 0讲解注意：例6证明⼴义积分∞+11dxx p当1>p 时收敛当1≤p 时发散.,讲解注意：例7计算⼴义积分).0(022>-?a x a dxa讲解注意：例8证明⼴义积分11dx x q当1""讲解注意：例9计算⼴义积分.ln 21x dx讲解注意：例10计算⼴义积分.30dx1=x 瑕点)1(2/3-x .讲解注意：例11计算⼴义积分?∞+03+x x dx1().讲解注意：例12.)1(arcsin 10-dx x x x计算⼴义积分讲解注意：例13.11105?∞+++x x x dx 计算⼴义积分讲解注意：。
定积分的应用
定积分的应用定积分是微积分中的重要概念，它在数学和实际问题的解决中扮演着关键的角色。
本文将探讨定积分的应用，并结合实例详细说明其在解决各类问题中的重要作用。
一、定积分的概念定积分是微积分中的一种运算符号，表示在一定区间上的函数曲线与坐标轴所围成的面积。
通常用符号∫ 表示，即∫f(x)dx，其中f(x)为被积函数，dx表示积分变量。
定积分的结果是一个数值。
二、定积分的几何意义定积分的几何意义是曲线与坐标轴所围成的面积。
例如，我们可以通过计算函数曲线与x轴之间的面积来求取定积分。
这种面积计算方法可以应用于各种形状的曲线，包括折线、曲线、圆弧等。
三、定积分的物理应用定积分在物理学中有广泛的应用。
例如，当我们需要计算物体的质量、体积、位移、功等物理量时，可以通过定积分来进行计算。
定积分可以将一个连续变化的物理量表示为无限个微小变化的和，从而得到准确的结果。
四、定积分的经济学应用定积分在经济学领域也被广泛应用。
例如，当我们需要计算市场供求曲线下的固定区间所代表的消费者剩余或生产者剩余时，可以通过定积分来计算。
定积分可以将变化的价格和数量转化为面积，以方便计算。
五、定积分的工程应用在工程学中，定积分也具有重要的应用价值。
例如，在力学领域，当需要计算曲线所代表的力的作用效果时，可以通过定积分来计算。
定积分可以将一个连续变化的力量表示为无限个微小作用力的和，从而得到准确的结果。
六、定积分的统计学应用再一个例子的统计学领域中，定积分同样发挥着重要作用。
例如，在概率密度函数下计算所得的面积可以表示某一事件发生的概率。
定积分可以将一个连续变化的概率密度函数表示为无限个微小概率的和，从而得到准确的概率结果。
七、定积分的计算方法定积分的计算方法有多种，例如，常用的有牛顿-莱布尼茨公式、变量替换法、分部积分法等。
根据不同的问题和函数形式，选择合适的计算方法对于准确求解定积分非常关键。
八、结语定积分作为微积分中的重要概念，在各个领域中均得到了广泛的应用。
定积分的应用
定积分的应用在我们的生活中，有很多场景都需要用到定积分。
而在数学上，定积分也起到了重要的作用。
定积分可以计算曲线下的面积，如求函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上的面积。
接下来，我们将介绍一些常见的定积分的应用。
一、曲线下的面积假设我们有一个区间 $[a,b]$，以及一个函数 $f(x)$。
我们可以使用定积分来计算这个函数在该区间上的曲线下的面积。
这个面积可以用下面的式子来计算：$$ S=\int_{a}^{b}f(x)dx $$ 其中，$\int$ 表示定积分。
如果我们以 $f(x)\geq 0$ 的形式进行了定义，那么定积分就可以计算出曲线下的正面积。
例如，如果我们要计算函数 $f(x)=x^2$ 在区间 $[0,1]$ 上的曲线下的面积，我们可以通过下面的定积分来计算：$$ S=\int_{0}^{1}x^2dx $$利用积分的定义，可以将该式子化简为：$$ S=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Deltax=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^{n}x_i^2\Delta x $$ 其中，$\Delta x=\frac{1}{n}$ 且 $x_i=i\Delta x$。
如果我们取 $n=100$，你会发现：$$ S=0.010050167\cdots $$ 这时，我们就可以知道函数 $f(x)=x^2$ 在区间 $[0,1]$ 上的曲线下的面积为约为 $0.010050167$。
二、体积类似于计算曲线下的面积，定积分也可以用于计算体积。
我们可以使用定积分来计算旋转曲面的体积，例如旋转曲面、扫描曲面等。
例如，假设我们需要计算曲线 $y=x^2$ 从 $x=0$ 到 $x=1$ 周围在 $y$ 轴旋转一周所形成的立体的体积，我们可以使用下面的公式计算出体积：$$ V=\int_{0}^{1}\pi y^2dx $$替换掉 $y=x^2$ 的值，我们得到：$$ V=\int_{0}^{1}\pi x^4dx $$ 计算该定积分的结果为：$$ V=\frac{\pi}{5} $$ 所以，曲线$y=x^2$ 从 $x=0$ 到 $x=1$ 周围所形成的立体的体积为$\frac{\pi}{5}$。
高等数学 课件 PPT 第五章 定积分
在［0,1］上是有界函数，但不可积．因为不论对［0,1］怎样分 割，在任意被分割的小区间［xi－1,xi］上，总能取到ξi为有理数， 这时f(ξi)=1，也总能取到ξi为无理数，这时f(ξi)=0．所以对［0,1］ 的任何一种分法，我们总可以得到
一、定积分的概念
思考
一个函数在什么条件下可积？什么条件下不可积？
一、定积分的概念
3. 定积分存在的充分条件
若f(x)在［a,b］上无界，则f(x)在［a,b］上一定是不可积 的．这是因为，若f(x)在［a,b］上无界，那么无论对［a,b］ 怎样分割，都至少有一个区间［xi－1,xi］，函数f(x)在其上无 界．因此，在［xi－1,xi］上一定可以取一点ξi，使得f(ξi)大于任 意一个正数M，因而也就使得和式 ∑ =1f(ξi)Δxi可以任意的 大．当λ→0时，这个和就不可能趋向于任何极限．由此可知， f(x)在［a,b］上可积的必要条件是f(x)在［a,b］上有界．
一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
为了讨论质点在变速直线运动中位置函数与速度函数间的 联系，有必要沿质点的运动方向建立坐标轴.设时刻t时质点所 在位置st，速度vtvt≥0. 已知质点在时间间隔T1,T2内经过的路程可以用速度函数vt在 T1,T2上的定积分
一、定积分的概念
在区间［a,b］上，f(x)既有正值又有负值时，函数y=f(x) 的图形某些部分在x轴的上方，而其他部分在x轴的下方．如果 规定在x轴的上方的图形的面积为正，在x下方的图形面积为负， 那么∫baf(x) 的几何意义就是介于曲线y=f(x)、x轴及两条直线 x=a,x=b之间的各部分面积的代数和，如图5-2所示．
把区间［a,b］分成个n小区间 ［x0,x1］,［x1,x2］,…,［xn－1,xn］，
定积分的应用
定积分的应用定积分是数学中的一个重要概念，它在许多领域中具有广泛的应用。
本文将介绍定积分的基本概念和性质，并探讨其在几何学、物理学和经济学等领域中的应用。
首先，让我们回顾一下定积分的定义。
在数学中，定积分是一个函数与另一个函数之间的一种关系，通常表示为∫f(x)dx。
其中，f(x)是被积函数，x是积分变量，dx表示对x的微小变化。
定积分表示的是函数f(x)在给定区间[a,b]上的面积或曲线下的总体积。
定积分具有以下几个重要的性质。
首先，如果f(x)是[a,b]上的连续函数，那么定积分存在且唯一。
这一性质保证了定积分的可靠性和确定性。
其次，定积分的值可以通过积分的上限和下限来计算。
换句话说，定积分是一个函数的区间值。
最后，定积分的值可以通过一种基本定理来计算，即牛顿—莱布尼茨公式。
该公式告诉我们，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么定积分可以通过求F(x)在区间[a,b]上的差值来计算。
在几何学中，定积分有着广泛的应用。
通过计算曲线下的面积，我们可以求解两个曲线之间的交集、计算物体的体积等。
例如，如果我们要求解一个曲线和x轴之间的面积，我们可以将该曲线表示为y=f(x)，然后计算∫f(x)dx在所给区间上的值。
同样地，我们可以使用定积分来计算曲线的弧长，通过公式∫√(1+(dy/dx)^2)dx来实现。
定积分在几何学中的应用还包括求解曲线的重心和弦长等问题。
物理学是另一个应用定积分的领域。
在物理学中，物体的质量、力、功和能量等都与空间的分布有关。
通过将物体分成许多微小的部分，并计算每个部分的质量或力的大小，我们可以使用定积分来对整个物体的质量或力进行求和。
例如，我们可以使用定积分来计算一个线密度为λ(x)的细线段的质量，通过公式∫λ(x)dx来实现。
同样地，我们可以使用定积分来计算一个变力F(x)在区间[a,b]上所做的功，通过公式∫F(x)dx来实现。
定积分在物理学中的应用还包括计算速度、加速度和热量等。
高数第五章定积分及其应用(第129-163页,共35页张勇)
129第五章 定积分及其应用§5.1 学习的要求1. 理解定积分的概念及几何意义，了解可积的条件．2. 掌握定积分的基本性质．3. 理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法．4. 熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式．5. 掌握定积分的换元积分法和分部积分法6. 理解无穷区间的广义积分，掌握其计算方法．7. 熟练掌握定积分求平面图形面积和掌握平面图形绕坐标轴旋转所成的旋转体体积 8. 会用定积分求变力直线做功和不均匀细棒的质量．§5.2内容提要一、 定积分的概念 （一）定积分的概念定义 设函数)(x f y =在区间],[b a 上有定义，用任一组分点： 01....a x x =<<,i n x x b <<<=把区间],[b a 分成n 个小区间),...3,2,1](,[1n i x x i i =-在每个小区],[1i i x x -上任意取一点i ξi i i x x ≤≤-ξ1() 用函数值)(i f ξ与该区间的长度1--=∆i i i x x x 相乘,作和式i ni i x f ∑=∆1)(ξ 如果不论对区间],[b a 采取何种分法及i ξ如何选取,当 {}0(max (1)i x x x i n ∆→∆=∆≤≤)时，和式的极限存在，则称函数)(x f 在],[b a 上可积,此极限称为函数在区间],[b a 上的定积分(简称积分).记为dx x f ba)(⎰，即1()()limnbiiai x f x dx f x ξ=∆→=∆∑⎰，其中变量x 称为积分变量,)(x f 称为被积函数,dx x f )(称为被积表达式b a ,分别称为积分下限和积分上限, ],[b a 称为积分区间.⎰badx x f )( 是 一个常量(b a ,为常数)，其值只与被积函数和积分上下限有关,与积分变量用什么字母无关.(二).几何意义 1. 若)(x f ≥0,定积分⎰ba dx x f )(表示曲线)(x f y =,直线x =a 和x =b 以及x 轴所围成的曲边梯形的面积. 2. 若)(x f ≤0,定积分⎰badx x f )(表示相应曲边梯形面积的负值.(三) 定积分存在定理定理 如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续,则)(x f 在],[b a 上的定积分必定存在. 二 、定积分的性质130 性质1 若],,[b a x ∈恒有)(x f =1，则有⎰⎰-==⋅bab aa b dx dx 1．性质2 ⎰ba dx x f )(=-⎰abdx x f )(．性质3 ⎰=badx x kf )(⎰badx x f k )( （k 是常数）性质4⎰⎰⎰±=±b ab abadx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121推论1 112[()()]()()()bb bbn n aaaaf x f x dx f x dx f x dx f x dx ±±=±±±⎰⎰⎰⎰性质5 ],[b a c ∈∀,则⎰badx x f )(=⎰c adx x f )(+⎰bcdx x f )(推论2 c b a ,,为任意的常数⎰badx x f )(=⎰c adx x f )(+⎰bcdx x f )(.性质6(积分中值定理) 若函数)(x f 在],[b a 上连续,则至少存在一点ξ()b a ,(∈ξ),使⎰badx x f )(=))((a b f -ξ三 、牛顿—莱布尼茨公式 (一) 积分上限函数1. 定义 设)(x f 在],[b a 上连续,],,[b a x ∈则)(t f 在],[x a 上可积 , 即⎰xadt t f )(存在,因此⎰xadt t f )(是上限x 的函数,记为()x φ=⎰xadt t f )(，称)(x φ为积分上限函数(或变上限积分) ．2.积分上限函数的导数设)(x f 在],[b a 上连续, )(x φ在],[b a 上可导,则⎰∈==xa b a x x f dt t f dxd x ].,[),()()('φ )(x φ就是)(x f 在],[b a 上的一个原函数．(二)牛顿—莱布尼茨公式定理 如果函数()F x 是连续函数)(x f 在区间],[b a 上的任一原函数, 则)()()(a F b F dx x f ba-=⎰,这个公式称为牛顿—莱布尼茨公式,也称为微积分学基本定理. 公式表明:一个连续函数在区间],[b a 上的定积分等于它的任一原函数在区间],[b a 上的增量.四. 定积分的换元法和分部积分法 (一) 定积分的换元法设函数)(x f 在区间],[b a 上连续,令)(t x φ=,如果 (1) )(t φ在[βα,]上连续,当],[βα∈t 时, )(t φ的值不超出],[b a ,且有连续导函数)('t φ；(2) b a ==)(,)(βφαφ， 则⎰badx x f )(=⎰βαφφdx t t f )('))((．用)(t x φ=进行变换时,积分限也要随之换成新变量t 的积分限,不必像不定积分那样将变量还原.131(二)定积分的分部积分法设函数),(x u )(x v 在],[b a 上具有连续的一阶导数 ),('),('x v x u 则''bb aaba uv dx u vdx uv =-⎰⎰；或bbaaba udv vdu uv =-⎰⎰ ．(三)偶，奇函数在对称区间],[a a -上的积分(1)当)(x f 是],[a a -上连续的偶函数时，⎰⎰-=aaadx x f dx x f 0)(2)(；(2)当)(x f 是],[a a -上连续的奇函数时，⎰-=aadx x f 0)(．五．广义积分(反常积分)(一) 无穷区间上的积分(无穷积分)定义 设)(x f 在区间[,)a +∞上连续,取b a >,若极限lim ()bab f x dx →∞⎰,则称此极限值为 )(x f 在),[+∞a 上的广义积分,记作 ⎰+∞adx x f )(=lim ()bab f x dx →∞⎰；(1)类似地,可以定义如下反常积分⎰∞-bdx x f )(=lim()baa f x dx →-∞⎰； (2)⎰-∞∞-dx x f )(=⎰∞-cdx x f )(+⎰+∞cdx x f )(lim()caa f x dx →-∞=⎰+lim()bcb f x dx →+∞⎰， (3)其中c 为任何实数；当(1)(2)(3)式右端极限存在时,反常积分收敛,否则是发散的. (二) 无界函数的积分定义 设)(x f 在],(b a 上连续,且lim ()x af x +→=∞，取0>ε若极限0lim ()ba f x dxεε+→⎰存在,则称此极限为无界函数)(x f 在],[b a 上的广义积分,记作⎰badx x f )(=0lim ()ba f x dx εε++→⎰．类似地,可定义在x b =附近无界函数()f x 的反常积分⎰b adx x f )(=0lim ()b af x dx εε-→⎰，以及在(a ,b )内一点x c =附近无界函数()f x 的反常积分⎰badx x f )(=⎰c adx x f )(+⎰bcdx x f )(=0lim ()c af x dx εε-→⎰+0lim ()bc f x dx εε++→⎰．六 定积分的应用(二) 定积分的元素法.(1) 任取],[b a 上的代表性的小区间[,]x x dx + ,作出欲求量Q 在此小区间上增量Q ∆的近似值即微元： dx x f dQ )(= .(2)求积分，Q =⎰badx x f )(.注:关键是找出微元,例如求面积要找出“面积微元”,求体积要找出“体积微元”等. (三)定积分的几何应用1)平面图形的面积(1)直角坐标系下的面积公式①由曲线(),()(()())y f x y g x f x g x ==≥与)(,b a b x a x <==所围成的图形面积132 S=⎰-badx x g x f )]()([；②由曲线 (),()(()())x y x y y y φϕφϕ==≥与)(,d c d y c y <==所围成的图形面积[()()]dcs y y dy φϕ=-⎰.(2)极坐标系下的面积,求立体的体积由曲线],,[),(βαθθ∈=r r 与两条射线βθαθ==, 所围成的曲边扇形的面积 21()2s r d βαθθ=⎰. 2)已知平行截面的面积,求立体的体积设某立体由一曲面和垂直于x 轴的两个平面 b x a x ==,围成，用垂直于x 轴的平面去截这个立体，若截面面积()A x (b x a ≤≤)是已知的连续函数,则该立体体积()baV A x dx =⎰．3)旋转体的体积①连续曲线))((b x a x f y ≤≤=与b x a x =-,及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积⎰=bax dx x f V )(2π②连续曲线))((d y c y x ≤≤=φ与d y c y ==,及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体体积⎰=dcy dy y V )(2φπ．（三）定积分在物理上的应用 1.变力沿直线作功变力)(x f 作用于物体,使物体由点a x =移动到b x =,)(x f 在],[b a 上连续,由微元法，任取],[b a 上的小区间[,],x x dx +其上的变力)(x f 近似看着常数,得功元素dx x f dw )(=，以a 到b 求定积分,得所求的功 w =⎰badx x f )(．2.非均匀直线细棒的质量.直线细棒的线密度为∈=x x ),(ρρ],[b a ,在],[b a 上由微元法,任取],[b a 上的小区间[,],x x dx +其上的密度近似看着常数,得质量元素 dx x dm )(ρ=，从a 到b 求定积分,得到所求的直线细棒的质量m =⎰badx x )(ρ．3. 非均匀细棒的转动惯量细棒AB 的方程为,b kx y +=密度∈=x x ),(ρρ],[b a ,任取],[b a 上的小区间],[dx x x +,视该小区间上密度与],[dx x x +对应的细棒段CD 到转轴x 轴的距离y 为常数,得转动惯量微元dx x b kx k dx x k ydI x )()(1)(12222ρρ++=+=转动惯量为 ⎰++=bax dx x b kx k I )()(122ρ§5.3基本例题及分析133例1.比较下列积分的大小关系.(1)⎰21sin dx x x 与⎰212)sin (dx x x ； (2)⎰⎰++1010)1ln(1dx x dx xx 与． 分析 在积分上下限都相同的情况下，积分大小由被积函数的大小决定． 比较两个函数的大小可以根据函数本身的图形关系、利用单调函数的定义等方法来判断.解 (1)当0x >时sin x x <，当1<x <2时,有1sin >x x ，即有 ,sin )sin (2xx x x > 则⎰⎰<21212)sin (sin dx x x dx x x . (2) 令0)0(),1ln(1)(=+-+=F x x xx F ，,)1(11)1(1)('22x xx x x F +-=+-+= 当0x >时,0)('<x F 时,()F x 单调下降,0)0()(,0=<>F x F x ，即)1l n (1x xx+<+， 则⎰⎰+<+1010)1ln(11dx x dx x ．例2.估计积分1214xe ⎰的值.解 当]21,41[∈x 时, x y =单增, x y arcsin=单增, u e y =是单增,所以x xe x f y arcsin )(==在]21,41[也是单增的,因此)21()()41(f x f f <<,由641111(),()4422f e f e ππ==，得 6411()42e f x e ππ<<，同时积分得42141681)(161ππe dx x f e <<⎰. 例3.设)(x f 在a x =处连续,求极限ax dt t f xaax -⎰→)(lim．分析 x a →时，分子趋向()aaf t dt ⎰（=0），所以是型极限，一般对变上限积分很常用“(())()xaf t dt f x '=⎰”这种运算方式，所以很自然想到用洛必达法则求解.解 这是型未定式，用洛必达法则求解. 原式=)(1)(lim)'())((lim'a af x xf a x dt t tf ax xa ax ==-→→⎰.134 例 4. 设)(x f 在 ],[b a 上连续,且)(x f >0,证明：方程⎰⎰=+xaxbdt t f dt t f 0)(1)( 在区间),(b a 内恰有一个根.分析 证明根的存在可以考虑零点定理：连续函数的端点函数值符号相反则函数至少有一个零点（即函数值为0的点），如果函数是单调函数，则只能有一次穿过x 轴.本例中出现变上限积分，一般要用到它的导数，注意变上限积分函数的自变量由变上限确定.证 设 )(x F =⎰⎰+xaxbdt t f dt t f )(1)(,由于)(x f 连续, )(x f >0,则)(1x f 连续,所以)(x F 在],[b a 上也连续.又因为11()0,()()0()()ab b b a a F a dt dt F b f t dt f t f t ==-<=>⎰⎰⎰，由零点定理可知, )(x F =0在),(b a 内至少有一个根.又.0)(1)()('>+=x f x f x F 则)(x F 在],[b a 上单增，()0F x =在 ],[b a 上最多有一个根,由上述证明可知：)(x F 在),(b a 内恰好有一个根.例5. 计算下列积分 (1)⎰94sin dx xx ； (2)⎰2052sin cos πxdx x ；(3)⎰-adx x a x222(a >0)； (4) ⎰---1221x x dx ；(5)⎰-+1)1ln(e dx x ； (6)⎰-+223)cos (sin ππdx x x .分析 （1）题出现了复合函数和其中间变量的导数，比较明显是用凑微分法；另外也项，可以尝试第二换元法.（2）题先用倍角公式化简后明显是用凑微分法的情形.（32xdx -的组成，所以用第二换元法的三角代换法．（4）题同（3）题，另外注意到和(arcsin )x '=.（5）题是幂函数乘对数函数的积分，显然用分部积分．（6）题的上下限是对称区间，根据奇偶函数在对称区间的积分来做.解:(1)法一:,21x d dx x=⎰⎰-=-==949494)3cos 2(cos 2cos 2sin 2sin xx d x dx xx .法二:(用第二换元法). 令,2,,2tdt dx t x x t === 当x =4时, t =2;当x =9时t =3,则93332422sin 22sin 2cos 2(cos 2cos3)t tdt tdt tt ===-=-⎰⎰⎰.(2)原式=2⎰⎰=-=-=2020276672cos 72cos cos 2sin cos πππx x xd xdx x .135(3)令tdt a dx t t a x cos ),20(,sin =≤≤=π,当x =0时, t =0;当x =a 时, t =2π,则22422220(sin )(cos )(cos )sin cos axa t a t a t dt at tdt ππ==⎰⎰⎰4422201cos 4sin 2442a a t tdt dt ππ-==⎰⎰4420sin 4()8416a t a t ππ=-=.(4)法一:用第二换元积分法,令sec ,sec tan x t dx t tdt ==，当2-=x 时,π32=t ;当1-=x 时, t =π,则⎰⎰⎰---=-=-=-12323223)1()tan (sec tan sec 1πππππdt dt t t t t x x dx . 法二:运用恒等变形和凑微分法. 当[2,1],x ∈--x =-1()x'==,令1u x =，则1121/----=⎰⎰11/2arcsin ()263u πππ--==---=-. (5)1111ln(1)ln(1)(1)[(1)ln(1)](1)ln(1)e e e e x dx x d x x x x d x ----+=++=++-++⎰⎰⎰11001(1)11e e e x dx e x x --=-+=-=+⎰ . (6)积分区间关于点对称, x 3sin 是奇函数,x 3cos 是偶函数.原式=/2/232/2/2sin cos 02cos 2xdx xdx xdx πππππ--+=+=⎰⎰⎰.例6.求证(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰．分析 等式两边被积函数均含有)(sin x f ,注意到sin()sin t t π-=，如果t x -=π，其上下限互换了，并注意到定积分与积分变量用什么符号无关.证 令t x -=π，,dt dx -=,当0=x 时, t =π;当x =π时, t =0.00(sin )()(sin())()()(sin )xf x dx t f t dt t f t dt ππππππ=---=--⎰⎰⎰=()(sin )(sin )(sin )t f t dt f t dt tf t dt πππππ-=-⎰⎰⎰,而定积分与积分变量无关,得⎰⎰=ππ00)(sin )(sin dx x xf dt t tf ，整理得⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin dx x f dx x xf .例7.计算⎰∞-0sin xdx e x ．136 分析 被积函数的指数函数乘正弦函数，两次同型的分部积分就可以解出原函数．本题是广义积分，其实就是先求定积分，然后取上限或下限的极限.解:由不定积分⎰⎰---+-=xdxe x e xdx e x x x cos sin sin =dx x e x e x e xx x )sin (cos sin -+-----⎰，则⎰++-=--c x x e dx ex x)cos (sin 21sin ,⎰⎰∞-∞→-=00sin lim sin b xb x xdx e xdx e . 则 0lim[(/2)(sin cos )]x bb e x x -→∞-+=2/1)2/12cos sin (lim =++-∞→b b eb b 则⎰∞-0sin xdx e x 收敛,其值为1/2.例8.求曲线24x y -=与直线x =4, x 轴, y 轴在区间[0,4]上围成图形的面积S . 解S =42424222330224(4)(4)(4(34)16x dx x dx x dx x x x x -=-+-=-+-=⎰⎰⎰.例9.求由曲线θ2cos 22=r 所围成图形在r =1内的面积.分析 本题没有明确指出极坐标下θ的变化范围，那么肯定要根据已知条件找出来，注意2r >0. 题意是求两个图形围成的图形面积，而r =1是一个半径为1的圆，它和曲线一定要相交，所以首先要求出交点，从而确定积分的限.解 由 θ2cos 22=r 0≥ ,则 cos20θ≥,2,2244ππππθθ-≤≤-≤≤.令 {22cos21r r θ==，得6πθ±= ,交点(1,6π±).由于对称性,先计算第一象限内的部分.当6/0πθ<<时, r =1 ,阴影部分面积⎰⎰===660211212121πππθθd d r A ；当46πθπ<<时,,2cos 22θ=r 阴影部分的面积为2442661112cos 2(1222A r d d ππππθθθ===⎰⎰323)(421-+=+=πA A A .例10.求由曲线22x y -=与直线0),0(=≥=x x x y . 围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积.分析 两曲线围成图形的旋转体体积可以看成大的旋转体去掉小的旋转体，曲线绕x 轴旋转，任意点x 处的截面半径是()r y f x ==,旋转体体积微元是22()y dx f x dx ππ=.解 解方程组{22y xy x ==-且x 0≥,得x =1.则所求旋转体的体积为111222240(2)(45)x V x dx x dx x x dx πππ=--=-+⎰⎰⎰137=π513058(4)23515x x x π-+=例11.自地面垂直向上发射火箭,火箭质量为m , 试计算将火箭发射到距离地面高度为h 处所做的功.解:设地球质量M ,半径为R ,坐标原点在地心,地球对于r 点处火箭的引力大小为2rMmGf = (r 是地心到火箭的距离) ． 火箭从r 处到dr r +处. 引力近似看成不变,为2)(rMmG r f =, 则功元素为dr r f dW )(=，2111()()()R R R R RRRRhhhhMm W dW f r dr Gdr GMm GMm r rR R h++++====-=-+⎰⎰⎰．§5.4 教材习题选解习题 5-11、判断题（1）定积分⎰ba x f )(由被积函数)(x f 与积分区间],[b a 确定． （√）（2）定积分⎰b a dx x f )(是x 的函数． （×） （3）若⎰=b adx x f 0)(，则0)(=x f ． （×）（4）定积分⎰badx x f )(在几何上表示相应曲边梯形面积的代数和． （√）2、选择题（根据右图（见教材P122图）写出答案）： （1）⎰=bdx x f 0)(（B ）；（A ）21A A +； （B ）21A A -； （C ）12A A +； （D ）231A A A -+． （2）⎰=dcC dx x f )()(；（A ）32A A +； （B ）32A A -； （C ）23A A -； （D ）213A A A -+． （3）⎰=d dx x f 0)(（C ）．（A ）321A A A ++；（B ）321A A A -+；（C ）321A A A +-；（D ）213A A A +-．习题 5-21、判断题 （1）⎰⎰=2112)()(dx x f dx x f ；（×）138 （2）当c x f =)(时，⎰⎰+=11)()(a adx x f dx x f ；（√）（3）⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()(只对非零常数k 成立；（×）（4）⎰⎰⎰±=±bababadx x f k dx x f k dx x f k x f k )()()]()([22112211；（√）(5)⎰⎰⎰--+=ππππππ2339929sin sin sin xdx xdx xdx ． (√)2、已知⎰=10341dx x ，⎰=10231dx x ，⎰=1021xdx ，⎰=201cos πxdx ，⎰=201sin πxdx ，求定积分：（1）130(421)x x dx ++⎰；（2）120(2)x dx +⎰；（3）11(3)3x dx +⎰； （4）130(1)x dx +⎰； （5）220sin 2x dx π⎰； （6）20(sin cos )a x b x dx π+⎰．解 （1）⎰⎰⎰⎰=+⨯+⨯=++=++101010103331212414124)124(dx xdx dx x dx x x ；（2）⎰⎰⎰⎰⎰=+⨯+=++=++=+1010*******2231642143144)44()2(dx xdx dx x dx x x dx x ； （3）⎰⎰⎰=+=⨯+⨯=+=+101010611629131213313)313(dx xdx dx x ；（4）⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=+++=+10101010123231333)133()1(dx xdx dx x dx x dx x x x dx x419121331341=+⨯+⨯+=； （5）2222200001cos 11111sin cos (2)22222224x x dx dx dx xdx ππππππ-==-=⨯-=-⎰⎰⎰⎰； （6）⎰⎰⎰+=⨯+⨯=+=+2020211cos sin )cos sin (πππb a b a xdx b xdx a dx x b x a ．3、设)(x f 和)(x g 在],[b a 上连续，且)()(0x g x f ≤≤试用定积分的几何意义说明⎰⎰≤babadx x g dx x f )()(．解 令)()()(x f x g x h -=，则在],[b a 上，≥)(x h 0，()0b ah x dx ∴≥⎰，即⎰⎰⎰≥-=-b a b a badx x f dx x g dx x f x g 0)()())()((，()()bbaaf x dxg x dx ≤⎰⎰．4、用第3题的结论比较定积分的大小： （1）⎰21xdx 与⎰212dx x ；（2）⎰43ln xdx 与⎰432)(ln dx x ；（3）⎰20πxdx 与⎰20sin πxdx ；（4）⎰10sin xdx 与⎰12sin xdx ．139解（1） 在[1，2]上，x x >2，⎰⎰<∴21212dx x xdx ．(2) 在[3，4]上，ln 1x >，知2ln (ln )x x <∴⎰43ln xdx <⎰432)(ln dx x ．(3) 在]20[π，上，x x x f sin )(-=，'()1cos 0f x x =-≥，即()f x 在]2,0[π是增函数，显然在]20[π，上，当0=x 时，)(x f 取到最小值0，即在]20[π，上0sin )(≥-=x x x f ，有sin x x ≤，则220sin xdx xdx ππ>⎰⎰．（4） 在[0，1]上，0sin 1x <<，2sin sin x x >⎰⎰>∴1012sin sin xdx xdx ．习题 5-31、判断题 （1）当⎰=Φxadt t f x )()(时，)()('x f x =Φ；（√）（2）对任意函数)(x f 有⎰-=baa Fb F dx x f )()()(；（×）（3）⎰=--122)11(πdx x；（×）（4）0sin 20=⎰kxdx π． （√）2、计算定积分（2）)0()13(211>+-⎰+a dx x x x a ；（3）⎰+2142)1(dx xx ；（4）4dx +⎰； (5)⎰+33121x dx ； (6)⎰--212121xdx ； (7)⎰>+a a x a dx 3022)0(； (8)⎰-4221x dx； (9)⎰-1024xdx ； (10)⎰-+++11241133dx x x x ； （11）⎰23sin πxdx ； （12）dx x |sin |20⎰π；（13）⎩⎨⎧>-≤=1,121,)(2x x x x x f ，求⎰20)(dx x f ； （14）⎰+π0)cos 3sin 2(dx x x ； （15）⎰402tan πxdx ；（16）⎰++212123dx xx x ； （17）⎰+π02)2cos (dx xe x ．140 解（2）1211(3)a x x dx x +-+⎰1123|)|ln 2(++-=a x x x0211)1ln(2)1()1(23-+-+++-+=a a a)1ln(22523++++=a a a a ．(3) ⎰+2142)1(dx x x 8212463)3131(3183138)3131(2133==--⨯-=-=-x x ．(4) ⎰⎰+=+=+94942232194)2132()()1(x x dx x x dx x x)1621832()81212732(⨯+⨯-⨯+⨯= 6145621110)8316()28118(=+=+-⨯=．(5) ⎰+33121xdx663arctan 331πππ=-==x ．(6)⎰--212121x dx 3)6(6arcsin 2121πππ=--==-x． (7)220dx a x +aa a xaa 3031arctan130ππ=-⋅==． (8)⎰-4221x dx 5ln 213ln 31ln 2153ln 21|11|ln 2142-=-=+-=x x ． (9) ⎰-1024xdx60arcsin 21arcsin 2arcsin 10π=-==x ． (10) ⎰-+++11241133dx x x x ⎰-++++-+=112222143)1(3)1(3dx x x x x x ⎰⎰⎰--+++++=1111222141)1(23x dx x x d dx 1111211113arctan 4)1ln(233----++-=x x x x 2604[()]2444πππ=-++--=-．(11)⎰23sin πxdx⎰=---=-=-=2020203232)10()10(31cos cos 31)(cos )1(cos πππx x x d x ．141(12)dx x |sin |20⎰π⎰⎰+-=-=ππππππ0202cos cos sin sin xx xdx xdx4)11()11(=+++=．(13) ⎰⎰⎰=-+=-+=-+=21212121032312)02(31)(3)12()(x x x dx x dx x dx x f ．(14)⎰+π)cos 3sin 2(dx x x ⎰⎰+-=+=ππππ0sin 3cos 2cos 3sin 2x x xdx xdx4)00(3)11(2=-++=(15)⎰402tan πxdx ⎰-=-=-=4040241)(tan )1(sec οππx x dx x ．(16)⎰++212123dx xxx 42121)2t t t dt =++)13253(2)222322453(2)3253(22135++-+⋅+⋅=++=t t t1568215142-=． (17) ⎰+π02)2cos (dx x e x ⎰⎰++=ππ002cos 1dx x dx e x 12)00(21)02()1(sin 2121000-+=-+-+-=++=πππππππe e x x e x．3、设k 为正整数，证明：（1）sin 0kxdx ππ-=⎰；（2）⎰-=ππ0cos kxdx ．证明 ：（1）⎰⎰---=---=-==ππππππππ0))cos((cos 1cos 1)(sin 1sin k k k kx k kx kxd k kxdx ； （2）⎰⎰---=--===ππππππππ0))sin((sin 1sin 1)(cos 1cos k k k kx k kx kxd k kxdx ．4、设某公司拟在市场推出一种新产品，据市场预测，产品最终可占有全国市场的4%，即每年可销售480万元，产品刚上市时大家陌生，故开始时达不到预测数，若收益函数变化率])1(11[480)('3+-=t t R （万元/年），问第二年的收益为多少？第三年呢？ 解 第二年的收益为：⎰⎰+-=21213])1(11[480)('dt t dt t R32446]4121191212[480])1(121[480212=⋅--⋅+=+⋅+=t t （万）， 第三年的收益为：142 ⎰⎰+-=32323])1(11[480)('dt t dt t R 31468]91212161213[480])1(121[480212=⋅--⋅+=+⋅+=t t （万）．习题 5-41、判断题：（1）定积分换元时要交换上、下限；（×）（2）⎰-=++2232110)2)(cos 1(ππdx x x x ；（√） （3）222sin 4cos x u udu π=⎰⎰；（√） （4）dx xdx x e e +-=+⎰⎰--11)1ln(11；（×） （5）⎰-=--124)1(πdx x ． （√）2、计算定积分（1）⎰+2024t dt； （2）⎰+10431dx x x ； （3）dt t t ⎰-211； （4）31e ⎰； （5）21211cos dt t tππ⎰； （6）⎰203cos sin πxdx x ； （7）⎰+ωπϕω02)(sin dt t ； （8）⎰-222cos cos ππxdx x ； （9）222)1(x xdx+⎰； （10）⎰-121dx x ； （11）⎰>-2022)0(a a xa dx．解(1)⎰+224t dt ⎰⎰===40402821sec 4)tan 2(tan 2πππdu u u d u t ． (2) ⎰+10431dx x x ⎰=+=++=1014442ln 41)1ln(411)1(41x x x d ． (3) dt tt ⎰-21121122220011(1)2111u u u d u du t u u u =+-+==+++⎰⎰ 22arctan 22)111(21010102π-=-=+-=⎰u u du u ．(4)31e⎰222221122221111111()2222t t t t t t d e t e dt dt tx etet e-----=⋅=====⋅⎰⎰⎰．143(5)22111cos dt t t ππ⎰2121111cos ()sin sin sin 12d t t t ππππππ=-=-=-=-⎰． (6)⎰203cos sin πxdx x ⎰=-===2204341)01(41sin 41)(sin sin ππxx xd ． (7)20sin ()tdt πωωϕ+⎰1cos 2()2tdt πωωϕ-+=⎰11cos 2()(2())24t t d t ππωωωϕωϕω=-++⎰ 011sin 2()[sin(22)sin 2]24242t πωπππωϕπϕϕωωωωω=-+=-+-=． (8) ⎰-222cos cos ππxdx x 222222sin 213sin 61)cos 3(cos 21ππππππ---+=+=⎰x x dx x x 32)11(21)11(61=++--=． (9) 2220)1(x xdx +⎰222201(1)(1)2x d x -=++⎰52)151(211121202=--=+-=x ． (10) ⎰-1021dx x ⎰⎰⎰+===202022022cos 1cos )(sin cos sin πππdu u udu u ud u x 42sin 414)2(2cos 4121202020πππππ=+=+=⎰u u ud u ． 969323 (11)20a ⎰⎰⎰===60606cos )sin (sin πππdu u a u a d ua x ． 3、计算定积分： （1）10xxe dx -⎰； （2）0sin t tdt π⎰； （3）120arcsin xdx ⎰；（4）1arctan x xdx ⎰； (5)⎰202cos πxdx e x ； (6)⎰π2sin xdx x ．解(1) 11111102()1xx xx xxe dx xdx e xee dx e ee ------=-=-+=--=-⎰⎰⎰；(2)00sin (cos )cos cos sin t tdt td t t ttdt tπππππππ=-=-+=+=⎰⎰⎰．(3)111122220001arcsin arcsin (arcsin )26xdx x xxd x π=-=⋅-⎰⎰⎰112222011(1)(1)1122122122x d x πππ-=++-=+⋅+-⎰．144 (4) 211112220000111arctan arctan (arctan )22821x dx x xdx x x x d x x π=-=-+⎰⎰⎰ 112001111(1)[arctan )]8218242dx x x x πππ=--=--=-+⎰． (5)⎰22cos πxdx e x ⎰⎰-==202022022)(sin sin )(sin πππx x x e xd x e x d e⎰⎰⎰-+=+=-=202020220222)(cos 2cos 2)(cos 2sin 2πππππππx xxxe xd x e e x d e e xdx e e22024cos x e e xdx ππ=--⎰，⎰-=∴202)2(51cos πx x e xdx e ． (6)⎰π2sin xdx x ⎰⎰+-=-=πππ22cos 2cos )(cos xdx x x x x d x222202(sin )2sin 2sin 2cos 4xd x x xxdx xππππππππ=+=+-=+=-⎰⎰．4、求定积分（1）⎰--+12511x dx ；（2）⎰-10221dt t t ；（3）⎰414ln dx xx ；（4）11ln e x dx x +⎰；（5）⎰-ππxdx x 34sin ；（6）⎰-+11231)1cos (dx x x ．解(1) ⎰--+12511x dx 6ln 51)1ln 6(ln 51|511|ln 51511)511(511212=-=+=++=----⎰x x x d ．(2) ⎰-1221dt t t ⎰⎰⋅=⋅=202022)cos (sin )(sin cos sin sin ππdu u u u ud u u t 222220000111cos 411sin 2cos 444288u udu du u udu ππππ-===-⎰⎰⎰201sin 4163216u πππ=-=． (3) ⎰414ln dx xx 2222221111ln 1()ln ln 4t d t tdt t t t dt t t ==-⎰⎰ 12ln 22ln 221-=-=t ．(4) 11ln ex dx x +⎰2211113(1ln )(1ln )(1ln )[(11)1]222e e x d x x =++=+=+-=⎰．145(5) ⎰-ππxdx x 34sin 0=（奇函数）．(6)⎰-+11231)1cos (dx x x ⎰⎰⎰--=+=+=11111231220)cos (dx dx dx x x （奇函数）． 5、证明在区间],[a a -上，若)(x f 为偶函数，则⎰⎰-=aaadx x f dx x f 0)(2)(．证明00()()()aa a af x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰，对0()()af x d x -⎰，令x u =-，有00()()()()()()()()()()aaaaaf x d x f u d u f u d u f u d u f u d u -=--=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰，又因为积分与变量形式无关，知()()()()aaf u d u f x d x =⎰⎰，从而⎰⎰-=aaadx x f dx x f 0)(2)(．6、设k 为自然数，试证： （1）2cos kxdx πππ-=⎰；（2）2sin kxdx πππ-=⎰．证明 （1）⎰⎰⎰----+=+=ππππππππkxdx x dx kx kxdx 2cos 212122cos 1cos 2111cos 2(2)sin 2(00)444kxd kx kxk kkππππππππ--=+=+=+-=⎰． （2）21cos 211sin cos 2222kx kxdx dx xkxdx ππππππππ-----==-⎰⎰⎰ ⎰--=--=-=-=ππππππππ)00(412sin 41)2(2cos 41k kx k kx kxd k ．7、证明：⎰⎰>+=+11122)0(11x x x x dx x dx ． 证明 1211111112212211()1111111x t x x x x x d dx t t dt dt x t t t t==-=-+=+++⎰⎰⎰⎰ 11221111x xdt dx t x ==++⎰⎰．（积分与变量形式无关，只与积分上下限和函数有关）习题 5-51、某河床的横断面如下图所示（图形见教材P134），为了计算最大排洪量，需要计算它的横断面的面积，试根据图示的测量数据（单位：m ）用梯形法计算其横断面面积．解26.67277279.529.55.225.21.121.10(4)(36+++++++++++≈⎰dx x f146 )22.222.21.421.46.6++++++)2.21.46.6779.55.21.1(4+++++++= 6.145=（2m ）． 2、用矩形法，梯形法与抛物线法近似计算定积分⎰21xdx ，以求2ln 的近似值（取10=n ，被积函数值取四位小数）．解 取10=n ，分点为：10=x ，1.11=x ，2.12=x ，…，9.19=x ，210=x 且101=∆x矩形法：用外接矩形21(1 3.4595+2.7282)0.7187710x ≈+=⎰，或者用内接矩形211(0.5 3.4595+2.7282)0.6687710dx x ≈+=⎰梯形法：2111( 1.5000 3.4595+2.7282)0.6938102dx x ≈⨯+=⎰，抛物线法：211(1.50002 2.72824 3.4595)0.69316*5dx x ≈+⨯+⨯=⎰．习题 5-61、计算反常积分 （1）41x dx ⎰∞+；（2）dx e ax-+∞⎰0（0a >）；（3）⎰∞+a dx x x ln （0a >）；（4）⎰∞+∞-++222x x dx ； （5）⎰-121x xdx ；（6）⎰-e x x dx 12)(ln 1；（7）xdx e xsin 0-+∞⎰；（8）⎰242cos ππx dx ． 解(1)41x dx ⎰∞+31)1lim (3131331341=--=-==--+∞→∞+--∞+⎰b x dx x b ．147(2) dx eax-+∞⎰ae e a e aax d e a ab b axax 1)lim (11)(1000=--=-=--=-+∞→∞+--∞+⎰．(3) ⎰∞+adx x x ln +∞=-===+∞→∞+∞+⎰)ln ln lim (21ln 21)(ln ln 222a b x x xd b aa （发散）．(4) ⎰∞+∞-++222x x dx∞+∞-∞+∞-+=+++=⎰)1arctan(1)1()1(2x x x dlim arctan(1)lim arctan(1)a b a b →+∞→-∞=+-+πππ=--=)2(2．(5)⎰-121x xdx101)1(1lim 211)1(21201022=-+---=---=+→⎰εεxx d ． (6)⎰-ex x dx 12)(ln1101(ln )lim arcsin(ln )122ee x x εεππ+→-===-=⎰．(7)xdx e xsin 0-+∞⎰(cos )cos cos ()xxx e d x e xxd e +∞+∞+∞---=-=-+⎰⎰00lim cos cos 0(sin )a x a e a e e d x +∞--→+∞=-+-⎰01sin sin xx e xxde +∞+∞--=-+⎰xdx e e b e x bb sin 0sin sin lim 10-∞+-+∞→⎰-+-=xdx e x sin 10-+∞⎰-=，21sin 0=∴-∞+⎰xdx e x ． (8) ⎰242cos ππx dx 2242004sec lim tan lim tan()12xdx x πππεπεεπε++-→→===--=+∞⎰（发散）． 2、求分开数值为1C 的两个相反电荷所需要的能量，假定正负电荷开始相距1m ，将一个电荷移动至另一个电荷的无穷远处．解 设两个相反电荷的横坐标分别为0，1，则将2C 移至无穷远处所需能量为2221111()(lim ()1)a C k dx kC kC kC x xa+∞+∞→+∞=-=-+=⎰．习题 5-71、判断题（1）微元dx x f dA )(=是所求量A 在任意微小区间].[dx x x +上部分量A ∆的近似值；（√）148 （2）由曲线2x y =与3x y =围成图形面积为⎰-=13)(dx x x A ； （×）（3）由曲线3x y =与x y =在[0，1]上围成图形绕y 轴旋转所得旋转体体积⎰-=126)(dy y y V ππ； （√）（4）)(x f y =在任意微小区间],[dx x x +上的弧微分为21y ds '+=． （×） 2、将阴影部分的面表用定积分表示出来（图形见教材P144）： 解 （4）令223x x =+，有(1)(3)0x x +-=，∴两曲线交点横坐标为1-=a ，3=b ，∴ ⎰--+=312)32(dx x x A ．4、求由曲线围成图形的面积（1）xy 1=与直线x y =及2=x ；（2）x e y =，xe y -=与直线1=x ； （3）x y ln =，2ln =y ，7ln =y ，0=x ；（4）22,4y x x y =+=；（5）2x y =与直线x y =及x y 2=．解(1) ⎰-=---=-=-=212122ln 23)021(2ln 2|)|ln 2()1(x x dx x x A ．(2) 21)11(1)()(11-+=+-+=+=-=⎰--e e e e e e dx e e A xxxx(3) 由ln y x =，有yx e =，则⎰=-===7ln 2ln 7ln 2ln 527yy edy e A ．(4) 由242y y =-有2280y y +-=，即(2)(4)0y y -+=， 解得两曲线交点纵坐标为4-=a ，2=b ，从而2232244(4)(4)18226y y y A y dx y --=--=--=⎰．(5) 显然2x y =与x y =交点横坐标为0，1，2x y =与x y 2=交点横坐标为0，2，⎰⎰⎰⎰-+=-+-=1021102122)2()2()2(dx x x xdx dx x x dx x x A67)311()384(21)3(2213212=---+=-+=x x x ．5、求由曲线围成图形的面积： （1）θρcos 2=，0=θ，6πθ=；（2）)cos 1(2θρ+=a ，0=θ，πθ2=．解(1) 266001(2cos )(1cos 2)2A d d ππθθθθ==+⎰⎰66011sin 2262264ππππθθ=+=+⋅=+．149(2) θθθθθππd a d a A )cos cos 21(2)]cos 1(2[212202220++=+=⎰⎰ 2203cos 22(2cos )22a d πθθθ=++⎰ππθθθπ222026)003(2)42sin sin 223(2a a a =++=++=．6、求曲线围成图形绕指定轴旋转所得旋转体的体积：（1）042=+-y x ，0=x 及0=y ，绕x 轴；（2）42-=x y ，0=y 绕x 轴；（3）12222=+by a x ，绕x 轴；（4）x y =2，y x =2，绕y 轴；（5）x y sin =，x y cos =及x 轴上的线段]2,0[π绕x 轴旋转．解(1) 因为 dx x dV 2)42(+=π，所以3222222(24)4(44)4(24)3x V x dx x x dx x x πππ---=+=++=++⎰⎰8324(88)33ππ=--+-=．(2) 因为 dx x dV 22)4(-=π，所以dx x x V )168(2422+-=⎰-π2235)16385(-+-=x x x ππ15512=．(3) 因为 2222(1)x dV y dx b dx aππ==-，所以a aa a x a xb dx a x b V ---=-=⎰)31()1(322222ππ234ab π=．(4) 因为 dy y y dy y dy y dV )()()(4222-=-=πππ，所以2514013()()02510y y V y y dy πππ=-=-=⎰．(5) 因为 xdx dV 2sin π=，]4,0[π∈x ，xdx dV 2cos π=，]2,4[ππ∈x ，224204sin cos V xdx xdx πππππ=+⎰⎰4(1cos 2)2x dx ππ=-⎰)2(4)2cos 1(224-=++⎰πππππdx x ．7、有一铸铁件，它是由三条线：抛物线2110y x =，11012+=x y 与直线10=y 围成的图形，绕y 轴旋转而成的旋转体，算出它的重量（长度单位是厘米(cm)，铁的比重是7.8g/cm 3）．。
绕x轴旋转体的体积公开课获奖课件
32
a3
0
105
第15页
3
第6页 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2. 求由曲线 y , x直线 及x轴 1所围x成平面图形绕 轴旋转一周x 所生成旋转体体积.
解：选为积分变量，由旋转体体积公式 ，得到
Vx
1
(
0
x )2 dx
1
xdx
0
x2
2
1 0
2
第7页
例3 求由曲线x2 4 y ，直线y 1 y及 轴所围成图
第八章
第五节 定积分应用 求旋转体体积
第1页
一 旋转体体积
圆柱
圆锥
圆台
第2页
如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、直线 x a、 x b及 x轴所围成的曲边梯形绕 x轴旋
转一周而成的立体，体积为多少？
在[a,b] 上任取小区间[x, x dx]
y f (x)
取积分变量为 x x [a, b]
形分别绕x 轴y ， 轴旋转一周所生成旋转体体积
y
y
x x
第8页
解：绕 x 轴旋转体体积
Vx 12 2
2 ( x 2 )2 dx 04
2
16
2 x4dy
0
2 x5 2 8
16 5
5
y
0
绕 y 轴旋转体体积
Vy
1
(
0
4 y )2 dy
1
4 ydy
0
4
y2
1
2
a2 x
1 3
x
3
a 0
4 ab2
3
第5页 机动 目录 上页 下页 返回 结束
措施2 运用椭Leabharlann 参数方程x a costy
定积分第五节定积分的应用
=p
b2 a2
[a
2
x
-
1 3
x3 ]a-
a
=
4 p ab
3
2
.
例8由y x3 x 2 y 0所围成的图形 分别绕x轴及y轴旋转 计算所得两个旋转体的 体积
解：
绕x轴旋转所得旋转体 的体积为
绕y轴旋转所得旋转体 的体积为
Vx02y2dx02x6dx
2
Vy22808x2dy3208y3dy
3233y5864 1x7 2 128 5 05 7 0 7
给出, 其中f(x)在区间[a, b]上具有一阶连续导数. 现
在来计算这曲线弧的长度. 弧长元素(弧微分) :
y
yf(x)
ds
ds(x d)2(d y)2 1y2dx
因此所求弧长 s b 1y2 dx o a xxdxb x a
曲线
y f(x)(a x b)的
弧长：
解：
例12
sab1y2d x
计算曲线y ln x上相应于
曲线弧的长为 s 2 ( ) 2 ( ) d
da22sa2da12d
s02a12d2a[2142l2n142)( ]
sab1y2d x
s02a12d2a[2142l2n142)( ]
曲线
( )(
)的弧长：
例15 求阿基米德螺线 a (a>0)相应于 从0到2 一段的弧长.
解
立体的体积为
平行截面面积为已知 的立体的体积
A(x)dx.
A(x)
VabA(x)d x
截面面积为A(x)的立体体积V ： a b A ( x ) d
例10 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心, 并与底面交成角. 计算这平面截圆柱所得立体的体积.
5定积分的应用
a 2 xydx 2
0
a 2 x b
0
a
a2 x2 dx
a
2b a a2 x2 dx2 2b a
a0
a0
4 a2b
3
a2 x2 d (a2 x2 )
例 过点 P(1,0) 作抛物线 y x 2 的切线，该切线
与上述抛物线及 x 轴围成一平面图形，求此平面图形绕 x
轴旋转一周所成旋转体的体积。
解 设切点为( x0 , x0 2) ，
y
(3, 1)
切线斜率为
1
2 x0 2
x0 3 ,
x0 2 0 , x0 1
o
D 12
3
x
Vx
1
3
12
(3 1)
3
( x 2)dx
2
2 .
3 26
而成的旋转体体积.
y
解 V
a
(b
a2 x2 )2 dx
a
y b a2 x2
a
(b
a2 x2 )2 dx
a
8b a a2 x2 dx 0
8b 1 a2 2 2a2b . y
4
y b a2 x2
a o
ax
利用圆面积
所围成的平面图形的面积:
若 f (x) g(x)，
y
y f (x)
y g(x)
a o x x dx
b
x
面积元素: dS [ f ( x) g( x)]dx,
b
S a [ f ( x) g( x)]dx
第五节定积分在物理上的应用
2. 液体压力的计算
例 将半径为 R 的薄圆片垂直插入
O
x 入水中一半，问圆片一侧所受压力. x d x
y
解 dF PdA gx 2 ydx
R
x
2gx R2 x2dx
F
R
dF
R 2gx
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
R2 x2dx 2 gR3
0
0
3
主要内容
11 变力沿直线做功的计算 12 液体压力的计算 13 引力的计算
第六章 定积分的应用
6.3 定积分在物理上的应用
数学与统计学院 武忠祥
主要内容
11 变力沿直线做功的计算 12 液体压力的计算 13 引力的计算
主要内容
11 变力沿直线做功的计算 12 液体压力的计算 13 引力的计算
1. 变力沿直线做功的计算
例1 在 x 轴的坐标原点处有一电量为 q 的正电荷， 求在
3. 引力的计算
例 有一长为 l 的均匀带电直导线，
电荷线密度为 , 在其中垂线上且
与导线距离为 a 处放置一个电量
q 的点电荷，求它们之间的作用力.
解
dF
kqdx
a2 x2
dFy
dF cos
kqadx
(a2 x2 )32
Fy
l 2
kqadx
l 2
(a2
x
2
3
该电场力作用下将一单位正电荷从 x a 处沿 x 轴移 动到 x b 处所作的功 (0 a b) .
解
dW
F ( x)dx
k
q x2
dx
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2ab
2 0
1 2 (1 cos 2t ) d t 2ab t sin 2t ab. 2 0
特别，当a=b=r时，得圆的面积公式：
4
4
2. 旋转体的体积
设y f ( x)是[a, b]上的连续函数,由曲线y f ( x)与直线 x a, x b, y 0围成的曲边梯形绕x轴旋转一周,得到一个
旋转体,求其体积.
y
y f ( x)
o
a
b
x
可用定积分解决的问题 (1)U是与一个变量x 的区间[a,b]有关的量；
1 2 1 A x 1 x d x 1 2 2
2
y
1 y x2 2
1 (1, ) 2
y
(2, 2)
1 x 1 2
1 9 1 x3 x 2 x . 4 6 1 4
2
1 o
2 x
x2 y 2 例2 求椭圆 2 2 1 的面积. a b 解 x2 y2 b 2
A r .
2
例3 求由抛物线y 2 2 x与y=x 4所围成图形的面积. 解 y
4
y x4
(8, 4)
(2, 2) 8
2
o
x
y 2 2 x, y x 4. x 2, x 8, y 2, y 4.
y2 2x
1 2 1 1 A ( y 4) y d y y 2 4 y y 3 18. 2 2 2 6 2
第五节 定积分的应用
一 定积分在几何中的应用 1．平面图形的面积
（1） 曲线y=f (x), y=g (x),与直线x=a, x=b所围成的
平面图形的面积为
A f ( x) d x g ( x ) d x f ( x) g ( x) d x
b b b a a
y
y f ( x)
(2)U对于区间[a,b]具有可加性，就是说，如果把区
间[a,b]分成许多部分区间，则U相应地分成许多部 分量△U，而U 等于所有部分量△U之和； (3)部分量 U的近似值可表示为 f (i )xi ；
就可以考虑用定积分来表达这个量 ．
U f ( x)dx lim f (i )xi a
a
2
y
2
b
2
1 y
a
a x .
y
b 2 a x2 a
A 4
a
0
b 2 4b a 2 2 a x d x a x 2 d x. a a 0
o
x
令x a sin t , d x a cos t d t , 当x 0时, t 0;当x a时, t . 2
x
例6 解
求曲线y x 上从x 0到x 4之间的一段弧的长度.
3 2
3 1 y x 2 , 2
s
4 0
3 1 x d x 4 1 9 x d x 0 2 4
1 2
3 2
2
4 2 9 1 x 9 3 4
V y d y c
d
2
y
d
x ( y) y dy y
c
o x
例4 证明: 底面半径为r, 高为h的圆锥体的体积为
证
1 2 V r h. 3
y
A
o
r V x d x r2 0 h h
h
2
2
2
h
0
h
x2 d x
f ( x) g ( x) d x
a
a b
y g ( x)
o a
b x
(2) 由曲线x ( y)( ( y) 0)与直线y c, y d , x 0
所围成的平面图形的面积为
A ( y)d y.
c
d
(3)由曲线x ( y), x ( y), 且 ( y) ( y)与直线y c, y d
0
i 1
b
n
所求量U的积分表达式为
U f ( x)dx
a
b
这个方法称为元素法(或微元法).
y
y f x
V f x d x a
b
2
o
a
x x dx
b
x
同理, 由曲线x ( y)与直线y c, y d , x 0围成的曲边梯形 绕x轴旋转一周, 得到的旋转体的体积为
所围成的平面图形的面积为
y
A ( y) ( y) d y.
d c
y
d
x ( y)
d
x ( y) x ( y)
c
o
x
c
o
x
1 2 1 例1 求抛物线y x 和直线y x 1所围成的图形的面积. 2 2 1 2 解 x 1, y2x , x 2, 由 1 1 y x 1 y 2. y , 2 2
o
a x
2 b2 2 a
a
0
2
a2 x2 d x
a
b
旋转椭球体
2 b 2 1 3 2 a x 3 x a 0
4 ab2 . 3
3．平面曲线的弧长
s
b
a
1 y d x
2
y f ( x) ds Q P T dy dx
o
a
x x d xb
hB r x
C
1 2 2 r h. hy2 例5 求椭圆 2 2 1绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积． a b
解
y
x2 y2 2 1 2 b a b
b2 2 V 2 2 a x 2 d x 0 a
a
a
8 10 10 1 . 27 0
4
例7
，
作业
习题3.
9 12
14