高中数学第2章章末综合检测选修12

高中数学 第2章章末综合检测 新人教B 版选修1-2
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC 中，sin A sin C >cos A cos C ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不确定
解析：选D.由sin A sin C >cos A cos C ，可得cos(A ＋C )<0，即cos B >0，所以B 为锐角，但并不能判断A ，C ，故选D.
2．如果两个数的和为正数，则这两个数( ) A ．一个是正数，一个是负数 B ．两个都是正数 C ．至少有一个是正数 D ．两个都是负数
解析：选C.两个数的和为正数，则有三种情况：(1)一个是正数，一个是负数且正数的绝对值大于负数的绝对值；(2)一个是正数，一个是零；(3)两个数都是正数．可综合为“至少有一个是正数”．
3．已知a ，b ∈R ，若a ≠b ，且a ＋b ＝2，则( )
A ．1<ab <a 2＋b 2
2
B ．ab <1<a 2＋b 2
2
C ．ab <a 2＋b 2
2<1
D.a 2＋b 22
<ab <1
解析：选B.∵b ＝2－a ，∴ab ＝a (2－a )＝－(a 2－2a )
＝－(a －1)2
＋1<1，
a 2＋
b 22＝a 2＋2－a 22＝2a 2－4a ＋42
＝a 2
－2a ＋2＝(a －1)2＋1>1，故选B. 4．在面积为S (S 为定值)的扇形中，当扇形的中心角为θ、半径为r 时，扇形周长最小，这时θ，r 的值分别是( )
A ．1，S
B ．2，4
S C ．2，3
S D ．2，S
解析：选D.由S ＝12θr 2可得θ＝2S r 2，又因为扇形周长P ＝2r ＋θr ＝2(r ＋S
r )≥4S ，
所以当P 最小时，r ＝S r
，解得r ＝S ，此时θ＝2.
5．观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<7
4
，…，则可归纳出一般式子为
( )
A ．1＋122＋132＋…＋1n 2<1
2n －1(n ≥2)
B ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n ＋1
n (n ≥2)
C ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1
n (n ≥2)
D ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n 2n ＋1
(n ≥2)
解析：选C.由合情推理可归纳出
1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1n (n ≥2)．故选C. 6．有以下结论：
(1)已知p 3＋q 3
＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2；
(2)已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x 1的绝对值大于或等于1，即假设|x 1|≥1.下列说法中正确的是( )
A ．(1)与(2)的假设都错误
B ．(1)与(2)的假设都正确
C ．(1)的假设正确；(2)的假设错误
D ．(1)的假设错误；(2)的假设正确
解析：选D.用反证法证题时一定要将对立面找全．在(1)中应假设p ＋q >2.故(1)的假设是错误的，而(2)的假设是正确的，故选D.
7．若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2＋b 2＋c 2≥2
B ．(a ＋b ＋c )2
≥3 C.1a ＋1b ＋1
c
≥2 3
D ．a ＋b ＋c ≤ 3
解析：选B.∵ab ＋bc ＋ca ＝1， ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝1，
∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥1＋2(a ＋b ＋c )＝3. 8．对于a ，b ∈(0，＋∞)，a ＋b ≥2ab ，(大前提) x ＋1
x
≥2x ·1
x
，(小前提) 所以x ＋1
x
≥2，(结论)
以上推理过程中的错误为( ) A ．大前提 B ．小前提 C ．结论 D ．无错误
解析：选B.大前提中a ，b ∈(0，＋∞)，而小前提中x ∈R ，故小前提出错，应改为x ∈(0，＋∞)．
9.
如图所示的是某旅游区各景点的分布图，图中一支箭头表示一段有方向的路，试计算顺着箭头方向，从A 到H 不同的旅游路线的条数是( )
A ．15
B ．16
C ．17
D ．18
解析：选C.
这是图论中的一个问题，如果一条一条的去数，由于道路错综复杂，哪些已算过，哪些没有算过就搞不清了，所以我们换一个思路，用分析法来试试．要到H 点，需从F ，E ，G 走过来，那F ，E ，G 各点又可由哪些点走过来呢，…，这样一步一步地倒推，最后归结到A ，然后再反推过去得到如下的计算法：A 至B ，C ，D 的路数记在B ，C ，D 圆圈内，B ，C ，D 分别到F ，E ，G 的路数亦记在F ，E ，G 圆圈内，最后F ，E ，G 各个路数之和，即得至H 的总路数，如图所示．
10．若a ＞0，b ＞0，则p ＝(ab )a ＋b
2
与q ＝a b b a 的大小关系是( )
A ．p ≥q
B ．p ≤q
C ．p ＞q
D ．p ＜q
解析：选A.p q ＝a a －b 2b b －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b
2
，
若a ＞b ＞0，则a b ＞1，a －b ＞0，∴p q
＞1； 若0＜a ＜b ，则0＜a b ＜1，a －b ＜0，∴p q
＞1；
若a ＝b ，则p q
＝1，∴p ≥q .
11．已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )不能等于
( )
A ．f (1)＋2f (1)＋…＋nf (1)
B ．f ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤n n ＋12
C ．n (n ＋1)
D ．n (n ＋1)f (1)
解析：选D.由已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )及f (1)＝2，得f (2)＝f (1＋1)＝f (1)＋f (1)＝2f (1)＝4，f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝3f (1)＝6，…，依此类推，f (n )＝f (n －1＋
1)＝f (n －1)＋f (1)＝…＝nf (1)＝2n ，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋2n
2
＝n (n ＋1)．故C 正确，显然A ，B 也正确，只有D 不可能成立． 12．从一楼到二楼的楼梯共有n 级台阶，每步只能跨上1级或2级台阶，走完这n 级台阶共有f (n )种走法，则下面的猜想正确的是( )
A ．f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ≥3)
B ．f (n )＝2f (n －1)(n ≥2)
C ．f (n )＝2f (n －1)－1(n ≥2)
D ．f (n )＝f (n －1)f (n －2)(n ≥3)
解析：选A.当n ＝1时，f (1)＝1；当n ＝2时，f (2)＝2；当n ＝3时，f (3)＝3；当n ＝4时，f (4)＝5，由上面可推知选A(猜想)．
二、填空题(本大题共4小题．把正确答案填在题中横线上)
13．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD →＝12
(AB →＋AC →
)，将命题类比到四面体中去，得
到一个类比命题：
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________. 解析：△ABC 中BC 边上的中点类比为四面体中一个面的重心．
答案：在四面体A BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝13
(AB →＋AC →＋AD →
)
14．写出用三段论证明f (x )＝x 3＋sin x (x ∈R )为奇函数的步骤是__________． 解析：按照三段论的要求写出即可．
答案：满足f (－x )＝－f (x )的函数是奇函数，(大前提)
f (－x )＝(－x )3＋sin(－x )＝－x 3－sin x ＝－(x 3＋sin x )＝－f (x )，(小前提) 所以f (x )＝x 3＋sin x 是奇函数．(结论)
15．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1
2
对称，则f (1)
＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝__________.
解析：因为f (x )在R 上是奇函数，所以f (0)＝0，f (－x )＝－f (x )，又因为f (x )的
图象关于直线x ＝1
2
对称，所以f (x )＝f (1－x )，所以f (1－x )＝f (x )＝－f (－x )，设t ＝
－x ，则f (1＋t )＝－f (t )．所以f (2＋t )＝f [1＋(1＋t )]＝－f (1＋t )＝－[－f (t )]＝f (t )，即f (2＋t )＝f (t )，所以f (x )的周期为2.所以f (1)＝f (3)＝f (5)，f (2)＝f (4)．又因为f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，f (2)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝0.
答案：0
16．将正△ABC 分割成n 2(n ≥2，n ∈N )个全等的小正三角形(图①，图②分别给出了n ＝2,3的情形)，在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC 的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列．若顶点A ，B ，C 处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f (n )，则有f (2)＝2，f (3)＝__________，…，f (n )＝__________.
解析：当n ＝3时，如下图所示，各顶点的数用小写字母来表示，即由条件知a ＋b ＋c ＝1，x 1＋x 2＝a ＋b ，y 1＋y 2＝b ＋c ，z 1＋z 2＝c ＋a .
∴x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z 1＋z 2＝2(a ＋b ＋c )＝2. ∵2g ＝x 1＋y 2＝x 2＋z 1＝y 1＋z 2，
∴6g ＝x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z 1＋z 2＝2(a ＋b ＋c )＝2，
即g ＝13
.
∴f (3)＝a ＋b ＋c ＋x 1＋x 2＋y 1＋y 2＋z 1＋z 2＋g ＝1＋2＋13＝10
3
.
进一步可求得f (4)＝5.由f (1)＝1＝33，f (2)＝63＝f (1)＋33，f (3)＝103＝f (2)＋4
3
，
f (4)＝153＝f (3)＋53，可得f (n )＝f (n －1)＋n ＋13
.
所以f (n )＝f (n －1)＋n ＋1
3
＝f (n －2)＋n ＋13＋n
3
＝…
＝n ＋13＋n 3＋n －13＋…＋33＋f (1)
＝n ＋13＋…＋33＋23＋13
＝1
6
(n ＋1)(n ＋2)． 答案：103 1
6
(n ＋1)(n ＋2)
三、解答题(本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知a 是整数，a 2是偶数，求证：a 是偶数．
证明：(反证法)假设a 不是偶数，即a 是奇数，则设a ＝2n ＋1(n ∈Z )． ∴a 2＝4n 2＋4n ＋1.
∵4(n 2
＋n )是偶数， ∴4n 2＋4n ＋1是奇数，
这与已知a 2是偶数矛盾，所以假设错误， 即a 一定是偶数．
18．用三段论证明：直角三角形两锐角之和是90°. 证明：任意三角形的内角和为180°.大前提 直角三角形是三角形．小前提
直角三角形的三内角之和为180°.结论
设直角三角形的两个内角分别为∠A ，∠B ，则有∠A ＋∠B ＋90°＝180°. 等量减等量差相等．大前提
(∠A ＋∠B ＋90°)－90°＝180°－90°.小前提 ∠A ＋∠B ＝90°.结论 19．观察下表
1， 2,3，
4,5,6,7，
8,9,10,11,12,13,14,15， …
问：(1)此表第n 行的最后一个数是多少？ (2)此表第n 行的各个数之和是多少？ (3)2011是第几行的第几个数？
解：(1)由表知，每行的第一个数为偶数，所以第n ＋1行的第一个数为2n
，所以第n 行的最后一个数为2n －1.
(2)由(1)知第n －1行的最后一个数为2n －1－1，第n 行的第一个数为2n －1，第n 行的最后一个数为2n －1.又由观察知，每行数字的个数与这一行的第一个数相同，所以由等差数列求和公式得，
S n ＝2n －12n －1＋2n －12＝22n －3＋22n －2－2n －2
.
(3)因为210
＝1024,211＝2048，又第11行最后一个数为211－1＝2047，所以2011是在第11行中，由等差数列的通项公式得，2011＝1024＋(n －1)·1，所以n ＝988，所以2011是第11行的第988个数．
20.
如图所示，在四棱锥P ­ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，P 点在平面ABCD 内的射影为A ，且PA ＝AB ＝2，E 为PD 的中点．求证：
(1)PB ∥平面AEC ；
(2)平面PCD ⊥平面PAD . 证明：
(1)如图所示，连结BD 交AC 于点O ，连结EO .∵O 为BD 中点，E 为PD 中点，∴EO ∥PB .∵EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，∴PB ∥平面AEC .
(2)∵P 点在平面ABCD 内的射影为A ，∴PA ⊥平面ABCD .∵CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD . ∵在正方形ABCD 中CD ⊥AD 且PA ∩AD ＝A ， ∴CD ⊥平面PAD .又CD ⊂平面PCD ， ∴平面PCD ⊥平面PAD .
21．设函数f (x )＝|lg x |，若0＜a ＜b ，且f (a )＞f (b )． 证明：0<ab <1.
证明：法一：由已知f (x )＝|lg x |
＝⎩⎨⎧
lg x x ≥1－lg x 0＜x ＜1
. ∵0＜a ＜b ，f (a )＞f (b )．
∴a 、b 不能同时在区间[1，＋∞)上， 又由于0＜a ＜b ，故必有a ∈(0,1)． 若b ∈(0,1)，显然有0＜ab <1；
若b ∈(1，＋∞)，由f (a )－f (b )＞0， 有－lg a －lg b ＞0，
∴lg(ab )＜0，∴ab ＜1.
法二：由题设f (a )＞f (b )，即|lg a |＞|lg b |，
上式等价于(lg a )2＞(lg b )2
， (lg a ＋lg b )(lg a －lg b )＞0， ∴lg(ab )·lg a b
＞0， 由已知b ＞a ＞0，∴a b
＜1， ∴lg a b
＜0， ∴lg(ab )＜0， ∴0＜ab ＜1.
22．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－a n －⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12n －1＋2(n 为正整数)．令b n ＝2n a n ，
(1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．
解：(1)证明：在S n ＝－a n －⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12n －1＋2中，
令n ＝1，可得S 1＝－a 1－1＋2＝a 1，
∴a 1＝12
.
当n ≥2时，S n －1＝－a n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫
12n －2＋2，
∴a n ＝S n －S n －1＝－a n ＋a n －1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12n －1.
∴2a n ＝a n －1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1
，
即2n a n ＝2n －1
a n －1＋1. ∵
b n ＝2n a n ， ∴b n ＝b n －1＋1.
即当n ≥2时，b n －b n －1＝1， 又b 1＝2a 1＝1，
∴数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列． (2)由(1)可知，b n ＝1＋(n －1)·1＝n ＝2n a n ，
∴a n ＝n 2n .即数列{a n }的通项公式为n
2n .。