(精校版)天津文数高考试题文档版(含)

2021 年一般高等学校招生全国一致考试〔天津卷〕
数学〔文史类〕
本试卷分为第一卷〔选择题〕和第Ⅱ〔非选择题〕两局部，共150 分，考试用时120 分钟。

第一卷 1 至 2页，第二卷 3 至 5 页。

答卷前，考生务必然自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定地址粘贴考试用条形码。

答卷时，
考生务必然答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位
考生考试顺利！
第 I 卷
本卷须知：
1、每题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂
其他答案标号。

2.本卷共 8 小题，每题 5 分，共 40 分
参照公式：
若是事件 A ，B 互斥，那么·若是事件A ，B 相互独立，
P(A ∪B)=P(A)+P(B) ．P(AB)=P(A) P(B) ．
柱体的体积公式V 柱体 =Sh，圆锥的体积公式V =1
Sh 3
其中S 表示柱体的底面积其中其中S表示锥体的底面积，h 表示圆锥的高．h 表示棱柱的高．
一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的.
〔 1〕会集A{1,2,3} ， B { y | y2x 1, x A} ，那么A I B =
〔 A 〕{1,3}〔 B 〕{1,2}〔 C〕{ 2,3}〔 D〕{1,2,3}
〔 2〕甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是1
，甲获胜的概率是
1
，那么甲不输的概率
为
23
〔A〕5
〔B〕
2
〔C〕
1
〔D〕
1 6563
〔 3〕将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，获取的几何体的正视图与俯视图以以下图，那么该几何体的侧〔左〕视图为学科& 网
〔 4〕双曲线x
2
y21(a0, b0) 的焦距为 2 5 ，且双曲线的一条渐近线与直线2x y0 垂直，a2b2
那么双曲线的方程为
〔 A〕x2
y21〔 B 〕x2
y2
4
1
4
〔C〕 3x23y21〔D〕 3x2 3 y21 205520
〔 5〕设x 0
，
y R x y x | y |
〞的
，那么“〞是“
〔A〕充要条件
〔B 〕充分而不用要条件
〔 C〕必要而不充分条件〔 D 〕既不充分也不用要条件
〔 6〕f ( x)是定义在R上的偶函数，且在区间(,0) 上单调递加，假设实数 a 满足f (2|a
1|) f (2) ，
那么 a 的取值范围是
〔A 〕 (
, 1
)
〔B 〕 (
,1) (3
,
)
〔C 〕 (1, 3
)
〔D 〕(3
,
)
2
2
2
2 2
2
〔 7〕 △ABC 是边长为
1 的等边三角形，点 D, E 分别是边 AB, BC 的中点，连接
DE 并延长到点 F ，
DE 2EF uuur uuur
使得
，那么
g
AF BC 的值为
〔 A 〕
5
1 〔 C 〕
1 11
8
〔 B 〕
〔 D 〕
8
8
4
〔 8〕函数 f (x)
sin 2 x 1
sin x
1 (
0) ， x R .假设 f (x) 在区间 ( ,2 ) 内没有零点， 那
么
的
2 2
2
取值范围是
〔A 〕 (0,1
]
〔B 〕 (0,1
]
[5
,1) 〔C 〕 (0, 5
]
〔D 〕 (0, 1
]
[1,5
]
8
4 8
8
8
4 8
第二卷
本卷须知：
1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上 .
2、本卷共 12 小题，共计 110 分.
二、填空题：本大题共
6 小题，每题
5 分，共 30 分.
〔 9〕 i 是虚数单位，复数 z 满足 (1 i )z 2
，那么 z 的实部为 _______.学科 &
网 〔 10〕函数
f ( x ) (2 +1) x , f ( ) 为
f (x) 的导函数，那么
f (0) 的值为
__________.
x e x
〔 11〕阅读右边的程序框图，运行相应的程序，那么输出
S 的值为
_______.
〔第 11 题图〕
〔 12〕圆 C 的圆心在 x 轴的正半轴上，点M (0, 5)在圆 C 上，且圆心到直线2x y 0 的距离为 4 5 ，
5
那么圆 C 的方程为 __________.
（13〕如图， AB 是圆的直径，弦 CD 与 AB 订交于点 E，BE=2AE=2，BD =ED ，那么线段 CE 的长为 __________.
x2(4a3) x3a, x0
0且 a1) 在R上单调递减，且关于x的方程 | f ( x) | 2x
(14) 函数f ( x)
1)1,x (a
3
log a (x0
恰有两个不相等的实数解，那
么 a 的取值范围是学科& 网 _________.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分 . 解同意写出文字说明，证明过程或演算步骤.〔 15〕〔本小题总分值
13分〕
在 ABC 中，内角A, B, C所对应的边分别为a,b,c，a sin 2B3b sin A.
( Ⅰ)求 B；
( Ⅱ)假设cosA 1
，求 sinC 的值学科 .网. 3
(16)( 本小题总分值13 分 )
某化肥厂生产甲、乙两种混杂肥料，需要A,B,C 三种主要原料 .生产 1 车皮甲种肥料和生产 1 车皮乙种肥料所需三种原料的吨数以下表所示：
现有 A 种原料200 吨， B种原料360 吨， C种原料300 吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料.生产 1 车皮甲种肥料，产生的利润为 2 万元；生产 1 车皮乙种肥料，产生的利润为 3 万元 .分别用x,y表示方案生产甲、乙两种肥料的车皮数.
( Ⅰ)用 x,y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面地域；学科.网
( Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.
(17)( 本小题总分值13 分 )
如图，四边形 ABCD 是平行四边形，平面 AED ⊥平面 ABCD ，EF||AB ，AB=2 ，BC=EF=1 ，AE= 6 ，DE=3，∠BAD=60o ， G 为 BC 的中点 .
( Ⅰ)求证： FG||平面 BED ；
( Ⅱ)求证：平面BED ⊥平面 AED ；
( Ⅲ)求直线 EF 与平面 BED 所成角的正弦值.
(18)( 本小题总分值 13 分 )
a n是等比数列，前n 项和为S n n N ，且1
1
2
,S663 .
a1a2a3
( Ⅰ)求a n的通项公式；
( Ⅱ)假设对任意的n N ,b n是log2a n和
log2a n 1的等差中项，求数列
n
2的前 2n 项和 .
1 b n
〔 19〕〔本小题总分
值14 分〕
设椭圆 x2y21〔a 3 〕的右焦点为F，右极点为A，113e，其中
O 为原点，
a23|OF | |OA| |FA|
e为椭圆的离心率.
〔Ⅰ〕求椭圆的方程；学.科 .网
〔Ⅱ〕设过点 A 的直线l与椭圆交于点B〔 B 不在x轴上〕，垂直于l的直线与l交于点 M ，与 y 轴交于点 H ，假设 BF HF ，且MOA MAO ，求直线的 l 斜率.
〔 20〕〔本小题总分
值14 分〕
设函数 f ( x) x3ax b ，x R ，其中a, b R
〔Ⅰ〕求 f( x) 的单调区间；
〔Ⅱ〕假设
f( x) 存在极值点x0，且f (x1) f ( x0 ) ，其中 x1x0，求证： x1 2x00 ；
〔Ⅲ〕设 a0 ，函数g( x) | f ( x) | ，求证： g( x) 在区间 [1,1] 上的最大值不小于1
.
．．．4
2021 年一般高等学校招生全国一致考试〔天津卷〕
数学〔文史类〕参照答案一、选择题：
（1〕【答案】 A
（2〕【答案】 A
（3〕【答案】 B
（4〕【答案】 A
（5〕【答案】 C
（6〕【答案】 C
（7〕【答案】 B
（8〕【答案】 D
二、填空题：
（9〕【答案】 1
（10〕【答案】 3
（11〕【答案】 4
〔 12〕【答案】( x2)2y 29.
〔 13〕【答案】
2 3
3
(14) 【答案】[1
,
2
) 33
三、解答题〔 15〕
【答案】〔Ⅰ〕B
6〔Ⅱ〕
261
6
【解析】
试题解析：〔Ⅰ〕利用正弦定理，将边化为角：2sin Asin B cos B3sinBsin A ,再依照三角形内角范围化简
得 cosB
3
，B〔Ⅱ〕两角，学科& 网求第三角，利用三角形内角和为，将所求角化为两已26
知角的和，再依照两角和的正弦公式求解
试题解析：〔Ⅰ〕 解：在
ABC 中，由
a b
，可得 a sin B
b sin A ，又由 a sin 2B
3b sin A
得
sin A sin B
2a sin B cos B
3 ，得 B
；
3bsin A3a sin B ，因此 cos B
2
6
1 2 2
sin[
( A
B)] sin( A B) ，因此
〔Ⅱ〕解：由 cos A 得 sin A
，那么 sin C
3
3
sin C sin( A
) 3
sin A
1
cos A
2 6 1
6
2
2
6
考点：同角三角函数的根本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理
(16)
【答案】〔Ⅰ〕详见解析〔Ⅱ〕生产甲种肥料
20 车皮，乙种肥料 24 车皮时利润最大，且最大利润为
112 万
元
【解析】
试题解析：〔Ⅰ〕依照生产原料不能够高出 A 种原料 200 吨， B 种原料式，即可行域，再依照直线及地域画出可行域〔Ⅱ〕目标函数为利润
360 吨， C 种原料 300 吨，列不等关系
z 2x 3y ，学 . 科网依照直线平移
及截距变化规律确定最大利润
4x 5 y 200 8x 5 y 360
试题解析：〔Ⅰ〕解：由
x, y 满足的数学关系式为 3x 10y 300 ，该二元一次不等式组所表示的区 x 0
y 0
域为图 1 中的阴影局部 .
y
8x+5y=360 10
O10
4x+5y=200
(1)
x
3x+10y=300
〔Ⅱ〕解：设利润为z 万元，那么目标函
数z 2x 3y ，这是斜率为2，随 z 变化的一族平行直线.z 为
33
直线在 y 轴上的截距，当z
取最大值时，z 的值最大.又因为x, y满足拘束条件，因此由图2可知，学 . 科3
网当直线 z 2x3y 经过可行域中的点
4x 5 y200 M 时，截距z的值最大，即 z 的值最大.解方程组
10y300 33x
得点 M 的坐标为 M (20,24) ，因此 z max 2 20 3 24 112.
答：生产甲种肥料20 车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112 万元.
y
8x+5y=360
M
10
O10
x
2x+3y=z
3x+10y=300
4x+5y=200
2x+3y=0
(2)
考点：线性规划
【结束】
(17)
【答案】〔Ⅰ〕详见解析〔Ⅱ〕详见解析〔Ⅲ〕
5
6
【解析】
试题解析：〔Ⅰ〕证明线面平行，一般利用线面平行判判定理，学
.科网即从线线平行出发恩赐证明，而线线
平行搜寻与论证， 经常结合平几知识， 如此题构造一个平行四边形： 取 BD 的中点为 O ，可证四边形 OGFE
是平行四边形，进而得出
FG // OE 〔Ⅱ〕面面垂直的证明，一般转变成证线面垂直，而线面垂直的证明，
经常需屡次利用线面垂直判断与性质定理，而线线垂直的证明有时需要利用平几条件，如此题可由余弦定
理解出
ADB
900 ，即 BD
AD 〔Ⅲ〕求线面角，要点作出射影，即面的垂线，可利用面面垂直的性
质定理获取线面垂直，即面的垂线：过点
A 作 AH
DE 于点 H ，那么 AH
平面 BED ，进而直线 AB 与
平面 BED 所成角即为
ABH .再结合三角形可求得正弦值
试题解析：
〔Ⅰ〕证明：取
BD 的中点为 O ，连接 OE ,OG ，在 BCD 中，因为 G 是 BC 的中点，因此 OG // DC 且
OG
1
DC 1，又因为 EF // AB, AB // DC ，因此 EF // OG 且 EF
OG
2
，即四边形 OGFE 是平行四边形， 因此 FG // OE ，又 FG 平面 BED ， OE 平面 BED ，因此 FG // 平
面 BED .
〔Ⅱ〕证明：在 ABD 中， AD 1, AB 2, BAD
600 ，由余弦定理可 BD
3 ，进而可得
ADB 90 0 ，即 BD
AD ，学 .科网又因为平面 AED 平面 ABCD , BD
平面 ABCD ；平面 AED
平面 ABCD AD ，因此 BD 平面 AED .又因为 BD 平面 BED ，因此平面 BED
平面 AED .
〔Ⅲ〕解：因为
EF // AB ，因此直线 EF 与平面 BED 所成角即为直线
AB 与平面 BED 所成角 .过点 A 作
AH
DE 于点 H ，连接 BH ，又因为平面 BED
平面 AED
ED ，由〔Ⅱ〕知 AH 平面 BED ，所
以直线 AB 与平面 BED 所成角即为 ABH .在 ADE 中， AD 1, DE 3, AE 6 ，由余弦定理可得
cos ADE
2
5 ADE
5 ，在 Rt AHB 中，
，因此 sin ADE
，因此 AH AD sin
3
3
3
sin ABH
AH 5
5
AB
，因此直线 AB 与平面 BED 所成角的正弦值为
6
6
考点：直线与平面平行和垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角
【结束】
(18)
【答案】〔Ⅰ〕 a n2n1〔Ⅱ〕 2n2
【解析】
试题解析：〔Ⅰ〕求等比数列通项，一般利用待定系数法：先由112解得 q2,q1，分别
a1a1 q a1q 2
代入S n a1 (1q6 )
63 得 q1， a1 1 〔Ⅱ〕先依照等差中项得1q
b n 1
(log 2 a n log 2 a n 1 )
1
(log 22n 1log 2 2 n )n
1
，再利用分组求和法求和：222
T
2 n( b12b22 )( b32b42 )(b22n 1b22n )b1b2b
2 n2n(b1 b2n )2n2
2
试题解析：〔Ⅰ〕解：设数列{ a n } 的公比为q，由有112
，解之可得 q2, q 1 ，又由a1a1 q a1 q2
S n a1 (1q6 )63 知 q1，因此a
1
(1
26 )63 ，解之得a1 1 ，因此a n2n1.
1q12
〔Ⅱ〕解：由题意得 b n 1
(log 2a n log 2 a n 1 )
1
(log 22n 1log 2 2n )n
1
，即数列 { b n } 是首项为222
1
，公差为 1的等差数列.
2
设数列{(1) n b n2 } 的前 n 项和为 T n，那么
T2 n (b12b22 ) ( b32b42 )( b22n 1 b22n ) b1 b2b
2 n2n(b1 b2n )2n2
2
考点：等差数列、等比数列及其前n 项和【结束】
（19〕
x2y2
16
【答案】〔Ⅰ〕
3〔Ⅱ〕
44【解析】
试题解析：〔Ⅰ〕求椭圆标准方程，只需确定量，由
113c113c
再利用
，得
a(a c) ，
|OF ||OA||FA|c a
a2c2b23，可解得 c21，a2 4 〔Ⅱ〕先化简条件：MOA MAO|MA | |MO|，即 M
再 OA 中垂线上，x M1，再利用直线与椭圆地址关系，联立方程组求B
；利用两直线方程组求H，最后
依照 BF
HF，列等量关系解出直线斜率 .
试题解析：〔 1〕解：设F (c,0)，由113c，即113c，可得 a2c23c2，又
|OF ||OA| |FA|c a a( a c)
a2c2b23，因此 c21，因此 a2 4 ，学.科网因此椭圆的方程为x2y2 1 .
43
〔 2〕设直线的斜率为k(k0)，那么直线
l的方程为 y k( x2) ，
设 B( x B , y B ) ，由方程组x2y21,
43消去 y ，y k (x2),
整理得(4 k23)x216 k 2 x16k 2120，解得 x2或 x8k 26，
4k 23
由题意得 x B8k 26
，进而 y B12k，
4k 234k 23
由〔 1〕知F (1,0)
uuur
(
uuur
(
94k 2
,
12k
) ，，设 H (0, y H ) ，有FH1, y H ) ，BF
4k
2
3
2
3
4k
uuur uuur
0 ，因此
4k2
912ky H
由 BF HF ，得BF HF0 ，
4k 234k 23
解得 y H94k2，因此直线 MH 的方程为 y 1 x94k 2，12k k12k
y 194k 2
20k29
设 M (x M , y M ) ，由方程组k x
12k,消去 y ，得x M
12( k
2，
y k( x2),1)在MAO 中，MOA MAO|MA| |MO |，
即 ( x M2) 2y M2x M2y M2，化简得 x M 1 ，即20k
12(k
解得 k 6
或 k
6
，
44
2
2
9
1，
1)
因此直线 l 的斜率为 k 6 或 k
6 .
44
考点：椭圆的标准方程和几何性质，学 .科网直线方程
【结束】
〔 20〕
【答案】〔Ⅰ〕详见解析 .〔Ⅱ〕详见解析〔Ⅲ〕详见解析
【解析】
试题解析：〔Ⅰ〕先求函数的导数： f ( x)
3x 2 a 再依照导函数零点可否存在情况，
分类谈论： ①当 a 0
，
时，有 f ( x)
3x 2 a
0 恒成立，因此 f ( x) 的单调增区间为 (
, ) .②当 a
0 时，存在三个单调区间
2a
〔Ⅱ〕由题意得
f
( x 0 ) 2
a 0 x 0
3 ，再由
f (x 1)
f ( x 0 )
化简可得结论 〔Ⅲ〕实质研究函数 g( x)
3x 0
即
f (1), f (
| f (
3a
|,| f (
3a ) |
a 3 时，
最大值：主要比较
1) ， 3
3
的大小即可，分三种情况研究①当
3a 1
1
3a
3 a
2 3a
1
3a 3a 2 3a
a
3 3
3 ，②当
4 3 时， 3
3
1
，③当 0
时，
3
3
4
2 3a
2 3a
1.
1
3
3
试题解析：〔 1〕解：由 f (x) x 3 ax b ，可得 f ( x) 3x 2 a ，下面分两种情况谈论：
①当 a
0 时，有 f ( x) 3x 2 a
0 恒成立，因此 f (x) 的单调增区间为 (
, ) .
②当 a
0 时，令 f ( x)
0 ，解得 x
3a 3a
或 x
.
3
3
当 x 变化时， f ( x) 、 f ( x) 的变化情况以下表：
(
3a 3a (
3a 3a 3a 3a ,
)
,
)
(
, )
x 3
3
3
3
3
3
f (x)
f ( x)
单调递加
极大值
单调递减 极小值
单调递加
因此 f ( x) 的单调递减区间为
(
3a , 3a
) ，单调递加区间为 (
,
3a
) ， (
3a , ) .
3
3
3
3
〔 2〕证明：因为 f (x) 存在极值点，因此由〔 1〕知 a 0 且 x 0
0 .
由题意得 f (x 0 ) 3x 02 a
0 ，即 x 02 a ，
3 进而 f ( x 0 ) x 03
ax 0 b
2a
x 0 b ，
3
8a
x 0
2a
x 0
又
f ( 2x 0 )
8x 03 2ax 0 b
2ax 0 b
b
f ( x 0 ) ，且 2x 0
x 0 ，
3
3
由题意及〔 1〕知，存在唯一实数 x 1 满足 f ( x 1 ) f ( x 0 ) ，学科 & 网且 x 1 x 0 ，因此 x 1
2x 0 ，
因此 x 1 +2 x 0 =0 .
（ 3〕证明：设 g( x) 在区间 [ 1,1]上的最大值为 M ， max{ x, y} 表示 x ， y 两数的最大值，下面分三种情况谈论：
①当 a
3 时，
3a 1 1
3a ，由〔 1〕 知 f ( x) 在区间 [
1,1]上单调递减，
3
3
因此 f ( x) 在区间 [ 1,1] 上的取值范围为 [ f (1), f ( 1)] ，因此，
M max{[ f (1), f ( 1)]} max{|1 a b |,| 1 a b |}
max{| a
1 b |,| a 1 b |}
a 1 b,
b 0, 因此 M
a 1 |
b | 2 .
a 1 b, b
0,
②当
3
a 3 时，
2 3a
1
3a 3a 1
2 3a ，
4
3
3
3
3
由〔 1〕和〔 2〕 知 f (
1) f ( 2 3a )
f (
3a
) ， f (1) f (
2
3a ) f (
3a
) ，
3
3
3
3
因此 f ( x) 在区间 [ 1,1] 上的取值范围为 [ f (
3a
), f (
3a
)] ，
3
3
因此 max{| f (
3a
|,| f (
3a
) |} max{|
2a 3a b |,| 2a
3a
b |}
3
3
9 9
max{| 2a
3a b |,|
2a
3a b |}
2a 3a
|b | 2
3 3 3 1 .
9
9
9
9 4 4 4
③当 0
a
3 1
2 3a
2 3a
时，
3
1，由〔 1〕和〔 2〕知，
4
3
f ( 1)
f (
2 3a ) f (
3a
) ， f (1) f (
2 3a
)
f (
3a ) ，
3
3
3
3
因此 f ( x) 在区间 [ 1,1] 上的取值范围为
[ f (1), f ( 1)] ，因此，
M max{[ f (1), f ( 1)]} max{| 1 a b |,|1 a b |}
max{|1 a b |,|1 a b |}
1 a | b |
1 .
4
综上所述，当
a 0 时， g(x) 在区间 [ 1,1]上的最大值不小于
1 .
4
考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式
【结束】。