2020年北京昌平区第一中学高二数学文模拟试卷含解析

2020年北京昌平区第一中学高二数学文模拟试卷含解
析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图，在四面体OABC中，G是底面ABC的重心，则等于
A. B.
C. D.
参考答案：
D
略
2. 点是等腰三角形所在平面外一点，中，底边的距离为（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
3. 已知X～N（0，σ2）且P（﹣2≤X＜0）=0.4，则P（x＞2）为（）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
参考答案：
A
略
4. 若,则一定成立的不等式是( )
A. B. C. D.
参考答案：
B
5. 椭圆的一个焦点坐标为，那么的值为（）
A B C
D
参考答案：
C
6. 点关于直线对称的点是 ( )
A． B． C．
D．
参考答案：
C
7. 用数字1、2、3、4、5可组成没有重复数字的三位数共有：
A．10个B．15个C．60个D．125个参考答案：
C
8. 已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（1，2），则此双曲线方程为（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由题意知c==，点（1，2）在y=x上，由此能求出双曲线的方程．
【解答】解：∵双曲线的左右焦点分别为F1，F2，
以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（1，2），
∴由题意知c==，
∴a2+b2=5，①
又点（1，2）在y=x上，∴，②
由①②解得a=1，b=2，
∴双曲线的方程为=1．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线简单性质的合理运用．
9. 已知椭圆的左焦点为F,右顶点为A,点B在椭圆上,且,直线AB交y轴于点P.若,则椭圆的离心率是（）
A． B． C．.
D．
参考答案：
D
10. 在中，角所对的边分别为，若,且
，则下列关系一定不成立的是
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 定积分__________．
参考答案：
【分析】
根据定积分的几何意义求出，再由微积分基本定理求出，进而可得出结果.
【详解】因为表示圆面积的，所以
；
又，
所以.
故答案为
【点睛】本题主要考查求定积分的问题，熟记定积分的几何意义，以及微积分基本定理即
可，属于常考题型.
12. 设某几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积是
参考答案：
32
13. 若命题“?x0∈R，x02+（a﹣1）x0+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为．
参考答案：
[﹣1，3]
【考点】特称命题；命题的否定．
【专题】规律型．
【分析】根据特称命题为假命题，则对应的全称命题为真命题，利用不等式恒成立即可求解a的取值范围．
【解答】解：∵命题“?x0∈R，x+（a﹣1）x0+1＜0”是假命题，
∴命题“?x∈R，x2+（a﹣1）x+1≥0”是真命题，
即对应的判别式△=（a﹣1）2﹣4≤0，
即（a﹣1）2≤4，
∴﹣2≤a﹣1≤2，
即﹣1≤a≤3，
故答案为：[﹣1，3]．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的应用，以及不等式恒成立问题，比较基础．
14. 关于x的方程有一个实数解，则实数m的取值范围是______.
参考答案：
．
【分析】
由题意可得，函数y＝x+1的图象和函数y的图象有一个交点，对函数
y的m分类，分别画出y的图象，可求出实数m的取值范围．【详解】∵关于x的方程x+1有一个实数解，
故直线y＝x+1的图象和函数y的图象有一个交点．
在同一坐标系中分别画出函数y＝x+1的图象和函数y的图象．
由于函数y，
当m=0时，y和直线y＝x+1的图象如图：
满足有一个交点；
当m>0时，y y2﹣x2＝m(y>0)
此双曲线y2﹣x2＝m的渐近线方程为y＝±x，其中y=x与直线y＝x+1平行，
双曲线y2﹣x2＝m的顶点坐标为（0，），
如图：只要m>0，均满足函数y＝x+1的图象和函数y的图象有一个交点，
当m<0时，y x2﹣y2＝﹣m(y>0)，
此双曲线x2﹣y2＝﹣m的渐近线方程为y＝±x，其中y=x与直线y＝x+1平行，
而双曲线x2﹣y2＝﹣m的顶点坐标为（，0），如图：
当时，满足函数y＝x+1的图象和函数y的图象有一个交点，
即当时符合题意；
综上：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点直线和双曲线的位置关系的应用，将问题转化为直线y＝x+1的图象和函数y的图象有一个交点，是解答本题的关键，考查了数形结合思想，属于中档题．
15. 若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝_____.
参考答案：
16. 将“函数y=2x+5的图像是一条直线”用三段论表示为：
大前
提：
小前
提：
结
论：
参考答案：
大前提：一次函数的图像是直线
小前提：函数y=2x+5是一次函数结论：函数y=2x+5的图像是一条直线
略
17. 下列4个命题中假命题的是（写上对应的程序号）
①若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则q为假命题
②命题“如果=2，则（x+1）（x﹣5）=0”的否命题是真命题
③“方程x2+x+m=0有实数根”是“m＜”的必要不充分条件
④命题p：?x∈R，x+＜2的否定为￢p：?x?R，x+≥2．
参考答案：
①②④
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】①，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则q、p有一个为假命题，一个为真；
②，≠2时，（x+1）（x﹣5）=0可能成立；
③，方程x2+x+m=0有实数根?△=1﹣4m≥0?是m≤；
④，命题的否定只否定结论，不否定条件，
【解答】解：对于①，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则q、p有一个为假命题，一个为真，故错；
对于②，≠2时，（x+1）（x﹣5）=0可能成立，故错；
对于③，方程x2+x+m=0有实数根?△=1﹣4m≥0?是m≤故正确；
对于，④命题p：?x∈R，x+＜2的否定为￢p：?x∈R，x+≥2，故错．
故答案为：①②④
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元(3≤a≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为(12－x)2万件．
(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a)．参考答案：
略
19. 设函数(a＞0且a≠1)是定义域为R的奇函数
（1）求K的值
（2）若, 且, 求在上的最小值参考答案：
(1)K=0 2）
20. 已知两个函数,对任意的
，求k的取值范围
参考答案：
解：要对任意的，只须使函数f(x)的最大值小于或等于函数g(x)的最小值即可，
由，得；又，可得函数g(x)在递增，在递减，在递增，所以g(x)的最小值只可能在x=或时取得，又，所以，
∴，解得k的取值范围为
略
21. 如图，已知椭圆C的方程为，点P（a，b）的坐标满足，过点P 的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：
（1）点Q的轨迹方程；
（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数．
参考答案：
【考点】圆锥曲线的综合．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】（1）先把A、B两点和点Q的坐标设出来，再分A、B两点的横坐标相等和不相等两种情况分别设出直线l的方程，再利用A、B两点既在直线上又在椭圆C上，可以找到A、B两点坐标之间的关系，最后利用中点坐标公式，就可求点Q的轨迹方程（注意要反过来检验所求轨迹方程是否满足已知条件）；
（2）先找到曲线L与y轴的交点（0，0），（0，b）以及与x轴的交点坐标（0，0），（a，0），再对a和b的取值分别讨论，分析出与坐标轴的交点的个数（注意点P（a，
b）的坐标满足）．
【解答】解：（1）设点A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），点Q的坐标为Q （x，y）．当x1≠x2时，设直线l的斜率为k，则l的方程为y=k（x﹣a）+b
由已知①
y1=k（x1﹣a）+b，y2=k（x2﹣a）+b②
由①得③
由②得y1+y2=k（x1+x2）﹣2ak+2b④
由③④及，，，
得点Q的坐标满足方程2x2+y2﹣2ax﹣by=0⑤
当x1=x2时，k不存在，此时l平行于y轴，因此AB的中点Q一定落在x轴上，即Q的坐标为（a，0）．
显然点Q的坐标满足方程⑤
综上所述，点Q的坐标满足方程2x2+y2﹣2ax﹣by=0．
设方程⑤所表示的曲线为L，
则由
得（2a2+b2）x2﹣4ax+2﹣b2=0．
因为，由已知，
所以当时，△=0，曲线L与椭圆C有且只有一个交点P（a，b）．
当时，△＜0，曲线L与椭圆C没有交点．
因为（0，0）在椭圆C内，又在曲线L上，所以曲线L在椭圆C内．
故点Q的轨迹方程为2x2+y2﹣2ax﹣by=0
（2）由解得曲线L与y轴交于点（0，0），（0，b）．
由解得曲线L与x轴交于点（0，0），（a，0）
当a=0，b=0，即点P（a，b）为原点时，（a，0）、（0，b）与（0，0）重点，曲线L与坐标轴只有一个交点（0，0）．
当a=0且，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时，点（a，0）与（0，0）重合，曲线L与坐标轴有两个交点（0，b）与（0，0）．
同理，当b=0且0＜|a|≤1，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除去原点的x轴上时，曲线L与坐标轴有两个交点（a，0）与（0，0）．
当0＜|a|＜1且，即点P（a，b）在椭圆C内且不在坐标轴上时，曲线L与坐标轴有三个交点（a，0）、（0，b）与（0，0）．
【点评】本题综合考查了直线与椭圆的位置关系以及轨迹方程问题．直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了直线，圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及到函数，方程，不等式，平面几何等许多知识，可以有效的考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成了高考的热点和重点．
22. （12分）已知函数f（x）=ax3+bx+12在点（1，f（1））处的切线方程为9x+y﹣
10=0．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）设函数f（x）在[0，m]（m＞0）上的最大值为g（m），求函数g（m）的最小值．参考答案：
（Ⅰ）∵f（x）=ax3+bx+12在点（1，f（1））处的切线方程为9x+y﹣10=0，∴f′（x）=3ax2+x，
，
解得a=1，b=﹣12．
（Ⅱ）∵f′（x）=3x2﹣12=3（x2﹣4），
由f′（x）＞0，得x＜﹣2或x＞2，
∴f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
由f（0）=12，即x2﹣12x+12=12，得x=0，或x=，
①当0＜m＜2时，f（x）在（0，2）上单调递递，
在（2，m）上单调递增，且f（0）＞f（m），
∴f（x）的最大值为f（0）=12．
②当m时，f（x）在（0，2）上单调递递，
在（2，m）上单调递增，且f（0）≤f（m），
∴f（x）的最大值为f（m）=m2﹣12m+12，
∴g（x）=，
∵g（m）在[2，+∞）上是增函数，
∴g（m）有最小值g（2）=12，
综上，当m＞0时，g（m）有最小值12．。