江东区初中数学首届教师基本功比赛之一

解题比赛试题
前言
亲爱的老师： 你好！
今天，我们相聚在这里，举行首届解题比赛．相信你有了充分的准备．在以下的试题中，你将会碰到许多教材中的问题，也将会体验到我们解决数学问题中常见的数学思想和方法，我们举办解题比赛不是为了决出大家能力的高低，而是希望通过这种方式引起教师对教材的关注，对数学思想方法的重视，并逐步形成问题意识和反思问题的能力．
卷一 数学教师的基本功
一、 基础知识和基本技能
1. 数学是一门很有趣的学科．你看，在“113355”这个六位数的中间画一条线得到“113│355”，
这个数就被分成了两个三位数，即113，355，把这条竖线横过来，就得到了祖冲之计算的密率
355
113
π≈
．现在，请你在“4950625”这个数的适当地方画一条线，也把它分成2个数，使这2个数都是完全平方数．这种分法是 （写出所有可能的划分）． 2. 近似数a ≈260000，则a 的范围是 ；
近似数b ≈26万，则b 的范围是 ．
3. 如图是一个由若干个小正方体搭成的几何体的三视图，则组成这个几何体的小正方体的个数是 ． （写出所有可能的个数）
4. 以下是按规列排律的一列数81，8，1，
16，125
，……，则这列数第7个数是__________． 二、 常用的数学解题方法
我们初中数学教师要求学生掌握一些常用的数学方法，如代数学习中的配方法、待定系数法、降次法、换元法、从反面考虑法等，几何学习中的补形法、构造法、面积法等．亲爱的老师，请你尝试运用上述方法，解决下面问题．
5. 已知直线AB 上两点A 、B 的坐标分别是A （1，3）、B （0，5），有四点C （3，-1）、D （-1，7）、
E （-2，8）、
F （7，-9），其中不在直线AB 上的是 ． 6. 若2
2
2
2
3
2312,,__________.a b c a b c ab bc ca a b c ++=++=++++=则
7. 若方程2
2230x x a +-+=和2
250x x a +++=至少有一个方程有实数解，则实数a 的取值范
围是 ．
8. 已知0572
=+-x x ，则代数式3
2
624x x x --+的值是 ． 9.
⎪
⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++2009131212010131211201013121200913
1211 的值等于 ．
主视图
左视图
俯
视
图
（第3题）
10. 已知x 为实数，那么代数式22)12(94x x -+++的最小值是 ．
11. 如图，六边形ABCDEF 中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F ，且
AB+BC=11，FA-CD=3，则BC+DE 的值是 ．
12. 如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（－8，0），直线BC 经过点B （-8，
6）和C （0，6），将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时直
线OA′、直线B′C′分别与直线BC 相交于P 、Q ．在四边形OA B C 旋转过程中，当4590α<≤且BP=
1
2
BQ 时线段PQ 的长是 ． 三、 常用的数学思想
数学思想是引领我们发现、掌握解题方法的指导思想，常见的数学思想有分类思想、整体思想、转化思想、数形结合思想等．你是否具有这些思想呢？请解决下列问题．
13. 如图，在等腰△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=80°，则它的一条内角平分线与一条边上的高相交
所成的锐角是___________．
14. 如图，在圆O 中，弦AD 、BC 相交于点M ，已知∠A=∠B ，求证：AD=BC （用三种方法）
．
（第11题）
（第12
题）
B
（第13题）
四、关注数学文化
每个民族都有自己的文化，也就一定有属于这个文化的数学．中国传统数学有着辉煌的成就、优秀的传统．数学文化已经走进中小学课堂，渗入实际数学教学，使学生在学习数学过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位，体察社会文化和数学文化之间的互动．下面是中外传统数学体现数学文化的两个经典问题．
15. 13世纪意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）在他所著的《算盘全集》中提
出一个有趣的兔子问题．他说：有一对小兔，若第二个月它们成年，第三个月开始每一个月都生下一对小兔，而所生小兔亦在第二个月成年，第三个月开始也每个月生下一对小兔（这里假定每个月所生下的一对小兔必为一雌一雄，且均无死亡），试问一年后共有小兔几对？
16. 古今中外，许多人致力于π的研究与计算．古人计算π，一般是用“割圆法”．刘徽用正3072边
形得到 3.1410<π<3.1427．又过了大约200年祖冲之（公元430年—501年）发现了
3.1415926<π<3.1415927，并且得到了有理数近似值．
利用下面圆内接正六边形和外切正六边形，说明为什么3<π<3.5．
卷二
数学教师的教材解读能力
作为一名教师，熟悉教材、理解教材、专研教材是必备的基本能力．《不做教书匠》的作者管建刚说“画家不一定能成为优秀的美术老师，作家不一定能成为优秀的语文教师，数学家不一定能成为优秀的数学老师，原因就在于他们不具备教材的解读能力．它是教师区别于其他工作者的重要的能力标志．”
亲爱的老师，你一定具有教材解读能力，下面几个问题都是以现行教材作为背景改编而成的，请你从容一试．（以下每题的解答不能运用该题所在的知识点以后的知识）
17. 教材八年级上册第159页例3
要从甲、乙两仓库向A ，B 两工地运送水泥．已知甲仓库可运出100吨水泥，乙仓库可运出80吨水泥；A 工地需70吨水泥，B 工地需110吨水泥．两仓库到A ，B 两工地的路程和每吨每千米的运费如下表：
（1）设甲仓库运往A 地水泥
x 吨，求总运费y 关于x 的函数解析式，并画出图象；
（2）当甲、乙两仓库各运往A ，B 两工地多少吨水泥时，总运费最省？最省的总运费是多少？
课堂教学时，教师都会采用表格形式来分析运量和运费的数量关系．请你画出相应的表格，并填写表中的有关内容．
18. 以下提供的是八年级下册第97页课本上的例题：
已知六边形ABCDEF 中，AB//DE ，BC//EF ，CD//AF ，求∠A+∠C+∠E 的度数．
如图是课本上采用的方法．在课堂教学中，你一定启发学生多渠道地解决问题．请你展示一种学生的解法．
F
F
（课本原图） （备用图）
19. 三角形中位线定理的证明教材中是这样的：
已知：如图所示，DE 是△ABC 的一条中位线，求证：DE =∥
2
1BC ．
证明：延长DE 到F ，使EF=DE ，连结CF ，由△ADE ≌△CFE 可得AD =∥
FC ． 再由BD=AD 得BD =∥ FC ，所以四边形DBCF 是平行四边形，DF =∥ BC ，又因DE=21DF ，所以DE =∥
2
1BC ．
问题：请你用另一种方法证明三角形中位线定理．
20.
21. 勾股定理的证明
教材中勾股定理是利用弦图加以证明的．其实勾股定理还有以下的证明方法：
方法1：如图1，△ABC 中，∠ACB=90°，AB=c ，BC=a ，AC=b ，以三角形的每条边为边向外作三个正方形．大的正方形记作P ，中的记作Q ，小的记作R ．如图2，将正方形Q 划分成四个形状与大小都一样的四边形，划分的方法就是取两条互相垂直于正方形中心的线段．如图3，剪切之后，所分得的四块和正方形R 一起可以不重叠无缝隙地拼到正方形P 中．
问题：EF= ，EN= ．（结果用a 、b 的代数式表示）
（课本原图） （备用图）
（图4） （图5） （图6）
（2）著名的总统证法曾用如图4的两个全等的直角三角形△ABC 和△DEF 拼成如图5的直角梯形，来证明勾股定理．如果我们将这两个三角形拼成如图6，即E 、C 、A 三点共线，B 在CD 上，也能证明勾股定理．请你写出证明过程．
B
C
（图1） （图2） （图3）
分出的四个图形全等 分出的四个图形不都全等但整个图形成轴对称 分出的四个图形不都全等整个图形也不成轴对称（1） 分出的四个图形不都全等整个图形也不成轴对称（2）
卷三
数学教师的研究能力
22. 将一个半径为r 的圆面积四等分，方法非常多，如作两条互相垂直的直径．下面请你再用另外4
种方法将一个半径为r 的圆面积四等分，并说明分割线是如何画的．
23. 教材八年级下册第100页例2，用边长相等的正方形和正八边形镶嵌成如图的平面效果图．实
际生活中，是用画有图案的同样正方形地砖铺成的（地砖与地砖拼接线忽略不计）．请你回答下列问题．
（1） 请你用两种方法在上面每个正方形中画出这种地砖的图案（不要雷同哦）． （2） 如果量得地面图案中的正八边形边长为40，求你设计的地砖边长．
24.波利亚所著《怎样解题》在“归缪法”中提到一个有趣的问题：
在0，1…，9这10个数字中，每个都要用一次且只允许用一次，写出几个数使得其和数恰为l00。

波利亚在书中指出，解题常按以下顺序：
第一．弄清问题（就是“审题”）
第二．拟定计划（就是“解决方案”）
第三．实现计划（就是“规范表达”）
第四．回顾（就是“总结反思”）
请你按以上顺序写出解决本题的过程。

结束语
亲爱的老师：
当你做完这份试卷时，你一定有许多想法：你可能想评论一下这份试卷；你可能会联想自己平时的教学；你也可能有不少收获。

希望你在以下的空白处写上几句，来表达你内心真实的想法。

感谢你一直以来对我们工作的关注和支持！。