广东省肇庆市怀集第一中学高三数学理上学期期末试题含解析

广东省肇庆市怀集第一中学高三数学理上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设函数f(x)的定义域为R，满足，且当时，.若对任意
，都有，则m的取值范围是
A．B．
C．D．
参考答案：
B
由当，，且当时，可知当时，
，当时，，……当时，
，函数值域随变量的增大而逐渐减小，对任意的，都有有解得的取值范围是。

2.
设函数，则它的图象关于 ( ）
A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．直线对称
参考答案：
C 3. 已知锐角α终边上一点A的坐标为(2sin3，-2cos3),则角α的弧度数
为（）
A．3 B．π-3 C．3- D．-3
参考答案：
C
4. 若数列{a n}的前n项和为S n对任意正整数n都有S n=2a n﹣1，则S6=( )
A．32 B．31 C．64 D．63
参考答案：
D
考点：数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由已知条件推导出{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，由此能求出S6．
解答：解：∵S n=2a n﹣1，
∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（2a n﹣1）﹣（2a n﹣1﹣1）=2a n﹣2a n﹣1，
∴a n=2a n﹣1，
当n=1时，S1=a1=2a1﹣1，解得a1=1，
∴{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴S6==63．
故选：D．
点评：本题考查数列的前6项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．5. 已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)的最小值为－2，则f(x)的最大值为()．
A．－1 B．0 C．1 D．2
参考答案：
C
6. 已知定义在R上的函数满足条件，且函数是偶函数，当
时，（），当时，的最小值为3，则a的值等于（）
A. B. e C. 2 D. 1
参考答案：
A
∵f（x+2）是偶函数，∴f（x+2）=f（﹣x+2），
∴f（x）关于直线x=2对称，
∴当2≤x＜4时，f（x）=f（4﹣x）=ln（4﹣x）﹣a（4﹣x）．
∵f（x+4）=﹣f（x），
∴当﹣2≤x＜0时，f（x）=﹣f（x+4）=﹣ln[4﹣（x+4）]+a[4﹣（x+4）]=﹣ln（﹣x）﹣ax，
∴f′（x）=﹣﹣a，
令f′（x）=0得x=﹣，
∵a，∴﹣∈（﹣2，0），
∴当﹣2≤x＜﹣时，f′（x）＜0，当﹣＜x＜0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在[﹣2，﹣）上单调递减，在（﹣，0）上单调递增，
∴当x=﹣时，f（x）取得最小值f（﹣）=﹣ln+1，
∵f（x）在[﹣2，0）上有最小值3，
∴﹣ln（）+1=3，解得a=e2．
故选A．点睛：本题重点考查了函数的对称性及最值问题，利用对称性明确函数在上的单调性，再研究其上的单调性，从而明确函数的最值，组建所求量的方程，解之即可．
7. 直线l是抛物线在点(－2,2)处的切线，点P是圆上的动点，则点P到直线l的距离的最小值等于（）
A. B. C. D.
参考答案：
C
【分析】
先由题意求出直线的方程，再求出圆的圆心到直线的距离，减去半径，即为所求结果.
【详解】因为，所以，
因此抛物线在点处的切线斜率为，
所以直线的方程为，即，
又圆可化为，
所以圆心为，半径；
则圆心到直线的距离为
又因点是圆上的动点，
所以点到直线的距离的最小值等于.
故选C
8. 若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴相切，则该圆的标准方程是
（）
A．B．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1
C．（x﹣1）2+（y﹣3）2=1 D．
参考答案：
B
【考点】圆的标准方程．
【分析】设圆心，然后圆心到直线的距离等于半径可解本题．
【解答】解：设圆心为（a，1），由已知得，∴．
故选B．
9. 过双曲线的左焦点，作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若，则双曲线的离心率为
A. B． C. D ．
参考答案：
C
10. 若sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα=m，且β为第三象限角，则cosβ的值为（）A．B．C．D．
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设S n为数列{a n}的前n项和，已知，，则a n=______，S100=______．
参考答案：
【分析】
由已知可得=2，=2n，然后利用累加法可求{a n}的通项公式；结合以上所求代入可得S n=，然后利用错位相减可求S n，进而可求S100．【详解】由，，
可得=2，=2n，
∴=2，
，
…
，
以上n-1个式子相加可得，=2+22+…+2n-1==2n-2，∴=2n，∴a n=；
S n=，
∴=，
两式相减可得，=
==，
∴，
∴．
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了累加法求解数列的通项公式及利用错位相减求解数列的和，注意仔细审题，认真计算，属中档题． 12. “
”是“实系数一元二次方程
有两异号实根”的 条件。

（填“充分不必要”、“必要不充分”、
“充要”或者“既不充分又不必要”）
参考答案：
既不充分又不必要
试题分析：因为实系数一元二次方程
有两异号实根，所以
，所以“
”是“实系数一元二次方程
有两异号
实根”的既不充分又不必要条件。

考点：充分必要条件.
13.
某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数
学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图17－3)．根据频率分布直方图，推测这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．
参考答案：
600
14. 设函数
的最小正周期为，且满足
，则函数
的单调增区间为 ▲ ．
参考答案：
15. 已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点，极轴与轴的正半轴重合,且单位相同，曲线的
极坐标方程为
，则该曲线的直角坐标方程为 .
参考答案：
16. 已知
是等比数列，且
，
，则
，
的最大值为 ．
参考答案：
5，
17. 已知函数
，若对
，
，
则实数m 的取值范围是 .
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）
已知等差数列的前项和为，公差成等比数列．
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前项和.
参考答案：
（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）依题意得
…………………………………………2分
解得
，…………………………………………4分
．……………………………6分
(Ⅱ)，
…………………………………………7分
……………………9分
∴………………………………………12分略
19. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞c，已知=﹣3，cosB=﹣，
b=2，求：
（1）a和c的值；
（2）sin（A﹣B）的值．
参考答案：
【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．
【分析】（1）由平面向量的数量积和余弦定理，列出方程组解方程组即可；
（2）根据三角恒等变换和由正弦定理，计算sin（A﹣B）的值即可．【解答】解：（1）△ABC中，由=﹣3得ca?cosB=﹣3，
又cosB=﹣，所以ac=7；
由余弦定理得b2=a2+c2﹣2ac?cosB，
又b=2，所以a2+c2=50；
解方程组，
因为a＞c，
所以解得a=7，c=1；
（2）△ABC中，sinB==，
由正弦定理，得sinA=sinB=，
因为cosB＜0，所以A为锐角，
所以cosA==；
所以sin（A﹣B）=sinAcosB﹣cosAsinB=﹣．
20. 如图一，平面四边形关于直线对称，．把
沿折起（如图二），使二面角的余弦值等于．对于图二，完成以下各小题：
（Ⅰ）求两点间的距离；
（Ⅱ）证明：平面；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
参考答案：
解析：（Ⅰ）取的中点，连接，
由，得：
就是二面角的平面角，
…………………………2分在中，
(4)
分
（Ⅱ）由，
…………………………6分
，
又
平面．…………………………8分
（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面
平面
∴平面平面…………………………10分平面平面，
作交于，则平面，
就是与平面所成的角，…………………………12分
．…………………14分
方法二：设点到平面的距离为，
∵…………………10分
……………………12分
于是与平面所成角的正弦为
．………………………14分
方法三：以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，则
．………10分
设平面的法向量为n，则
n， n，
取，则n， ----------12分
于是与平面所成角的正弦即
．……………14分
21. （本小题满分14分）
如图，直三棱柱中，，，，分别
为，的中点．
（Ⅰ）求线段的长；
（Ⅱ）求证：// 平面；
（Ⅲ）线段上是否存在点，使平面？说明理由．
参考答案：
（Ⅰ）证明：连接．
因为是直三棱柱，
所以平面，………………1分
所以．………………2分
因为，所以平面
．………………3分
因为，，
所以
．
………………4分
（Ⅱ）证明：取中点，连接，
．………………5分
在△中，因为为中点，所以，．
在矩形中，因为为中点，所以，
．
所以，
．
所以四边形为平行四边形，所以
． (7)
分
因为平面，平面
， (8)
分
所以// 平面． (9)
分
（Ⅲ）解：线段上存在点，且为中点时，有平面．………11分
证明如下：连接．
在正方形中易证．
又平面，所以，从而平面．…12分
所以
．
………………13分
同理可得，所以平面．
故线段上存在点，使得平面
．………………14分
22. （本小题满分12分）
设函数．
（1）若存在最大值，且，求的取值范围．
（2）当时，试问方程是否有实数根，若有，求出所有实数根；若没有，请说明理
由．
参考答案：
（1）；（2）没有实根，理由见解析．
试题分析：（1）先求出的定义域和导数，对分，和进行讨论，当时，函数有最大值，由得到关于的不等式，解之即可；（2）当
时，方程可化为，即，再构造函数和，利用导数法求出它们的最值，即可判断方程有无实数根．
因为，所以有，解之得，
所以的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）当时，方程可化为，即，
设，则，
∴时，，∴在上是减函数，当时，，∴在上是增函数，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分设，则，
∴当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减；
∴，
∵，∴数形结合可得在区间上恒成立，∴方程没有实数根．
考点：1、利用导数研究函数的最值；2、函数的基本性质．。