福建高二高中数学期末考试带答案解析

福建高二高中数学期末考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.命题的否定（）
A．B．
C．D．
2.抛物线的准线方程是（）
A．B．C．D．
3.已知命题p、q,“非p为真命题”是“p或q是假命题”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4.已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，
则实数的值是（）
A．B．C．6D．
5.已知，命题“若，则”的否命题是（）
A．若B．若
C．若D．若
6.设P是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，
分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于（）
A．2B．18C．2或18D．16
7.已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与所成的角的余弦值为( ) A．B．C．D．
8.已知、、，点在平面内，则实数的值为（）
A．B．1C．10D．11
9.经过点P（4，）的抛物线的标准方程为（）
A．B．
C．或D．或
10.已知A、B、C三点不共线，点O为平面ABC外的一点，则下列条件中，能得到平面ABC的充分条件
是（）
A．； B．；
C．； D．
11.已知抛物线与直线相交于A、B两点，其中A点的坐标是(1，2)。

如果抛物线的焦点为F，那么等于 ( )
A． 5 B． 6 C． D．7
12.设、是双曲线的左、右两个焦点，在双曲线右支上取一点P，使（O为坐标原点）且,则实数的值为 ( )
A．B．C．D．或
二、填空题
1.在四面体中，,,,为的中点，为的中点，则= （用
表示）．
2.已知双曲线的渐近线过点，则该双曲线的离心率为 .
3.已知实数x、y满足则实数y的取值范围为。

4.有以下三个命题：
①在平面内, 设、为两个定点,为动点,且,其中常数为正实数，则动点的轨迹为双曲线；
②已知△ABC的周长为20，且顶点B (0，-4)，C (0，4)，则顶点A的轨迹方程是；
③双曲线与椭圆有相同的焦点.
其中是真命题的序号为 .（写出所有真命题的序号）
三、解答题
1.设命题：方程表示的图象是双曲线；命题：，．求使“且”为真命题时，实数的取值范围．
2.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线有且只有一个公共点，
求直线的方程。

3.已知双曲线的方程为：，直线l: 。

⑴求双曲线的渐近线方程、离心率；
⑵若直线l与双曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围。

4.已知分别为椭圆的左、右两个焦点，一条直线经过点与椭圆交于两点, 且
的周长为8。

（1）求实数的值；
（2）若的倾斜角为，求的值。

5.如图,四棱锥S-ABCD的底面是矩形，AB1，AD2，SA1，且SA⊥底面ABCD，若P为直线BC上的一点，使得．
（1）求证：P为线段BC的中点；
（2）求点P到平面SCD的距离．
且与轴不垂直的直线l 6.已知椭圆E：的下焦点为、上焦点为，其离心率。

过焦点F
2
交椭圆于A、B两点。

（1）求实数的值；
（2）求D ABO（O为原点）面积的最大值.
福建高二高中数学期末考试答案及解析
一、选择题
1.命题的否定（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】“任意”的否定是“存在”，“”的否定是“”，所以命题“”的否定是“”，故选B
2.抛物线的准线方程是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，则。

因为抛物线的准线方程为，所以抛物线的准线方程为，故选D
3.已知命题p、q,“非p为真命题”是“p或q是假命题”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】略
4.已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，
则实数的值是（）
A．B．C．6D．
【答案】C
【解析】略
5.已知，命题“若，则”的否命题是（）
A．若B．若
C．若D．若
【答案】A
【解析】“”的否定是“”，“ ”的否定是“”，所以命题的否定命题是“若，则”，故选A
6.设P是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是，
分别是双曲线的左、右焦点，若，则等于（）
A．2B．18C．2或18D．16
【答案】C
【解析】双曲线的渐近线方程为，所以可得，从而有
若点在双曲线的左半支上，根据双曲线的几何性质可得，则；
若点在双曲线的右半支上，根据双曲线的几何性质可得，则，符合。

故选C
7.已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与所成的角的余弦值为( ) A．B．C．D．
【答案】A
【解析】略
8.已知、、，点在平面内，则实数的值为（）
A．B．1C．10D．11
【答案】D
【解析】依题意可得，
因为点在平面内，所以有，其中，故有
，解得
故选D
9.经过点P（4，）的抛物线的标准方程为（）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】点P在第四象限，则抛物线开口向右或向下，所以只能选C。

10.已知A、B、C三点不共线，点O为平面ABC外的一点，则下列条件中，能得到平面ABC的充分条件
是（）
A．； B．；
C．； D．
【答案】A
【解析】略
11.已知抛物线与直线相交于A、B两点，其中A点的坐标是(1，2)。

如果抛物线的焦点为F，那么等于 ( )
A． 5 B． 6 C． D．7
【答案】D
【解析】把A点的坐标是(1，2)分别代入抛物线与直线方程得：p=2,a=2,由
消去y得：则
由抛物线定义得：。

故选D
12.设、是双曲线的左、右两个焦点，在双曲线右支上取一点P，使（O为坐标原点）且,则实数的值为 ( )
A．B．C．D．或
【答案】B
【解析】由题意得 a=1，b=2，∴c=" 5" ，F1（- 5 ，0），F2 （ 5 ，0），e=" 5" ．
设点P（ 1+m2 4 ，m），∵( OP + OF2 ) ? F2P =（ 1+m2 4 + 5 ，m）?（ 1+m2 4 - 5 ，m）
="1+m2" 4 -5+m2=0，m2="16" 5 ，m=±4 5 5 ．
由双曲线的第二定义得 e=" 5" =|PF2| 1+m2 4 -1 5 ，∴|PF2|=2，
∴|PF1|=2a+|PF2|=4，∴λ="|PF1|" |PF2| ="4" 2 =2，
故选B．
二、填空题
1.在四面体中，,,,为的中点，为的中点，则= （用
表示）．
【答案】
【解析】略
2.已知双曲线的渐近线过点，则该双曲线的离心率为 .
【答案】
【解析】双曲线的一条渐近线方程为，
故，，。

3.已知实数x、y满足则实数y的取值范围为。

【答案】
【解析】略
4.有以下三个命题：
①在平面内, 设、为两个定点,为动点,且,其中常数为正实数，则动点的轨迹为双曲线；
②已知△ABC的周长为20，且顶点B (0，-4)，C (0，4)，则顶点A的轨迹方程是；
③双曲线与椭圆有相同的焦点.
其中是真命题的序号为 .（写出所有真命题的序号）
【答案】③
【解析】当时，点轨迹为两条射线，命题①不正确；
因为，周长为20，则，符合椭圆几何性质，但点不在轴上，所以顶点轨迹为椭圆，命题②不正确；
双曲线和椭圆的焦点坐标都是，命题③正确。

三、解答题
1.设命题：方程表示的图象是双曲线；命题：，．求使“且”为真命题时，实数的取值范围．
【答案】解：方程表示双曲线，所以（1-2m）（m+2）＜0解得m＜-2或m＞
而“且”为真命题时，则P,Q都真，对于Q命题中，存在变量使得不等式成立，说明了，判别式小于零，得到M的范围（m-6）（m+3）>0,综上可得实数的取值范围是．
【解析】本试题考查了双曲线的方程的运用，以及不等式有解时，参数的取值范围问题，以及符合命题的真值的判定综合试题。

2.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线有且只有一个公共点，求直线的方程。

【答案】由已知得，，
所以抛物线和方程是……………………3分
⑴当直线的斜率不存在时，
直线的方程为，直线与抛物线切于点（0，0）……5分
⑵当直线斜率存在时，设直线的斜率为，直线方程为，
代入得：。

…………………………7分
①当时，
直线的方程为，
的方程与抛物线有且只有一个公共点（-2，2）………9分
②当时，
由△=0得，则直线的方程：…………11分
综上所述：所求直线的方程为和及。

【解析】略
3.已知双曲线的方程为：，直线l: 。

⑴求双曲线的渐近线方程、离心率；
⑵若直线l与双曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围。

【答案】⑴由得，
∴双曲线的渐近线方程为和……………2分
，
∴，
∴双曲线的离心率为……………5分
⑵把代入双曲线
得………7分
由………9分
得………11分
解得
【解析】略
4.已知分别为椭圆的左、右两个焦点，一条直线经过点与椭圆交于两点, 且
的周长为8。

（1）求实数的值；
（2）若的倾斜角为，求的值。

【答案】由椭圆的定义，得，，………2分
又，
所以的周长．……………4分
又因为的周长为8，所以，则．……………5分
⑵由⑴得，椭圆，，………………………7分
因为直线的倾斜角为，所以直线斜率为，
故直线的方程为．……………………8分
由消去，得，……………9分
设，解得，，……10分
所以
则
【解析】略
5.如图,四棱锥S-ABCD的底面是矩形，AB1，AD2，SA1，且SA⊥底面ABCD，若P为直线BC上的一点，使得．
（1）求证：P为线段BC的中点；
（2）求点P到平面SCD的距离．
【答案】建立如图所示的空间直角坐标系,
则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，S(0,0,1)，………1分
设P(1, , 0)
(1) ，………3分
且则
即………5分
∴因此P为线段BC的中点．……6分
(2) 设是平面SCD的一个法向量，
由(1)知：,
由, 得
∴ , 取, 则得………9分
设点P到平面SCD的距离为,则
因此点P到平面SCD的距离为．
【解析】略
且与轴不垂直的直线l 6.已知椭圆E：的下焦点为、上焦点为，其离心率。

过焦点F
2
交椭圆于A、B两点。

（1）求实数的值；
（2）求D ABO（O为原点）面积的最大值.
【答案】（1）依题意，得：， ()
于是，，……………2分
又，所以……………4分
，则………6分
（2）由（1）知，椭圆E的方程为：，上焦点是F
（0，1）
2
设点，
则. ……………8分
由于直线l与轴不垂直，因此可设直线l的方程为
将代入，得. ……… 10分
由韦达定理得：，
所以………… 12分
……………… 13分
（当且仅当，即时等号成立）
故D ABO的面积的最大值为.
【解析】略。