江西省吉安县第二中学2012-2013学年高二上学期第二次周考(理科数学)

吉安县第二中学2012~2013学年度第一学期
高二第二轮周考数学（理）试卷
2012.11.17
命题：张金生 审题：黄云昭
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1、直线053=++y x 的倾斜角是( )
（A ）30° （B ）120° （C ）60° （D ）150° 2．已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c ；②若a ⊥b ，a ⊥c 则b ⊥c ；③若a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c . 其中正确的个数为( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
3.已知直线01=++my x 与直线=--122
y x m 0互相垂直，则实数m 为（ ） A ．32 B ．0或2 C ．2 D ．0或32
4.已知两条直线2121//,08)5(2:,0534)3(:l l y m x l m y x m l =-++=-+++，则直线l 1的一个方向向量是（ ）
A ．（1，－12）
B ．（－1，－1）
C ．（1，－1）
D ．（－1，－1
2）
5、已知直线3430x y +-=与直线6140x my ++=平行，则它们之间的距离是（ ） A ．
1710 B ． 175
C ．8
D ．2
6．点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则( ) A ．a ＜－7或a ＞24 B ．－7＜a ＜24 C ．a ＝－7或a ＝24 D ．以上都不对
7．如图，一个空间几何体的主视图、左视图都是周长为4，一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及一点，那么这个几何体的表面积为( ) A.π
2 B ．π C.3π
2 D ．2π
8．在如图所示的坐标平面 的可行域内（阴影部分且包括边界），若目标函数 z ＝x ＋ay 取得最 小值的最优解有无数个，则y
x a
-的最大值是 ( ) A ．
23 B ．25 C ．16 D ．14
9．若点A (2，－3)是直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0的公共点，则相异两点(a 1，b 1)和(a 2，b 2)所确定的直线方程是( )
A ．2x －3y ＋1＝0
B ．3x －2y ＋1＝0
C ．2x －3y －1＝0
D ．3x －2y －1＝0
10．如图，已知球O 是棱长为1 的正方体1111ABCD A B C D -的
内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为( )
A .6π
B .3
π
C
D
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11、点E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且BD ＝AC ，则四边形EFGH 是 ____.
12．过点(1,2)A ，且横纵截矩相等的直线方程是
13．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是________．
14．已知⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1x －y ＋1≤0
2x －y －2≤0
，则x 2＋y 2的最小值为_____．
15．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β.其中正确命题的序号是________．
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16.（本小题满分12分）已知两条直线l 1(3＋m )x ＋4y ＝5－3m ，l 22x ＋(5＋m )y ＝8.当m 分别为何值时，l 1与l 2：(1)相交？(2)平行？(3)垂直？
17．（本小题满分12分）某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。

该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨.求该企业可获得最大利润。

18．（本小题满分12分）过点M (0,1)作直线，使它被两直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线方程．
O
A B C D
A 1
B 1
C 1
D 1
·
19．（本小题满分13分）如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，2,AE EB BC F ===为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE .（1）求证：AE ⊥平面BCE ；（2）求证：AE ∥平面BFD ；（Ⅲ）求三棱锥BGF C -的体积. 20．（本小题满分13分在△ABC 中，BC 边上的高所在直线l 1的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在的直线l 2的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求直线AC 的方程。

21．（本小题满分13分）直观图中，M 是BD 的中点，左视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。

（Ⅰ）求该几何体的体积；（Ⅱ）求证：EM ∥平面ABC ；
（Ⅲ）试问在棱DC 上是否存在点N ，使MN ⊥平面BDE ？若存在，确定点N 的位置；若不存在，请说明理由。

C
E
D M ·
吉安县第二中学2012~2013学年度第一学期
高二第二轮周考数学（理）参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1、(D)
2．[答案] B [解析] b 、c ⊂平面α，a ⊥α满足①②的条件，当b 与c 相交但不垂直时，①、②错；③正确． 3. B 4. B 5、D 6．答案 B 解析 ∵(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧．∴(9－2＋a )·(－12－12＋a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，∴－7<a <24.选B.
7． [答案] B [解析] 由三视图知，该几何体是两个同底的圆锥构成的组合体．圆锥的母线
长为1，底半径为12，∴表面积S ＝2×(π×1
2
×1)＝π.
8． B
9． A [解析] ∵2a 1－3b 1＋1＝0,2a 2－3b 2＋1＝0，∴(a 1，b 1)，(a 2，b 2)是直线2x －3y ＋1＝0上的点． 10． A
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11、点E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且BD ＝AC ，则四边形EFGH 是 ____.菱形
12．过点(1,2)A ，且横纵截矩相等的直线方程是 30x y +-=或2y x = 13．（理科）直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是________． 答案 x ＋2y －3＝0，解析 在直线x －2y ＋1＝0上任取两点(1,1)，
(0，12)，这两点关于直线x ＝1的对称点分别为(1,1)，(2，1
2
)，过这
两点的直线方程为y －1＝－1
2
(x －1)即x ＋2y －3＝0.
14．已知⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1x －y ＋1≤0
2x －y －2≤0
，则x 2＋y 2的最小值为____5____．
15．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ；
③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β.其中正确命题的序号是________．
[答案] ①③
⎭
⎪⎬⎪⎫
⎭
⎪⎬⎪
⎫[解析] l ⊥α α∥β⇒l ⊥β
m ⊂β⇒l ⊥m ，故①真；
⎭⎪⎬⎪⎫
⎭⎬⎫l ⊥αα⊥β⇒l ∥β或l ⊂β m ⊂β⇒/ l ∥m ，
故②假；
⎭⎪⎬⎪
⎫
⎭⎬⎫l ⊥αl ∥m ⇒m ⊥α m ⊂β⇒α⊥β，故③真；
⎭⎪⎬⎪
⎫
⎭⎬⎫l ⊥αl ⊥m ⇒m ∥α或m ⊂α m ⊂β
⇒/ α∥β，故④假．
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16.[解析] 当m ＝－5时，显然l 1与l 2相交；当m ≠－5时，易得两直线l 1和l 2的斜率分别为
k 1＝－3＋m 4，k 2＝－25＋m ，它们在y 轴上的截距分别为b 1＝5－3m 4，b 2＝85＋m
.
(1)由k 1≠k 2，得－3＋m 4≠－2
5＋m
，m ≠－7且m ≠－1.
∴当m ≠－7且m ≠－1时，l 1与l 2相交．
(2)由⎩
⎪⎨
⎪⎧
k 1＝k 2，b 1≠b 2，得⎩⎪⎨⎪⎧
－3＋m 4＝－2
5＋m ，5－3m 4≠8
5＋m ，
解得m ＝－7.∴当m ＝－7时，l 1与l 2平行．
(3)由k 1k 2＝－1，得－3＋m 4·(－25＋m
)＝－1，解得m ＝－133.∴当m ＝－13
3时，l 1与l 2垂直．
17.
y 吨，则有关系：
则有：⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤+≤+>>18
3213300y x y x y x
目标函数y x z 35+=作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知： 当x ＝3，y ＝5时可获得最大利润为27万元，故选D
18．（本小题满分12分）【解析】 解法一：过点M 且与x 轴垂直的直线是y 轴，它和两已知直线的交点分别是(0，10
3
)和(0,8)，显然不满足中点是点M (0,1)的条件．故可设所求直线方程
为y ＝kx ＋1，与两已知直线l 1，l 2分别交于A ，B 两点，联立方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，
x －3y ＋10＝0，①
⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0，②。

由①解得x A ＝73k －1，由②解得x B ＝7
k ＋2，∵点M 平分线段AB ；
∴x A ＋x B ＝2x M ，即
73k －1＋7k ＋2
＝0.解得k ＝－14，故所求直线方程为x ＋4y －4＝0.
解法二：设所求直线与已知直线l 1，l 2分别交于A ，B 两点．∵点B 在直线l 2：2x ＋y －8＝0上，故可设B (t,8－2t )．又M (0,1)是AB 的中点，由中点坐标公式得A (－t,2t －6)．
∵A 点在直线l 1：x －3y ＋10＝0上，∴(－t )－3(2t －6)＋10＝0，解得t ＝4. ∴B (4,0)，A (－4,2)，故所求直线方程为x ＋4y －4＝0.
19．（本小题满分12分）解：（1）证明：因为AD ⊥平面ABE ，AD ∥BC ,
所以BC ⊥平面ABE ，则AE BC ⊥. 又因为BF ⊥平面ACE ，则AE BF ⊥,AE ∴⊥平面BCE
（2）证明：依题意可知G 是AC 中点. 因为BF ⊥平面ACE ，则C E B F ⊥.
而 BC BE =所以F 是EC 的中点. 在△AEC 中，FG ∥AE ,又因为AE ⊄平面BDF ，FG ⊂平面BDF ,所以AE ∥平面BFD .
（Ⅲ）解： BFD AE 平面// ∴FG AE //，而BCE AE 平面⊥
∴BCE FG 平面⊥ ∴BCF FG 平面⊥ G 是AC 中点 ∴F 是CE 中点 ∴FG AE //且12
1
==
AE FG ACE BF 平面⊥ ∴CE BF ⊥ ∴BCE Rt ∆中，221===CE CF BF ∴1222
1
=⋅⋅=∆CFB S ∴
3
1
31=⋅⋅==∆--FG S V V CFB BCF G BFG C
20．（理科）（本小题满分13分【解】 如图，设C (x 0，y 0)，由题意知l 1∩l 2＝A ，则
⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝y ＝0⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－y ＝0即A (－1,0)．
又∵l 1⊥BC ，∴k BC ·kl 1＝－1，∴k BC ＝－1kl 1＝－11
2
＝－2.
∴由点斜式可得BC 的直线方程为y －2＝－2(x －1)⇒2x ＋y －4＝0. 又∵l 2：y ＝0(x 轴)是∠A 的平分线，∴B 关于l 2的对称点B ′在直线AC 上，易得B ′点的坐标为(1，－2)，由两点式可得直线AC 的方
程为x ＋y ＋1＝0.由C (x 0，y 0)在直线AC 和BC 上，可得：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 0＋y 0＋1＝0，
2x 0＋y 0－4＝0⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 0＝5，
y 0＝－6.
A (－1,0)，C (5，－6)，直线AC 的方程是
21．（本小题满分13分）
D
解：由题意知，EA ⊥平面ABC ，DC ⊥平面ABC ，AE ∥DC ，AE=2，DC=4， AB ⊥AC ，且AC=2。

（Ⅰ）∵EA ⊥平面ABC ，∴EA ⊥AB ，又AB ⊥AC ，∴AB ⊥平面ACDE ∴四棱锥B —ACDE 的高2h AB ==，又梯形ACDE 的面积S=6 ∴1
43
B ACDE V Sh -=
= （Ⅱ）取BC 的中点G ，连结EM ，MG ，AG 。

∵M 为DB 的中点，∴MG ∥DC ，且MG=12
DC ∴MG ∥AE ，且MG=AE ，所以，四边形AGME 为平行四边形，∴EM ∥AG 又EM ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， ∴EM ∥平面ABC ；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知EM ∥AG ，又∵平面BCD ⊥底面ABC ，AG ⊥BC ，∴AG ⊥平面BCD ∴EM ⊥平面BCD ，又∵EM ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BCD
在平面BCD 中，过M 作MN ⊥DB 交DC 于点N ，∴MN ⊥平面BDE ， 此时点N 为所求点
∵△DMN ∽△DCB ，∴DN DM
DB DC =4=
，∴3DN =，即34DN DC =。