概率论期中考试的知识点梳理及一些说明

一、一、
关于期中考试
期中考试本想是给大家开个串讲班，画画重点什么的。

但从李老师那边没得到什么有用信息，信息，没有针对性，没有针对性，没有针对性，也就没开。

也就没开。

也就没开。

包括我有写邮件问老师要过试卷，包括我有写邮件问老师要过试卷，包括我有写邮件问老师要过试卷，想看看老师的出题风格及想看看老师的出题风格及难易程度，以便有针对性的给大家开答疑课，以便有针对性的给大家开答疑课，李老师未予回复。

李老师未予回复。

周六早上上课前也有问李老师要不要给大家说说考试范围什么的，师要不要给大家说说考试范围什么的，李老师也没说什么，李老师也没说什么，就说上完课她给大家答疑，就说上完课她给大家答疑，那结那结果大家都知道，果大家都知道，也没说什么有用的信息。

也没说什么有用的信息。

也没说什么有用的信息。

我也不是李老师的学生，我也不是李老师的学生，我也不是李老师的学生，之前也不认识李老师，也之前也不认识李老师，也没上过她的课，所以真不了解她的出题风格，所以真不了解她的出题风格，但我觉得她应该不会太为难大家，但我觉得她应该不会太为难大家，但我觉得她应该不会太为难大家，咱们也不用咱们也不用过于担心。

过于担心。

平常周六第一节课的答疑也基本没人问问题，那现在距期中考还有5天的时间，大家有什么问题这几天随时可以找我，电话、短信、QQ 、微信什么都可以。

、微信什么都可以。

T ：188******** Q ：944540073 微信：原来的我微信：原来的我
第三章习题的答案已经上传到群共享，大家可以自行下载。

作业的话，因为期中考试大家时间都比较紧，可以先不用交，等考完试上课也即11月23号再交。

号再交。

下面是我对这三章知识点的一个梳理，每章的考点是按照我自己的理解化的，大家自行参考。

行参考。

课本上的例题和课后习题，大家一定要去做，把这些题弄会了，考试的话基本上没问题。

习题可以先把每次的作业题做会，有多余的时间再去做剩下的。

可以不算出结果，但解题思路要写出来，这样才能真正会做。

对于重复的同类型的题，只做会一道就可以。

对个别实在没时间做习题的，那就只能对着答案把习题过一遍。

第1讲 随机事件和概率
可能的题型：事件的运算；全概率与贝叶斯；条件概率；用古典概型、几何概型、伯努利概型求概率。

1．1 知识网络图
1.2 一些预备知识，主要是关于排列组合的，供基础相对薄弱的同学参考。

组合分析中的几个定理
（1）加法原理
定理1 设完成一件事有n 类方法，只要选择任何一类中的一种方法，这件事就可以完成．若第一类方法有m 1种，第二类方法有m 2种，……，第n 类方法有m n 种，并且这m 1＋m 2＋…＋m n 种方法里，任何两种方法都不相同，任何两种方法都不相同，则完成这件事就有则完成这件事就有m 1＋m 2＋…＋m n 种方法．法．
（2）乘法原理
!n --+
A
B
B
A
A
A B A B
P
随机变量的概念及分类．
随机变量的概念及分类．
离散型随机变量概率分布及其性质．
离散型随机变量概率分布及其性质．
连续型随机变量概率密度及其性质．
连续型随机变量概率密度及其性质．
随机变量分布函数及其性质．
随机变量分布函数及其性质．
随机变量函数的分布．
随机变量函数的分布．
随机试验的每一个可能的结果ω都用一个实数
X x1x2…x k…P(X＝x k) p1p2…p k…
l !k
C
n -ïì2πs
2π
m
-)()(m s m m s m --
离散型对离散型
X x1x2…x n…P(X＝x i) p1P2…p n…
Y y1y2…y n…P(Y＝y i) p1P2…p n…
多维随机变量的概念及分类．
多维随机变量的概念及分类．
二维离散型随机变量联合概率分布及其性质．
二维离散型随机变量联合概率分布及其性质．
二维连续型随机变量联合概率密度及其性质．
二维连续型随机变量联合概率密度及其性质．
二维随机变量联合分布函数及其性质．
二维随机变量联合分布函数及其性质．
二维随机变量的边缘分布和条件分布．
二维随机变量的边缘分布和条件分布．
Y
y1y2... y i.... p i* X
x1p11p12... p1j... p1*
x2p21p22... p2j... p2*
... ... ... ... x i
p i 1
p i 2
... p ij ... p i * ... ... .... ... p ·j p ·1 p ·2 ... 
p ·j
... 
1
这里p ij 具有下面两个性质：具有下面两个性质： (1)p ij ≥0(i ，j ＝1，2，…)． (2)
.1=ååij
j
i
p
对于随机向量对于随机向量((X ，Y )，称其分量X (或Y )的分布为的分布为((X ，Y )的关于X (或Y )的边缘分布．上表中的最后一列表中的最后一列((或行或行))给出了X (或Y )的边缘分布．的边缘分布．
一般来说，当一般来说，当((X ，Y )为离散型，并且其联合分布律为为离散型，并且其联合分布律为
P {(X ，Y )＝(x i ，y j )})}＝＝p ij (i ，j ＝1，2，…)，
则X 的边缘分布为的边缘分布为
*()(1,2,),i i ij j
p P X x p i ====å
Y 的边缘分布为的边缘分布为
*()(1,2,).j j ij i
P P Y y p j ====å
二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布
对于二维随机向量ξ＝(X ，Y )，如果存在非负函数p (x ，y )()(－∞＜－∞＜x ＜＋∞，－∞＜y ＜＋∞＜＋∞))，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D ，即D ＝{(x ，y )|a ＜x ＜b ，c ＜y ＜d }有
,d d ),(}),{(y x y x p D Y X P D
òò
=Î
则称ξ为连续型随机向量；并称p (x ，y )为ξ＝(X ，Y )的分布密度或称为X 和Y 的联合分布密度．
分布密度p (x ，y )具有下面两个性质：具有下面两个性质： (1)p (x ，y )≥0．
(2)
(,)d d 1.p x y x y +¥+¥
-¥-¥
=òò
一般来说，当一般来说，当((X ，Y )为连续型随机向量，并且其联合分布密度为p (x ，y )，则X 和Y 的边缘分布密度为的边缘分布密度为
()(,)d ,()(,)d .X Y p x p x y y p y p x y x +¥
+¥
-¥
-¥
=
=
ò
ò
两种常见的连续型随机向量的分布．两种常见的连续型随机向量的分布．
(1)均匀分布均匀分布 设随机向量设随机向量((X ，Y )的分布密度函数为的分布密度函数为
ïîïíì
Î=.
,
0,
),(,1),(其他D y x S y x p D
其中S D 为区域D 的面积，则称的面积，则称((X ，Y )服从D 上的均匀分布，记为，记为((X ，Y )～U (D )．
(2)正态分布正态分布 设随机向量设随机向量((X ，Y )的分布密度函数为的分布密度函数为
2[(
))2
1221s s m r m m m s s ps s r
+-p p
×=
,)(a
=
f (X )，h ＝
g (Y )，则ξ与
h 相互独立．相互独立．
（4）二维正态分布中独立性和相关性是等价的，即独立便不相关，也即r ＝0。

5.函数的分布
设ξ＝(X ，Y )的联合分布为F (x ，y )，由Z ＝f (X ，Y )确定Z 的分布 (1)当ξ为离散型时，确定Z 的分布的分布 设(X ，Y )的联合分布律为的联合分布律为
p ij ＝P (X ＝x i ，Y ＝y i ) (i ，j ＝1，2，…)，
当(X ，Y )取某一可能值取某一可能值((x i ，y i )时，Z ＝f (X ，Y )取值为f (x i ，y i )．设Z 的一切可能取值为z k (k ＝1，2，…)，令，令 C k ＝{(x i ，y j )|f (x i ，y i )＝z k }，
则有则有
).,(}),{()(),(j i C y x k k y Y x X P C Y X P z Z P k
j i ===
Î==å
Î
(2)当ξ为连续型时，确定Z 的分布的分布
设(X ，Y )的联合分布密度为p (x ，y )，利用一维连续型随机变量函数分布的定义法，分两步完成：两步完成：
(Ⅰ),d ),()),(()()(s y x p z Y X f P z Z P z F D
Z òò=
£=£=
其中其中 D ＝{( x
，y )|f (x ，y )≤z }． (Ⅱ))).((d d
)(z F z
z p Z
=。