江西省抚州市临川十中高二数学上学期12月月考试题 理-人教版高二全册数学试题

临川十中12月月考高二数学（理科）试卷
一、选择题（题型注释）
1．直线2430x y +-=的斜率为（ ）
A ．2
B ．2-
C ．12
D ．12- 2．过点()1,0且与直线220x y --=平行的直线方程是（ ）．
A ．210x y --=
B ．210x y -+=
C ．220x y +-=
D ．210x y +-=
3．在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别 （ ）。

A ．23与26
B ．31与26
C ．24与30
D ．26与30
4．某校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为135的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为
A ．45，75，15
B ．45，45，45
C ．30，90，15
D ．45，60，30
5．已知x 与y 之间的一组数据：
x
0 1 2 3 y m 3 5．5 7
已求得关于y 与x 的线性回归方程y ＝2．1x ＋0．85，则m 的值为（ ）
A ．0．85
B ．0．75
C ．0．6
D ．0．5
6．抛2颗骰子，则向上点数不同的概率为（ ）
A ．
56
B ．34
C ．12
D ．14 7．以(1,0)为圆心的圆与直线y x m =+相切于点(0,)m ，则圆的方程是（ ） A ．1)1(22=++y x B ．1)1(22=+-y x
C ．2)1(22=++y x
D ．2)1(22=+-y x
8．如下图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 上任意一点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于（ ）
（A）1
4
（B）
1
3
（C）
1
2
（D）
2
3
9．执行如图的程序框图，则输出的结果是
A．1
6
B．
25
24
C．
3
4
D．
11
12
10．如图是一个几何体的三视图（尺寸的长度单位为cm），则它的体积是（）3
cm.
A.3318
C.23183
11．从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．至少有一个黒球与都是黒球
B．至少有一个黒球与都是黒球
C．至少有一个黒球与至少有1个红球
D．恰有1个黒球与恰有2个黒球
12．在长方体ABCD-A1B1C1D1，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为（）
A．8
3B．
3
8C．
4
3D．
3
4
1 1
侧视
正视
32
3
第II 卷（非选择题）
二、填空题（题型注释）
13．把容量是100的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是15，17，11，13，第5组到第7组的频率之和是0.32，那么第8组的频率是 . 14．直线250154322=+=-+y x y x 被圆截得的弦AB 的长为 。

15．在[3,3]-上随机取一个数x ，则(1)(2)0x x +-≤的概率为 ．
16．设m ，n ，l 为空间不重合的直线，,,αβγ为空间不重合的平面，则下列命题中真命题．．．的序号是 ．
（1）m//l ，n//l ，则m//n ；
（2）m ⊥l ，n ⊥l ，则m//n ；
（3）//,//αγβγ，则//αβ；
（4）⊥⊥,αγβγ，则//αβ；
三、解答题（题型注释）
17．已知直线l 经过A,B 两点，且A (2,1)，AB =(4,2).
(1)求直线l 的方程；
(2)圆C 的圆心在直线l 上，并且与x 轴相切于(2,0)点，求圆C 的方程．
18．（本题满分12分）已知圆2)1(:22=+-y x C ，点P 是圆内的任意一点，直线0:=+-
b y x l .
（1）求点P 在第一象限的概率；
（2）若]3,3[-∈b ，求直线l 与圆C 相交的概率.
19．（本小题满分14分）某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），
[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．
（1）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；
（2）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．
20．（本小题满分12分）在2015年全运会上两名射击运动员甲、乙在比赛中打出如下成绩： 甲：9．4，8．7，7．5，8．4，10．1，10．5，10．7，7．2，7．8，10．8；
乙：9．1，8．7，7．1，9．8，9．7，8．5，10．1，9．2，10．1，9．1；
（1）用茎叶图表示甲、乙两人的成绩；并根据茎叶图估计他们的中位数；
（2）已知甲、乙两人成绩的方差分别为1.69与0.81，分别计算两个样本的平均数x x 乙甲、和标准差s s 乙甲、，并根据计算结果估计哪位运动员的成绩比较好，哪位运动员的成绩比较稳定．
21．（本小题满分13分）在四棱锥ABCD E -中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，⊥EC 底面ABCD ，F 为BE 的中点
.
（Ⅰ）求证：DE ∥平面ACF ；
（Ⅱ）求证：AE BD ⊥； （Ⅲ）若2,AB
CE 在线段EO 上是否存在点G ，使⊥CG 平面BDE ？ 若存在，求出EG EO
的值，若不存在，请说明理由． 22．已知定圆:C 4)3(22=-+y x ,定直线:m 360x y ++=,过)0,1(-A 的一条动直线l 与直线相交于N ,与圆C 相交于Q P ,两点,M 是PQ 中点.
(Ⅰ)当l 与m 垂直时,求证:l 过圆心C ;
(Ⅱ)
当PQ =时,求直线l 的方程;
(Ⅲ)设t =AN AM ⋅,试问t 是否为定值,若为定值,请求出t 的值;若不为定值,请说明理由.
参考答案 1．D 试题分析：直线斜率2
142-=-=-=B A k ． 2．A 试题分析：因为所求直线与直线220x y --=平行，所以设所求直线为20x y m -+=，又过点()1,0，代入求出1m =-，所以所求直线为210x y --=，故选A 。

考点：两直线的平行
3．B 试题分析：众数是出现的次数最多的数，中位数是按大小排列后位于中间的一个数或两个数的平均数，因此众数是31，中位数是36
4．D 试题分析：设高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为,,x y z ，则有13527009001200600x y z ===，解得：45,60,30x y z ===，故选择D
5．D 试题分析：01233 5.5715.51.5,444m m x y +++++++====，中心点代入回归方程y ＝2．1x ＋0．85得15.5 2.1 1.50.850.54
m m +=⨯+∴= 6．A 试题分析：抛两颗骰子向上点数相同的概率为61666
=⨯,则向上点数不同的概率为15166
P =-=．故D 正确． 7．D 试题分析：由题意可知点()1,0与点()0,m 的连线与直线y x m =+垂直,所以0101
m -=--,解得1m =． 由题意知点()0,m 即点()0,1在圆上,所以圆的半径()()2210012r =
-+-=．
所以圆的标准方程为()2212x y -+=．故D 正确． 8．C 试题分析：根据题意，由于矩形ABCD 中，点E 为边CD 上任意一点，若在矩形ABCD 内部
随机取一个点Q ，则可知三角形ABE 的面积为矩形面积的12
，那么结合几何概型的面积比即可知，点Q 取自△ABE 内部的概率等于12
，选C. 9．D 试题分析：模拟算法：开始：0,2,S n ==
8n <成立，11022
S =+
=，224n =+= 8n <成立，113244
S =+=，426n =+= 8n <成立，31114612
S =+=，628n =+= 8n <不成立，输出1112
S =，故选D ． 10．A 试题分析：根据几何体的三视图，还原几何体，是正三棱柱，根据图中数据可得
3333221=⨯⨯⨯==Sh V 故选 A.
11．D 试题分析：A 中至少有一个黒球包括都是黑球，不是互斥的；B 中至少有一个黒球包括都是黑球，不是互斥的；C 中两个事件都可能是1黑球1红球；D 中是互斥事件但不对立
12．C 试题分析：取11B D 中点E ,作11A F AE A F ⊥∴⊥平面11AB D 112,42AB AD BB A E ===∴=
1143
A E A A AF AE ∴== 13．0.12 14．8试题分析：由题意可得：圆心()0,0到直线01543=-+y x 的距离34315
22=+=d ， 所以被圆2522=+y x 截得弦长为835222=-。

15．12
试题分析：在[3,3]-上随机取一个数x ,有无数个可能的结果，所有可能的结果组成一个长度为6的线段，记“所取的数x 满足不等式(1)(2)0x x +-≤”为事件A ，因为不等式(1)(2)0x x +-≤的解集为{}12x x -≤≤则事件A 所包含量的所以基本结果组成长度为3 的线段，由几何概型的概率公式得：
()3162P A ==,所以答案应填: 12
. 考点：几何概型.
16．（1）（3）
试题分析：对（1）由平行公理可得平行的传递性，为正确命题；对（2）m ⊥l ，n ⊥l ，则m 与n 的关系有m//n 或m ⊥n 或m 与n 异面，所以为错误命题；对（3）由平行的传递性可得为正确命题；对（4）⊥⊥,αγβγ，则α与β的关系为α∥β或α⊥β或α与β相交，所以为假命题。

综上真命题为（1）（3）．
17．（1）x -2y =0．（2）(x -2)²+(y -1)²=1．
试题分析：解：(1)∵A (2,1),AB =(4,2)
∴B (6,3)
∵直线l 经过A,B 两点
∴直线l 的斜率k =
3162--=12
， 2分 ∴直线l 的方程为y -112
(x -2)即x -2y =0． 4分 法二：∵A (2,1),AB =(4,2)
∴B (6,3) 1分
∵直线l 经过两点(2,1),(6,3)
∴直线的两点式方程为131y --=262
x --， 3分 即直线l 的方程为x -2y =0． 4分
(2)因为圆C 的圆心在直线l 上，可设圆心坐标为(2a ,a )，
∵圆C 与x 轴相切于(2,0)点，所以圆心在直线x =2上，
∴a =1， 6分
∴圆心坐标为(2,1)，半径为1，
∴圆C 的方程为(x -2)²+(y -1)²=1．
【答案】解：（1）设圆C 与y 轴的交点为B A ,。

连结CB CA ,. 令2)1(22=+-y x 中的0=x 得1±=y ，
所以2||=AB ，因为2||||==CB CA ，所以︒=∠90ACB ， 所以圆在y 轴左侧的弓形的面积为12
2221)2(412-=⨯⨯-⨯ππ， 所以圆面在第一象限部分的面积为2
143)12(21)2(212+=--⨯πππ. 所以，点P 在第一象限的概率π
ππ418322143+=+=P . （2）欲使直线l 与圆C 相交，须满足22
|1|<+b ，
即2|1|<+b ，解得13<<-b . 又因为]3,3[-∈b ，
所以直线l 与圆C 相交的概率3
2)3(3)3(1=----=P . 19．（1）6（2）
715
试题分析：（I ）利用频率分布直方图，求出频率，进而根据频数=频率×样本容量，得到答案；（II ）先计算从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人的情况总数，再计算所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案
试题解析：（Ⅰ）由题意可知，
参加社区服务在时间段[90，95）的学生人数为20×0．04×5=4（人），
参加社区服务在时间段[95，100]的学生人数为20×0．02×5=2（人）．
所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 4+2=6（人）．
（Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A ．
由（Ⅰ）可知，
参加社区服务在时间段[90，95）的学生有4人，记为a ，b ，c ，d ；
参加社区服务在时间段[95，100]的学生有2人，记为A ，B ．
从这6人中任意选取2人有ab ，ac ，ad ，aA ，aB ，bc ，bd ，bA ，bB ，cd ，cA ，cB ，dA ，dB ，AB
共15种情况．
事件A 包括ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，AB 共7种情况．
所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率()715
P A =． 20．（1）茎叶图如下图所示，甲中位数是9．05，乙中位数是9．15；（2）乙运动员的成绩比甲运动员的成绩好；乙运动员比较稳定．
【解析】
试题分析：（1）以茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字，作出茎叶图即可，如下图；（2）由平均数公式即可求出两者的平均数，平均数大的成绩较好，同时，方差小的成绩稳定．
试题解析：（1）如图所示，茎表示成绩的整数环数，叶表示小数点后的数字．
由上图知，甲中位数是9．05，乙中位数是9．15
（2）解：x 甲＝110
×（9．4+8．7+7．5+8．4+10．1+10．5+10．7+7．2+7．8+10．8）=9．11 x 乙＝110
×（9．1+8．7+7．1+9．8+9．7+8．5+10．1+9．2+10．1+9．1）＝9．14 S 甲
＝ 1.3s ==甲
0.9s ==乙
由x x <乙甲，这说明乙运动员的好于甲运动员的成绩
由S 甲>S 乙，这说明甲运动员的波动大于乙运动员的波动，所以我们估计，乙运动员比较稳定． 考点：数据的数字特征的计算及应用．
21．
1.2
EG EO = 试题解析：（Ⅰ）连接OF .由ABCD 是正方形可知,点O 为BD 中点.
又F 为BE 的中点，所以OF ∥DE .2分
又⊂OF 平面⊄DE ACF ,平面,ACF 所以DE ∥平面ACF 4分
（Ⅱ）证明：由⊥EC 底面⊂BD ABCD ,底面ABCD 所以BD EC ⊥
由ABCD 是正方形可知, BD AC ⊥
所以⊥BD 平面ACE 8分
又⊂AE 平面ACE ，
所以AE BD ⊥ 9分
（Ⅲ）在线段EO 上存在点G ，使⊥CG 平面BDE . 理由如下：
如图，取EO 中点G ，连接CG .
在四棱锥E ABCD 中，22,2AB CE CO AB CE ，
所以EO CG ⊥. 11分
由（Ⅱ）可知，⊥BD 平面ACE ，而⊂BD 平面BDE
所以，平面⊥ACE 平面BDE ，交线是EO
因为EO CG ⊥，所⊥CG 平面BDE 12分
由G 为EO 中点，得1.2
EG EO 13分 考点：本题考查线面平行，线线垂直，，线面垂直
点评：找到平面外一条直线和平面内一条直线平行则线面平行，先证线面垂直再得到线线垂 甲 乙
8 2 5 7 1
4 7 8 7 5
4 9 1 8
7 2 1
直，第三问有线面垂直找到关系，得到G 点位置
22．(Ⅰ)详见解析 (Ⅱ) 1-=x 或0434=+-y x (Ⅲ) t 是定值-5
【解析】
试题分析：(Ⅰ) 当l 与m 垂直时斜率相乘为1-，从而得到l 斜率及方程(Ⅱ)直线与圆相交时常用弦长的一半，圆心到直线的距离，圆的半径构成的直角三角形求解(Ⅲ)先将直线l 设出，与圆联立求出M 点坐标)13,13(2
222k k k k k k M ++++-，将直线l 与直线m 联立求得)315,3163(k
k k k N +-+--，代入t =AN AM ⋅中化简得常数，求解时需注意直线方程分斜率存在
不存在两种情况 试题解析：(Ⅰ)由已知3
1-=m k ,故3=l k ,所以直线l 的方程为)1(3+=x y . 将圆心C )3,0(代入方程易知l 过圆心C 4分
(Ⅱ) 当直线l 与x 轴垂直时,易知1-=x 符合题意;
当直线与x 轴不垂直时,设直线l 的方程为)1(+=x k y ,由于32=PQ , 所以.1=CM 由113
2=++-=k k CM ,解得3
4=k . 故直线l 的方程为1-=x 或0434=+-y x -8分
(Ⅲ)当l 与x 轴垂直时,易得)3,1(-M ,)3
5,1(--N ,又)0,1(-A 则),3,0(=AM )3
5,0(-=AN ,故5-=⋅AN AM . 即5t =- 当l 的斜率存在时,设直线l 的方程为)1(+=x k y ,代入圆的方程得
056)62()1(2
222=+-+-++k k x k k x k .则,1322
221k k k x x x M ++-=+= 2213)1(k k k x k y M M ++=+=,即)13,13(2222k k k k k k M ++++-, =AM )13,113(222k k k k k ++++.又由⎩
⎨⎧=+++=,063),1(y x x k y 得)315,3163(k k k k N +-+--, 则)315,315(k
k k AN +-+-=. 故=t 5)1)(31()1)(31(5)31)(1()3(5)31)(1(51522222-=++++-=+++-+++--=⋅k k k k k k k k k k k k AN AM . 综上,t 的值为定值,且5t =- 12分
另解一:连结CA ,延长交m 于点R ,由(Ⅰ)知m AR ⊥.又l CM ⊥于M , 故△ANR ∽△AMC .于是有AR AC AN AM ⋅=⋅. 由,105
,10==AR AC 得.5=⋅AN AM
=⋅=.5-
故t AM AN
另解二:连结CA并延长交直线m于点B,连结,
AC⊥又l
CM由(Ⅰ)知,m
,CN
CM⊥, 所以四点B
N
,
,都在以CN为直径的圆上,由相交弦定理得
M,
C
=⋅=-⋅=-⋅=-
5
t AM AN AM AN AC AB
考点：1.直线方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.向量的坐标运算。