第6章 实数 章节复习 人教版数学七年级下册教与练教学设计

人教版初中数学七年级下册
第六章实数章节复习教学设计
一、教学目标：
1.梳理本章的相关概念，通过回顾平方根、立方根、实数及有关的概念，强化概念之间的联系;
2.会进行开平方和开立方运算及巩固实数的运算.
二、教学过程：
知识网络
知识梳理
一、算术平方根
像52=25，那么5叫做25的算术平方根；
102=100，那么10叫做100的算术平方根；
∵32=9，∴9的算术平方根是3.
一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.
a的算术平方根记作：，读作:“根号a”.
即x2=a (x>0)
x叫做a的算术平方根，记作：x=.
规定：0的算术平方根是0. 记作: =0.
2.算术平方根的性质：
(1)一个正数的算术平方根有1个; 0的算术平方根有一个，是0;负数没有算术平方根.
(2)被开方数a是非负数，即a≥0;a是非负数，即a≥0.（双重非负性）
(3)被开方数越大，对应的算术平方根也越大. 若a＞b＞0，则a＞b＞0.
(4)被开方数扩大(或缩小)100倍，它的算术平方根扩大(缩小)10倍.
二、平方根
1.平方根的定义：
一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根. 这就是说，如果x2=a，那么x叫做a的平方根.
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方.
2.平方根的特征：
(1)正数有两个平方根，它们互为相反数;
(2)0的平方根是0;
(3)负数没有平方根.
3. 平方根的表示：
正数a的算术平方根可以表示为a，正数a的负的平方根，可以表示为-a. 正数a的平方根可以用±a表示，读作“正、负根号a”．
4.平方根与算术平方根的联系与区别：
三、立方根
一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根或三次方根. 这就是说，如
果x3=a，那么x叫做a的立方根.
求一个数的立方根的运算，叫做开立方.正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算.
类似于平方根，一个数a的立方根，用符号“”表示，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数.
正数的立方根是______；负数的立方根是______；0的立方根是______.
立方根的性质:一般地，
平方根与立方根的区别和联系
四、实数及其运算
1.有理数
我们知道有理数包括整数和分数，利它们都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式.
，，，，.
=2.5，=-0.6，=6.75，=1.•2，=0.•8•1.
任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式. 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
2.无理数
通过前两节的学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数.
无限不循环小数又叫做无理数.
例如，-，，等都是无理数.
π=3.14159265…，1.01001000100001…它们都是无限不循环小数，是无理数.
常见的无理数的三种形式：(1)含π的一些数；(2)开方开不尽的数；(3)有规律但不循环的数，如1.01001000100001…
3.实数
有理数和无理数统称为实数.
分类原则：不重不漏
事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来.
当数的范围从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. 与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大.
数a的相反数是-a，这里a表示任意一个实数.
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即设a表示任意一个实数，则
4.实数的运算性质
(1)当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.
(2)在进行实数运算时，有理数的运算法则及运算性质同样适用.
1.交换律：加法a＋b＝b＋a，乘法a×b＝b×a
2.结合律：加法(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，乘法(a×b)×c＝a×(b×c)
3.分配律：a×(b＋c)＝a×b＋a×c
考点梳理
考点解析
考点1：算术平方根的概念及计算
例1.求下列各数的算术平方根:
(1) 100 (2) 49
(3) 0.0001
64
解：(1) 因为102=100，所以100的算术平方根是10，即100=10；
(2) 因为，所以的算术平方根是，即；
(3) 因为0.012=0.0001，所以0.0001的算术平方根是0.01，即0.0001=0.01.
例2.化简：
(1) 111
(2) (―1.3)2(3) (―2)×(―8)
25
解：
【迁移应用】
【1-1】16的算术平方根是( )
A.4
B.±4
C.2
D.±2
【1-2】一个正方形的面积变为原来的4倍,则它的边长变为原来的____倍;面积变为原来的9倍,则它的边长变为原来的____倍;面积变为原来的100倍，则它的边长变为原来的____倍;面积变为原来的n倍时，则它的边长变为原来的_____倍.
【1-3】求下列各数的算术平方根.
(1)64； (2)0.25； (3)49； (4)52； (5)―； (6)104．
解：（1）因为82=64，所以64的算术平方根为8；
（2）因为0.52=0.25，所以0.25的算术平方根为0.5；
（3）因为（23）2=49，所以49的算术平方根为23；
（4）因为52=52，所以52的算术平方根为5；
（5）因为―=（413）2=（413）2，所以的算术平方根为4
13；（6）因为104=1002，所以104的算术平方根为100.考点2：算术平方根的非负性应用
例3.若(x ―4)2+y +3=0，求(x +y)2019的算术平方根．
解：∵(x ―4)2+y +3=0，且(x ―4)2≥0，y +3≥0，
∴x ―4≥0，y +3≥0
∴x ―4=0，y +3=0，
∴x =4，y =―3，
把x =4，y =―3代入，(x +y)2019=[4+(―3)]2019=12019=1，
∴(x +y)2019的算术平方根是1．
【迁移应用】
若实数x 、y 、z 满足x +2+(y ―3)2+|z +6|=0，求xyz 的算术平方根.解：∵x +2+(y ―3)2+|z +6|=0，
∴x +2=0，y ―3=0，x +6=0，
∴x =―2，y =3，z =―6，
∴xyz =(―2)×3×(―6)=36，∴xyz 的算术平方根是36=6.考点3：平方根的概念及计算
例4. 求下列各式的值：(1) ； (2) -； (3) ±.
解：(1)因为62=36，所以=6；(2)因为0.92=0.81，所以-
=-0.9；
(3)因为=，所以±=±.
例5.已知一个正数m的平方根为2n+1和4―3n．
(1)求m的值；
(2)|a―1|+b+(c―n)2=0，a+b+c的平方根是多少？
（1）解：∵正数m的平方根互为相反数，
∴2n+1+4―3n=0，
解得：n=5，
∴2n+1=11，
∴m=112=121；
（2）由（1）得：n=5，
∵|a―1|+b+(c―n)2=0，
∴a―1=0，b=0，c―n=0，
∴a=1，b=0，c=n=5，
∴a+b+c=1+0+5=6，
∴a+b+c的平方根是±6．
例6.已知2a―1的算术平方根是3，b―1的平方根是±4，c是13的整数部分，求a+2b―c的平方根．
解：∵2a―1的算术平方根是3；b―1的平方根是±4，
∴2a―1=9，b―1=16，
∴a=5，b=17．
∵c是13的整数部分，3<13<4，
∴c=3．
∴a+2b―c=5+17×2―3=36．
∵36的平方根是±6．
∴a+2b―c的平方根为±6．
【迁移应用】
【3-1】下列式子中，正确的是( )
A.±4=2
B.(-2)2=-2
C.4=±2
D.22=2
【3-2】计算: (1)121=______; (2)- 1.69=_______;(3)-(-0.3)2=_______; (4)±324=_______.
【3-3】已知一个正数的平方根是2x+3和x-9，则这个数是______.
【3-4】求下列各数的平方根.
(1)49； (2)1625； (3)279； (4)0.36； (5)―.
解：（1）∵(±7)2=49，∴49的平方根是±7；
（2）∵±=1625，∴1625的平方根是±45；
（3）∵279=259，±=259，∴279的平方根是±5
3；（4）∵(±0.6)2=0.36，∴0.36的平方根是±0.6；
（5）∵―=9
64=，∴的平方根是±3
8．【3-5】求下列各式中的x ．
(1)9x 2―25=0，
(2)4(x ―2)2―9=0．（1）解：9x 2―25=0
移项得：9x 2=25，
∴x 2=25
9
，∴x =±53，
∴x 1=53,x 2=―5
3（2）4(x ―2)2―9=0
4(x ―2)2=9，
∴(x ―2)2=9
4
∴x ―2=±32
∴x 1=72,x 2=12．考点4：立方根的概念及计算例7.列各式的值：(1) ； (2) ； (3) .
解：(1) =4；(2) =-5；(3) =.
例8.已知a2=16,|b|=9,3c=―2，且ab<0，bc>0，求a―b+c的值．
解：∵a2=16,|b|=9,3c=―2，
∴a=±4，b=±9，c=―8．
∵ab<0，bc>0，
∴b与c同号，a与b、c异号．
∴a=4，b=―9，c=―8
∴a―b+c=4―(―9)+(―8)=5．
例9.对于结论：当a+b=0时．a3+b3=0也成立．若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根．由此得出结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”
(1)举一个具体的例子进行验证；
(2)若37―y和32y―5互为相反数，且x―3的平方根是它本身，求x+y的立方根．
（1）解：举例：a3=8,b3=―8，
则38+3―8=2+(―2)=0，此吋8+(―8)=0，即8与―8互为相反数，
所以“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”成立．
（2）解：∵37―y和32y―5互为相反数，
∴7―y与2y―5互为相反数，
∴7―y+2y―5=0，
解得y=―2，
∵x―3的平方根是它本身，
∴x―3=0，
解得x=3，
∴x+y=3―2=1，
∴x+y的立方根是1．
【迁移应用】
【4-1】下列说法正确的是（）
A.9的算术平方根是±3
B.―8没有立方根
C.―8的立方根―2
D.8的立方根是±2
【4-2】下列各式中，正确的是（）
A.― 3.6=―0.6
B.3―5=―35
C.(―13)2=―13
D.36=±6
【4-3】如果32.37≈1.333，323.7≈2.872，那么323700约等于（）
A．28.72B．287.2C．13.33D．133.3
【4-4】已知a―5的平方根是±4，2b―1的立方是―27，求a―4b的算术平方根．解：∵a―5的平方根是±4，
∴a―5=(±4)2=16，
解得a=21，
∵2b―1的立方是―27，
∴2b―1=3―27=―3，
解得b=―1，
∴a―4b=21―4×(―1)=25，
∴a―4b的算术平方根是5．
【4-5】已知A=m―2n―m+3是n―m+3的算术平方根，B=m―2n+3m+2n
是m+2n的立方根，求B―A的平方根．
解：由题意得：m―2=2，m―2n+3=3，
解得：m=4，n=2，
则A=2―4+3=1，B=34+2×2=2，
∴B―A=2―1=1，
则B―A的平方根为：±1．
考点5：实数的概念、性质及分类
例10.如图，请将数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来:
,O点表示0,C点表示2,D点表示2,E点表示π.
解:A点表示-3,B点表示-1
2
例11.把下列各数填在相应的大括号内:
例12.如图所示，数轴上A，B两点表示的数分别为－1和3，点B关于点A的对称点为C，求点C所表示的实数．
解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为－1和3，
∴点B到点A的距离为1＋3，
则点C到点A的距离为1＋3，
设点C表示的实数为x，则点A到点C的距离为－1－x，
∴－1－x＝1＋3，
∴x＝－2－3
【迁移应用】
【5-1】如图，数轴上A,B两点表示的数分别为2和5.1，则A，B两点之间表示整数点共有( ) A.6个 B.5个 C.4个 D.3个
【5-2】若将三个数-3,7,11表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是______.
【5-3】把下列各数分别填入相应的集合内:
考点6：实数的大小比较
例13.通过估算比较下列各组数的大小：
(1) 5与1.9；(2)与1.5.
解：(1)因为5>4，所以5>2；
所以5>1.9.
(2)因为6>4，所以6>2；
所以>，即>1.5.
例14.比较下列各组数的大小.
（1）与2.5;（2）与.
解：因为2.53=15.625所以<所以
<2.5
(2)因为所以< 所以<【迁移应用】
【6-1】将下列各实数按从小到大的顺序排列，并用“<”号连接起来.
解：-5＜1-π＜-2＜1.141＜125＜2.
【6-2】比较3，4，
的大小.解：∵ 33=27，43=64，∴＜＜，即 3＜＜4.
【6-3】已知
（n 为正整数），则2n 的立方根为______.【6-4】比较下列各组数的大小：(1)8 与 10； (2)65 与 8； (3)
5―12 与 0.5； (4)5―12 与 1.
解：(1)∵8＜10，∴8＜10.
(2)∵65＞64，∴65＞64，即65＞8.
(3)∵5＞2，∴5-1＞2-1，∴
5―12＞12，即5―12＞0.5.(4)∵5＜3，∴5-1＜3-1，∴
5―12＜3―12，即5―12＜1.考点7：实数的运算
例15.计算：(1)|3－2|－(－2)2＋2×32； (2)|2－10|＋|10－14|＋|4－14|；(3)14×(22＋3)－23π(保留小数点后两位)．
解：(1)原式＝2－3－4＋3＝－2;(2)原式＝10－2＋14－10＋4－14＝2;
(3)原式≈14×(2×1.414＋1.732)－23×3.142≈－0.95.
【迁移应用】
【7-1】下列计算正确的是( )
A.|2-3|=2-3
B.9=±3
C.32+3=35
D.3―27=-3【7-2】练习：
(1) 22-32；
(2) |2-3|+22.
解:(1)原式
(2)原式 【7-3】化简与计算：
解:(1)原式
(2)原式
(3)原式
(4)原式
考点8：实数的应用
例16.高空抛物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．据研究，高空物体自由下落到地面的时间t （单位：s ）和高度h （单位：m ）近似满足公式t =2h g （不考虑风速的影响，g ≈9.8m/s 2）
．已知一幢大楼高78.4m ，若一颗鸡蛋从楼顶自由落下，求落到地面所用时间．
解：将h=78.4,g≈9.8代入公式t=2h
，
g
得：t=2×78.4
=4
9.8
答：落到地面所用时间为4s．
例17.如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬行3个单位长度到达点B.已知点A表示的数是-3,设点B表示的数为m.
(1)m的值为_________;
(2)计算:|m-1|+3(m+6)+1.
解：|m-1|+3(m+6)+1
=|-3+3-1|+3×(-3+3+6)+1
=2- 3-3+93+1
=83.
【迁移应用】
【8-1】一个长、宽，高分别为50cm、8cm、20cm的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则锻造成的立方体铁块的棱长是（）
A．20cm B．200cm C．40cm D．80cm
【8-2】如图，从一个大正方形中裁去面积为4cm2和25cm2的两个小正方形，求留下的阴影部分的面积．
解：∵大正方形的边长=4+25=2+5=7(cm)，
∴大正方形的面积为49cm2，
∴阴影部分的面积=49―4―25=20(cm2)．
【8-3】王老师为班级图书角购买了四本同一型号的字典，这种字典的长与宽相等．班长将这4本字典放入一个容积为512cm3的正方体礼盒里，恰好填满．求这一本字典的厚度．
解：∵正方体礼盒的容积为512cm3，
∴正方体礼盒的边长为3512=8(cm)，
∴一本字典的厚度为8÷4=2(cm)，
答：一本字典的厚度为2cm．。