陕西省黄陵县高二数学下学期期末考试试题(高新部)理

高新部高二期末考试理科数学试题
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.） 1．若复数z 的共轭复数2z i =+，则复数z 的模长为（ ） A ．2 B ．－1 C ．5
D 2．下列命题正确的是（ ）
A ．命题“x ∃∈R ，使得x 2
－1＜0”的否定是：x R ∀∈，均有x 2－1＜0．
B ．命题“若x ＝3，则x 2－2x －3＝0”的否命题是：若x ≠3，则x 2
－2x －3≠0．
C ．“23
k απ
=π+
（k ∈Z ）”是“sin 2α=”的必要而不充分条件．
D ．命题“cos x ＝cosy ，则x ＝y ”的逆否命题是真命题． 3．下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；
②设有一个回归方程ˆ53y
x =-，变量x 增加一个单位时，y 平均增加3个单位； ③线性回归方程ˆy bx a =+必经过点（x ，y ）；
④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说现有100人吸烟，那么其中有99人患肺病． 其中错误的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
4．下列说法正确的是（ ）
A ．命题“若x 2＞1，则x ＞1”的否命题为“若x 2＞1，则x ≤1”
B ．命题“∃x 0∈R ，x 02＞1”的否定是“∀x ∈R ，x 2＞1”
C ．命题“x ≤1是x 2+2x ﹣3≤0的必要不充分条件”为假命题
D．命题“若x=y，则cosx=cosy”的逆命题为假命题
5．（1﹣）（1+x）5的展开式中项x3的系数为（）
A．7 B．8 C．10 D．5
6．如图，矩形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（0，﹣1），B（π，﹣1），C（π，1），D（0，1），正弦曲线f（x）=sinx和余弦曲线g（x）=cosx在矩形ABCD内交于点F，向矩形ABCD区域内随机投掷一点，则该点落在阴影区域内的概率是（）
A．B．C．D．
7、已知函数
7
()2
c
f x ax bx
x
=++-
,若(2006)10
f=,则(2006)
f-的值为（）
A．10 B． -10 C．-14 D．无法确定
8、已知函数
()
y f x
=
是R上的偶函数，且在（-∞，0]上是减函数，若
()(2)
f a f≥
，则实数a
的取值范围是（）
A．a≤2 B．a≤-2或a≥2 C．a≥-2 D．-2≤a≤2 9、若0＜a＜1，f(x)＝|log a x|，则下列各式中成立的是（）
A．f(2)＞f(1
3)＞f(
1
4) B．f(
1
4)＞f(2)＞f(
1
3)
C．f(1
3)＞f(2)＞f(
1
4) D．f(
1
4)＞f(
1
3)＞f(2)
10．已知函数y=﹣xf′（x）的图象如图（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象可能是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知点P 在曲线y=上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ）
A ．[0，
） B ．
C ．
D ．
12．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2
=4x 的焦点，P 为C 上一点，若∠OFP=120°，S △POF =（ ）
A ．
B ．2
C ．或
D ．
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13.曲线3
4y x x =-在点()1,3--处的切线方程为 .
14.已知随机变量ξ服从正态分布()3,100N ，且()50.
84P ξ≤=，则()15P ξ≤≤= .
15.5
x
⎛ ⎝的二项展开式中2
x 的系数是 .（用数字作答） 16.若规定{}1210,,
,E a a a =的子集{}
12,,
,t t k
a a a 为E 的第k 个子集，其中
12111222m t t t k ---=++
+，则E 的第211个子集是 .
三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．(12分)设函数f （x ）=2x 3
+3ax 2
+3bx+8在x=1及x=2时取得极值．
（1）求a ，b 的值；
（2）求曲线f （x ）在x=0处的切线方程． 18、（12分）
用反证法证明：如果1
2
x >
，那么2210x x +-≠．
19、（12分）
如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，G 是DF 的中点．
（Ⅰ）设P 是CE 上的一点，且AP BE ⊥，求CBP ∠的大小； （Ⅱ）当3AB =，2AD =，求二面角E AG C --的大小．
20．（12分）已知函数f （x ）=x 2
+ax+b ，g （x ）=e x
（cx+d ），若曲线y=f （x ）和曲线y=g （x ）都过点P （0，2），且在点P 处有相同的切线y=4x+2． （Ⅰ）求a ，b ，c ，d 的值；
（Ⅱ）若对于任意x ∈R ，都有f （x ）≥k ﹣g （x ）恒成立，求k 的取值范围．
21.（12分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,
sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为
4,
1,x a t t y t =+⎧⎨
=-⎩
（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；
（2）若C 上的点到l a. 22．（10分）
已知函数f （x ）=–x 2
+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集；
（2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围.
参考答案与试题解析
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.）
1.D
2.B
3.D
4.D ．
5.D ．
6.B ．
7.C
8.B
9.D 10．B ．11．D ．12．A ．
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 13.2y x =- 14. 0.68 15. 40 16.},,,,{87521a a a a a
三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17解：（1）∵函数f （x ）=2x 3+3ax 2+3bx+8c ， ∴f ′（x ）=6x 2+6ax+3b ，
∵函数f （x ）在x=1及x=2取得极值，∴f ′（1）=0，f ′（2）=0．
即
，
解得a=﹣3，b=4；
（2）由（1）得f （x ）=2x 3﹣9x 2+12x+8，f ′（x ）=6x 2﹣18x+12， ∴f （0）=0，f ′（0）=12．∴切线的斜率k=12．切点为（0，8） 由直线方程的点斜式得切线方程为：y ﹣8=12x ，即12x ﹣y+8=0． 18． （本小题满分12分）
证明：假设2
210,x x +-=则1x =-±……………………………………………2分
容易看出1
1,2-<
………………………………………………………………………4分
下面证明1
1.2
-+<……………………………………………………………………5分
因为89,<<即3<3
2
<，…………………………………８分
变形得1
1.2-<………………………………………………………………………9分
综上得1
,2x <……………………………………………………………………………10分
这与条件1
2
x >矛盾．……………………………………………………………………11分
因此，假设不成立，即原命题成立．……………………………………………………12分
19．（本小题满分12分）
解 （Ⅰ）因为AP BE ⊥，AB BE ⊥，
AB ，AP ⊂平面ABP ，AB AP A =，
所以BE ⊥平面ABP ，……………………………………………………………………2分 又BP ⊂平面ABP ，…………………………………………………………………………3分 所以BE BP ⊥，又120EBC ∠=︒，
因此30CBP ∠=︒…………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得(0,0,3)A (2,0,0)E
，G
，(C -，故(2,0,3)AE =-
，
AG =，(2,0,3)CG =，……………………………………6分
设111(,,)m x y z =是平面AEG 的一个法向量.
由00
m AE m AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
可得1111230,0,x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩
取12z =，可得平面AEG
的一个法向量(3,2)m =.………………………………8分 设222(,,)n x y z =是平面ACG 的一个法向量.
由00
n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
可得22220,
230,x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩
取22z =-，可得平面ACG
的一个法向量(3,2)n =-.…………………………10分 所以1
cos ,||||2
m n m n m n ⋅<>=
=⋅.
因此所求的角为60︒.………………………………………………………………………12分 20．
解：（Ⅰ）由题意知f （0）=2，g （0）=2，f ′（0）=4，g ′（0）=4， 而f ′（x ）=2x+a ，g ′（x ）=e x （cx+d+c ），故b=2，d=2，a=4，d+c=4， 从而a=4，b=2，c=2，d=2；
（Ⅱ）由（I ）知，f （x ）=x 2
+4x+2，g （x ）=2e x
（x+1）， 由f （x ）≥k ﹣g （x ）恒成立得f （x ）+g （x ）≥k 恒成立， 设F （x ）=f （x ）+g （x ）=2e x
（x+1）+x 2
+4x+2， 则F ′（x ）=2e x
（x+2）+2x+4=2（x+2）（e x
+1）， 由F ′（x ）＞0得x ＞﹣2，由F ′（x ）＜0得x ＜﹣2， 即当x=﹣2时，F （x ）取得极小值，同时也是最小值，
此时F （﹣2）=2e ﹣2（﹣2+1）+（﹣2）2+4×（﹣2）+2=﹣2e ﹣2﹣2， 则k ≤﹣2e ﹣2
﹣2．
21解：（1）曲线C 的普通方程为2
219
x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为430x y +-=.
由22
430
1
9x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或2125
2425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
.
从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，2124
(,)2525
-
. （2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为
d =
.
当4a ≥-时，d
=8a =；
当4a <-时，d
.=，所以16a =-. 综上，8a =或16a =-.、
22解：（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2
|1||1|40x x x x -+++--≤.① 当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；
当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；
当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而1x <≤
所以()()f x g x ≥的解集为{|1x x -<≤. （2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =.
所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥.
又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤. 所以a 的取值范围为[1,1]-.。