创新导学案(人教·文科数学)新课标高考总复习配套课件：第一章 集合与常用逻辑用语 3-1
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因此 y′＝2x＋1 5·(2x＋5)′＝2x＋2 5.
【思维升华】 (1)有的函数虽然表面形式为 函数的商的形式，但在求导前利用代数或三 角恒等变形将函数先化简，然后进行求导， 有时可以避免使用商的求导法则，减少运算 量，提高运算速度减少差错；
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)×
1．(2015·陕西)设曲线 y＝ex 在点(0，1)处的切线与曲线 y＝1x (x>0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为________．
【解析】利用导数表示切线斜率，根据切线垂直列方程求解． y′＝ex，曲线 y＝ex 在点(0，1)处的切线的斜率 k1＝e0＝1， 设 P(m，n)，y＝1x(x>0)的导数为 y′＝－x12(x>0)，
说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞) 上也单调递减，故可排除A，C.
又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝ x0处相交，
说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切
4．曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与 直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为 ________．
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义
(2)几何意义
函数(xf0(，xf)(x在0)) 点x0处切的线的导斜率数f′(x0)的几何意义
是在y－f曲(x0)＝线f′(xy0)＝(x－fx(0)x)上点
处的
．相应地，切线方程为
．
3．函数f(x)的导函数
4．基本初等函数的导数公式
6．复合函数的导数
所以 lim
ΔΔxy＝lim
（x－2)＋Δx]＝2x－2.
所以函数 f(x)＝x2－2x－1 在 x＝1 处的导数为
f′(x)|x＝1＝2×1－2＝0. 方法二：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－1－(12－2×1－1)
＝1＋2Δx＋(Δx)2－2－2Δx－1＋2＝(Δx)2，
§3.1 导数的概念及运算
[最新考纲] 1.了解导数概念的实际背景；2.理解导数的几何意义； 3.能根据导数定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y ＝1x，y＝ x的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的 四则运算法则求简单函数的导数．
1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
后令 x＝a 即可求解，也可直接利用定义求解．
跟踪训练 1 (1)函数 y＝x＋1x在[x，x＋Δx]上的平均变化率ΔΔxy
＝________；该函数在 x＝1 处的导数是________．
(2)已知
f(x)＝
1 ，则 x
f′(1)＝________．
【解析】 (1)∵Δy＝(x＋Δx)＋x＋1Δx－x－1x
＝exln
x＋1x.
(2)∵y＝x3＋1＋x12，∴y′＝3x2－x23. (3)y＝sin22x＋π3 ＝21－12cos4x＋32π. 故设 y＝12－21cos u，u＝4x＋23π， 则 yx′＝yu′·ux′＝12sin u·4 ＝2sin u＝2sin4x＋32π. (4)设 y＝ln u，u＝2x＋5，则 yx′＝yu′·ux′，
∴ΔΔyx＝－
1 1＋Δx（1＋
， 1＋Δx）
∴lim ΔΔxy＝lim
－1 1＋Δx（1＋
1＋Δx）＝－21.
∴f′(1)＝－21.
【答案】 (1)1－x（x＋1Δx） 0 (2)－21
题型二 导数的运算 【例 2】 求下列函数的导数： (1)y＝ex·ln x； (2)y＝xx2＋1x＋x13； (3)y＝sin22x＋π3 ； (4)y＝ln(2x＋5)． 【解析】 (1)y′＝(ex·ln x)′＝exln x＋ex·1x
所以 lim ΔΔxy＝lim （ΔΔxx）2＝limΔx＝0.
故 f′(x)|x＝1＝0.
【思维升华】 (1)求函数 f(x)的导数步骤：
①求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)； ②计算平均变化率ΔΔyx＝f（x2）x2－－xf（1 x1）；
③计算导数
f′(x)＝lim
Δy Δx.
(2)利用定义法求解 f′(a)，可以先求出函数的导数 f′(x)，然
＝Δx＋x＋1Δx－1x＝Δx＋x（－ x＋ΔΔxx）.
∴Δ Δyx＝1－x（x＋1Δx）.y′|x＝1＝lim Δ Δyx＝0.
(2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝ 1＋1 Δx－1
＝1－ 1＋Δx＝（1－ 1＋Δx）（1＋ 1＋Δx）
1＋Δx
1＋Δx（1＋ 1＋Δx）
＝
－Δx
，
1＋Δx（1＋ 1＋Δx）
曲线 y＝1x(x>0)在点 P 处的切线斜率 k2＝－m12(m>0)，
因为两切线垂直，所以k1k2＝－1， 所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1，1) ． 【答案】 (1，1)
2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导 函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可 能是( )
【解析】 由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0 ，＋∞)上单调递减，
【解析】 ∵y′＝－2e－2x，曲线在点(0，2) 处的切线斜率k＝－2，
∴切线方程为y＝－2x＋2， 该直线与直线y＝0和y＝x围成的三角形如 图所示，
其中直线 y＝－2x＋2 与 y＝x 的交点为 A23，32， ∴三角形的面积 S＝12×1×23＝31.
【答案】
1 3
题型一 利用定义求函数的导数 【例1】 用定义法求函数f(x)＝x2－2x－1 在x＝1处的导数． 【解析】 方法一：Δy＝f(x＋Δx)－f(x) ＝(x＋Δx)2－2(x＋Δx)－1－(x2－2x－1) ＝x2＋2x·Δx＋(Δx)2－2x－2Δx－1－x2＋2x
复合函数yuy′＝·ufx′(g(x))的导数和函数y＝y对fu(u)，u＝
g(x)的u对x导数间的关系为yx′＝
，即y
对x的导数等于
的导数与
的导数的乘积．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打 “√”或“×”)
(5)若 f(x)＝a3＋2ax－x2，则 f′(x)＝3a2＋2x.( ) (6)函数 y＝ x3的导数是 y′＝ 3x2.( )
【思维升华】 (1)有的函数虽然表面形式为 函数的商的形式，但在求导前利用代数或三 角恒等变形将函数先化简，然后进行求导， 有时可以避免使用商的求导法则，减少运算 量，提高运算速度减少差错；
【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)×
1．(2015·陕西)设曲线 y＝ex 在点(0，1)处的切线与曲线 y＝1x (x>0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为________．
【解析】利用导数表示切线斜率，根据切线垂直列方程求解． y′＝ex，曲线 y＝ex 在点(0，1)处的切线的斜率 k1＝e0＝1， 设 P(m，n)，y＝1x(x>0)的导数为 y′＝－x12(x>0)，
说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞) 上也单调递减，故可排除A，C.
又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝ x0处相交，
说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切
4．曲线y＝e－2x＋1在点(0，2)处的切线与 直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为 ________．
2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义
(2)几何意义
函数(xf0(，xf)(x在0)) 点x0处切的线的导斜率数f′(x0)的几何意义
是在y－f曲(x0)＝线f′(xy0)＝(x－fx(0)x)上点
处的
．相应地，切线方程为
．
3．函数f(x)的导函数
4．基本初等函数的导数公式
6．复合函数的导数
所以 lim
ΔΔxy＝lim
（x－2)＋Δx]＝2x－2.
所以函数 f(x)＝x2－2x－1 在 x＝1 处的导数为
f′(x)|x＝1＝2×1－2＝0. 方法二：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－1－(12－2×1－1)
＝1＋2Δx＋(Δx)2－2－2Δx－1＋2＝(Δx)2，
§3.1 导数的概念及运算
[最新考纲] 1.了解导数概念的实际背景；2.理解导数的几何意义； 3.能根据导数定义求函数 y＝c(c 为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y ＝1x，y＝ x的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的 四则运算法则求简单函数的导数．
1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
后令 x＝a 即可求解，也可直接利用定义求解．
跟踪训练 1 (1)函数 y＝x＋1x在[x，x＋Δx]上的平均变化率ΔΔxy
＝________；该函数在 x＝1 处的导数是________．
(2)已知
f(x)＝
1 ，则 x
f′(1)＝________．
【解析】 (1)∵Δy＝(x＋Δx)＋x＋1Δx－x－1x
＝exln
x＋1x.
(2)∵y＝x3＋1＋x12，∴y′＝3x2－x23. (3)y＝sin22x＋π3 ＝21－12cos4x＋32π. 故设 y＝12－21cos u，u＝4x＋23π， 则 yx′＝yu′·ux′＝12sin u·4 ＝2sin u＝2sin4x＋32π. (4)设 y＝ln u，u＝2x＋5，则 yx′＝yu′·ux′，
∴ΔΔyx＝－
1 1＋Δx（1＋
， 1＋Δx）
∴lim ΔΔxy＝lim
－1 1＋Δx（1＋
1＋Δx）＝－21.
∴f′(1)＝－21.
【答案】 (1)1－x（x＋1Δx） 0 (2)－21
题型二 导数的运算 【例 2】 求下列函数的导数： (1)y＝ex·ln x； (2)y＝xx2＋1x＋x13； (3)y＝sin22x＋π3 ； (4)y＝ln(2x＋5)． 【解析】 (1)y′＝(ex·ln x)′＝exln x＋ex·1x
所以 lim ΔΔxy＝lim （ΔΔxx）2＝limΔx＝0.
故 f′(x)|x＝1＝0.
【思维升华】 (1)求函数 f(x)的导数步骤：
①求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)； ②计算平均变化率ΔΔyx＝f（x2）x2－－xf（1 x1）；
③计算导数
f′(x)＝lim
Δy Δx.
(2)利用定义法求解 f′(a)，可以先求出函数的导数 f′(x)，然
＝Δx＋x＋1Δx－1x＝Δx＋x（－ x＋ΔΔxx）.
∴Δ Δyx＝1－x（x＋1Δx）.y′|x＝1＝lim Δ Δyx＝0.
(2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝ 1＋1 Δx－1
＝1－ 1＋Δx＝（1－ 1＋Δx）（1＋ 1＋Δx）
1＋Δx
1＋Δx（1＋ 1＋Δx）
＝
－Δx
，
1＋Δx（1＋ 1＋Δx）
曲线 y＝1x(x>0)在点 P 处的切线斜率 k2＝－m12(m>0)，
因为两切线垂直，所以k1k2＝－1， 所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1，1) ． 【答案】 (1，1)
2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导 函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可 能是( )
【解析】 由y＝f′(x)的图象知y＝f′(x)在(0 ，＋∞)上单调递减，
【解析】 ∵y′＝－2e－2x，曲线在点(0，2) 处的切线斜率k＝－2，
∴切线方程为y＝－2x＋2， 该直线与直线y＝0和y＝x围成的三角形如 图所示，
其中直线 y＝－2x＋2 与 y＝x 的交点为 A23，32， ∴三角形的面积 S＝12×1×23＝31.
【答案】
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题型一 利用定义求函数的导数 【例1】 用定义法求函数f(x)＝x2－2x－1 在x＝1处的导数． 【解析】 方法一：Δy＝f(x＋Δx)－f(x) ＝(x＋Δx)2－2(x＋Δx)－1－(x2－2x－1) ＝x2＋2x·Δx＋(Δx)2－2x－2Δx－1－x2＋2x
复合函数yuy′＝·ufx′(g(x))的导数和函数y＝y对fu(u)，u＝
g(x)的u对x导数间的关系为yx′＝
，即y
对x的导数等于
的导数与
的导数的乘积．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打 “√”或“×”)
(5)若 f(x)＝a3＋2ax－x2，则 f′(x)＝3a2＋2x.( ) (6)函数 y＝ x3的导数是 y′＝ 3x2.( )