四川省自贡市市第八中学2019-2020学年高三数学理模拟试卷含解析

四川省自贡市市第八中学2019-2020学年高三数学理模
拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. （3分）（2006?天津）函数的反函数是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
考点：反函数．
分析：本题需要解决两个问题：一是如何解出x，
二是如何获取反函数的定义域，求解x时，要注意x＜0的条件，因为涉及2个解．
解答：由
解得，
又∵原函数的值域是：y＞2
∴原函数的反函数是，
故选D．
点评：该题的求解有2个难点，一是解出x有两个，要根据x＜0确定负值的一个，
二是反函数的定义域要用原函数的值域确定，不是根据反函数的解析式去求．
2. 已知是定义在R上的偶函数且它图象是一条连续不断的曲线，当时，
，若，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
3. 下列函数在上为减函数的是
A． B． C． D．
参考答案：
D
4. 复数为纯虚数，则实数a的值为（）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
参考答案：
C
5. 已知，若，则
A．1 B．2 C．3
D．3或-1
参考答案：
C
6. 已知集合A={x|y=lg（x+1）}，B={x||x|＜2}，则A∩B=（）
A．（﹣2，0）B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（﹣2，﹣1）
参考答案：
C
【考点】交集及其运算．
【分析】求解对数型函数的定义域化简集合A，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：由x+1＞0，得x＞﹣1
∴A=（﹣1，+∞），
B={x||x|＜2}=（﹣2，2）
∴A∩B=（﹣1，2）．
故选：C
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了对数函数的定义域，是基础题．
7. 设函数的定义域为，则“”是“函数为奇函数”的
（）．
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
不能推出是奇函数，
但若是奇函数且定义域为，
则，
∴“”是“”为奇函数的必要不充分条件．
8. 从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：
重为 ( )
A．70.09kg B．70.12kg C．70.55kg D．71.05kg
参考答案：
B
略
9. 设｛a n｝（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是（）
A．d＜0 B．a7＝0 C．S9＞S5 D．S6与S7均为S n的最大值
参考答案：
10. 若，则是
的（）充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件
参考答案：
A
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （几何证明选讲选做题）如图，与圆相切点，为圆的割线，并且不过圆心，已知，，，则▲ ；圆的半径
等于▲．
参考答案：
．12，7
12. 已知平行四边形ABCD中，AB=1，E是BC边上
靠近点B的三等分点，AE BD，则BC长度的取
值范围是____________.
参考答案：
（1，）
13. 在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知a=2且bcosC+ccosB=2b，则
b= ．
参考答案：
1
【考点】HP：正弦定理．
【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式化简已知等式可得sinA=2sinB，进而可求a=2b=2，从而可求b的值．
【解答】解：∵a=2且bcosC+ccosB=2b，
∴由正弦定理可得：sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=2sinB，
∴a=2b=2，
∴b=1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
14. 已知，则大小关系由小到大排列为__________.
参考答案：
15.
参考答案：
略
16. 定义在R上偶函数f（x），当x＞0时，f（x）=x3﹣3x；奇函数g（x）当x＞0时g （x）=|1﹣x|﹣1，若方程：f（f（x））=0，f（g（x））=0，g（g（x））=0，g（f （x））=0的实根个数分别为a，b，c，d则a+b+c+d= ．
参考答案：
【考点】函数奇偶性的性质．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】结合函数图象把方程根的个数转化为函数图象的交点个数，可分别求得a，b，c，d，进而可得答案．
【解答】解：由题意，f（x）=0的根为0，±，由f（f（x））=0知f（x）=0或
±，∴a=3+2+4=9．
同理，由f（g（x））=0，得g（x）=0或±，∴b=3+2=5；
g（x）=0的根为0，±2，由g（g（x））=0，知g（x）=0或±2，∴c=3+2=5，
由g（f（x））=0，知f（x）=0或±2，0时对应有三个根，2时有2个，﹣2时2两个，∴d=7，
∴a+b+c+d=26，
故答案为：26
【点评】本题考查函数函数的图象及其应用，考查方程根的个数，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
17. 函数f（x）=sin4x+cos2x的最小正周期是．
参考答案：
考点：三角函数的周期性及其求法．
专题：计算题．
分析：把函数解析式中的两项分别利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用二倍角
的余弦函数公式把解析式化为一个角的余弦函数，找出ω的值，代入周期公式T=即可求出函数的最小正周期．
解答：解：y=sin4x+cos2x
=（）2+
==+
=cos4x+．
∵ω=4，
∴最小正周期T==．
故答案为：
点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，以及三角函数的周期公式，灵活运用二倍角的余弦函数公式把函数解析式化为一个角的三角函数是解此类题的关键．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：
将频率视为概率，解答下列问题：
(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；
(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；
(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．
参考答案：
【解】(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，
略
19. （本小题满分12分）在如图所示的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，G为AD中点．
（1）请在线段CE上找到点F的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD，并证明这一事实；
（2）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小；
（3）求点G到平面BCE的距离．
参考答案：
解法一：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得轴和轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为，，
，，，
（1）点F应是线段CE的中点，下面证明：
设F是线段CE的中点，则点F的坐标为，∴，
显然与平面平行，此即证得BF∥平面ACD； (4)
分
（2）设平面BCE的法向量为，
则，且，
由，，
∴，不妨设，则，即，
∴所求角满足，∴；……………………8分（3）由已知G点坐标为（1，0，0），∴，
由（2）平面BCE的法向量为，
∴所求距离．……………………12分
解法二：（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB//ED，
设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，
连接FH，则，∴， (2)
分
∴四边形ABFH是平行四边形，∴，
由平面ACD内，平面ACD，平面
ACD；……………4分
（2）由已知条件可知即为在平面ACD上的射影，
设所求的二面角的大小为，则
，……………………6分
易求得BC=BE，CE，
∴，
而，
∴，而，
∴；………………8分（3）连结BG、CG、EG，得三棱锥C—BGE，
由ED平面ACD，∴平面ABED平面ACD ，
又，∴平面ABED，
设G点到平面BCE的距离为，则即
，
由，，，
∴即为点G到平面BCE的距离． (12)
分
略
20. 已知函数（）
(1)若f(1)是f(x)的极值，求a的值，并求f(x)的单调区间。

(2)若时，，求实数a的取值范围。

参考答案：
(1)的定义域是，，………………1分
由是的极值得，得.…………………………2分
时，由，得，列表（列表的功能有两个：一是检验的正确性；二是求单调区间）得
分综上，，的单调减区间为，单调增区间为.………………5分
(2)因，.记，则
，且，当，即时，
，在单调递增，故时，
，则，则在单调递增，，符合。

……………8分
当，即时，则存在，使得时，，此时，，在单调递减，时，，不符。

……11分综上，实数的取值范围是.…………12分
参考：（分离常数，本方法供评卷用，最后用到洛必达法则，超出高中范围，酌情扣分）时，，等价于，记，则
，
记，
则，
故，在单调递减，……………8分
由洛必达法则得，故，综上，实数的取值范围是.…………10分
21. 已知点，点在轴上，动点满足，且直线与轴交于
点，是线段的中点．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若点是曲线的焦点，过的两条直线，关于轴对称，且交曲线于、两点，交曲线于、两点，、在第一象限，若四边形的面积等
于，求直线，的方程．
参考答案：
解：（Ⅰ）设，，，，，
∵，∴，即，
又∴代入，得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，设直线：，则得
，
，，
依题意可知，四边形是等腰梯形，
，
由，即，∴，
∴，
所以．
直线，的方程分别为，．
22.
（12分）在数列中，已知，
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若（为非零常数），问是否存在整数，使
得对任意都有？若存在，求出的值；若不存在，请说明
理由.
参考答案：
解析：（Ⅰ）由①
得：②
①-②得，
即有,
数列是从第二项为，公比为的等比数列
即， (5)
分
而满足该式，. ……………………6分（Ⅱ），要使恒成立
恒成立
即
当为奇数时，恒成立，而的最小值为
………………………………………………10分
当为偶数时，恒成立，而的最大值为
或
所以，存在，使得对任意都有
. ……………………………………12分。