华师版数学八年级上册12.3.1 两数和乘以这两数的差

12.3 乘法公式
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。

屈原《离骚》
江南学校李友峰
1.两数和乘以这两数的差
学习目标：
1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.（重点）
2.灵活运用平方差公式进行计算和解决实际问题.（难点）
自主学习
一、知识链接
多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项
_________另一个多项式的每一项，再把所得的积_______．
二、新知预习
算一算：根据多项式乘以多项式的法则进行计算：
①（x ＋ 1)( x－1）=x2-x+x-1=_______________；
②（m ＋ 2)( m－2）=m2-2m+2m-4=_______________；
③（2m＋ 1)(2m－1）=_______________=_______________.
合作探究
一、探究过程
探究点1：平方差公式
问题观察算一算中的式子与它的结果，它们有什么共同的特点？
【要点归纳】当出现两个多项式相乘的时候，呈现的形式如(a+b)(a−
b)=_________,（其中a,b代表数、字母或式子）即两数和与这两数差的积,等于这两数的__________.
试一试：在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩余的两个长方形拼成一个长方形，你能用这两个图形的面积说明平方差公式吗？
剩余部分的面积为：____________，
新长方形的面积为：____________，
则有等式为：___________________.
例1利用平方差公式计算：
(1)(x－5)(x＋5)； (2)(－a－b)(b－a)；（3）（x+1）（﹣x+1）.
【针对训练】计算：(1)(1
4
a－1)(
1
4
a＋1)； (2)(2m＋3n)(2m－3n)．
【方法总结】应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项
互为相反数；
(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；
(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．
例2先化简，再求值：(2x－y)(y＋x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.
【针对训练】先化简，再求值：(1＋3x)(1－3x)＋x(9x＋2)－1，其中x＝1 2 .
探究点2：平方差公式的应用
:(1) 51×49； (2)59.8×60.2.
【方法总结】根据平方差公式的特征，合理变形后，可以简化运算.例如（1）中
的51可以化为（50+1），49
可以化为（50-1）.
a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对
李大妈说：“我把这地一边减少4米，另外一边增加4米，继续以原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
【方法总结】解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题．
当堂检测
1.下列运算中，可用平方差公式计算的是( )
A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－) D．(x ＋y)(－x－y)
2.计算（2x2+1）（2x2-1）等于（）
A．4x4-1 B．2x4-1 C．4x2-1 D．4x4+1
3.将图1中阴影部分的小长方形变换到图2位置，你根据两个图形的面积关系得到的数学公式是______________________．
图1 图2
4.已知x2-y2=8，x+y=4，则x-y= .
5.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差
是________．
6.利用平方差公式计算：
（1）(a+3b)(a- 3b)；（2）(3+2a)(－3+2a)；（3）(－2x2－y)(－2x2+y).
7.计算：（1）20222 － 2021×2023；（2)(a-2)(a+2)(a2 + 4).
8.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2.
9.对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？
参考答案
自主学习
一、知识链接
乘以相加
二、新知预习
算一算：①x2-1 ②m2-4 ③4m²-2m+2m-1 4m²-1
合作探究
一、探究过程
探究点1：
问题解：都是二项式乘二项式，得到二项式，而且两个多项式只有中间的符号不一样.
【要点归纳】a²-b²平方差
试一试：a²-b² ( a+b)( a-b) a²-b²=( a+b)( a-b)
解：（1）原式
x2. 【针对训练】解：（1）原式=
161a2－1. （2）原式=4m2－9n2 .
解：原式=4x2-y2-4y2+x2=5x2-5y2，当x=1，y=2时，原式=5×12-5×22=-15．
探究点2：
解：（1）原式=(50+1)×(50-1)=50²-1=2499.
（2）原式=(60-0.2)×(60+0.2)=60²-0.2²=3600-0.04=3599.96.
解：李大妈吃亏了.理由如下：因为原正方形土地的面积为a2平方米，改变边长后土地的面积为（a+4）（a-4）=a2-16（平方米）.∵a2＞a2-16，∴土地面积减少了．∴李大妈吃亏了．
当堂检测
1.C
2.A
3.(a+b)(a −b)=a2- b2
4.2
5.10
6.解：（1）原式=a2-9b2. （2）原式=4a2－9. （3）原式=4x4－y2.
7.解：（1）原式=1. （2）原式=a4-16.
8.解：原式=x2-1+x2-x3+x3=2x2-1，当x=2时，原式=7．
9.解：（3n+1）（3n-1）-（3-n ）（3+n ）=9n2-1-（9-n2）=9n2-1-9+n2=10n2-10=10（n2-1）．因为n 为任意正整数，所以n2-1为整数.所以整式（3n+1）（3n-1）-（3-n ）（3+n ）的值一定是10的整数倍．
【素材积累】
岳飞应募参军，因战功累累不断升职，宋高宗亲手写了“精忠岳飞”四个字，制成旗后赐给他。

又召他到寝阁，对他说：“中兴的大事，全部委托给你了。

”金人攻打拱州、亳州，刘锜向朝廷告急，宋高宗命令岳飞火速增援，并摘赐给岳飞的亲笔信中说：“设施之事，一以委卿，朕不遥度。

”岳飞于是调兵遣将，分路出战，自己率领轻装骑兵驻扎摘郾城，兵锋锐气十足。

但是，后来高宗和秦桧决定与金议和，向金称臣纳贡。

旧摘岳飞积极准备渡过黄河收复失地的时候，高宗和秦桧却连发12道金字牌班师诏，命令岳飞退兵。

后岳飞被以“莫须有”的罪名毒死于临安风波亭，时年仅39岁。