高考数学模拟试卷复习试题全国统一高考数学试卷理科全国卷Ⅰ0016

高考数学模拟试卷复习试题全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）函数的定义域为（）
A．{x|x≥0}B．{x|x≥1}C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}
2．（5分）掷一个骰子，向上一面的点数大于2且小于5的概率为p1，拋两枚硬币，正面均朝上的概率为p2，则（）
A．p1＜p2 B．p1＞p2 C．p1=p2 D．不能确定
3．（5分）在△ABC中，=，=．若点D满足=2，则=（）A．B．C．D．
4．（5分）设a∈R，且（a+i）2i为正实数，则a=（）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
5．（5分）已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23
6．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（）
A．e2x﹣2 B．e2x C．e2x+1 D．e2x+2
7．（5分）设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．C．D．﹣2
8．（5分）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位
9．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式＜0的解集为（）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）
10．（5分）若直线=1与圆x2+y2=1有公共点，则（）
A．a2+b2≤1B．a2+b2≥1C．D．
11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）
A．B． C． D．
12．（5分）如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）
A．96 B．84 C．60 D．48
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为．
14．（5分）已知抛物线y=ax2﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．
15．（5分）在△ABC中，AB=BC，．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=．
16．（5分）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于．
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（10分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．
18．（12分）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，，AB=AC．
（Ⅰ）证明：AD⊥CE；
（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小．
19．（12分）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围．
20．（12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．
21．（12分）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知||、||、||成等差数列，且与同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
22．（12分）设函数f（x）=x﹣xlnx．数列{an}满足0＜a1＜1，an+1=f（an）．
（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；
（Ⅱ）证明：an＜an+1＜1；
（Ⅲ）设b∈（a1，1），整数．证明：ak+1＞b．
全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）（•全国卷Ⅰ）函数的定义域为（）
A．{x|x≥0}B．{x|x≥1}C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1}
【分析】偶次开方的被开方数一定非负．x（x﹣1）≥0，x≥0，解关于x的不等式组，即为函数的定义域．
【解答】解：由x（x﹣1）≥0，得x≥1，或x≤0．
又因为x≥0，所以x≥1，或x=0；所以函数的定义域为{x|x≥1}∪{0}
故选C．
2．（5分）（•全国卷Ⅰ）掷一个骰子，向上一面的点数大于2且小于5的概率为p1，拋两枚硬币，正面均朝上的概率为p2，则（）
A．p1＜p2 B．p1＞p2 C．p1=p2 D．不能确定
【分析】计算出各种情况的概率，然后比较即可．
【解答】解：大于2小于5的数有2个数，
∴p1==；
投掷一次正面朝上的概率为，
两次正面朝上的概率为p2=×=，∵＞，
∴p1＞p2．
故选B．
3．（5分）（•全国卷Ⅰ）在△ABC中，=，=．若点D满足=2，则=（）
A．B．C．D．
【分析】把向量用一组向量来表示，做法是从要求向量的起点出发，尽量沿着已知向量，走到要求向量的终点，把整个过程写下来，即为所求．本题也可以根据D点把BC分成一比二的两部分入手．
【解答】解：∵由，
∴，
∴．
故选A
4．（5分）（•全国卷Ⅰ）设a∈R，且（a+i）2i为正实数，则a=（）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【分析】注意到a+bi（a，b∈R）为正实数的充要条件是a＞0，b=0
【解答】解：（a+i）2i=（a2+2ai﹣1）i=﹣2a+（a2﹣1）i＞0，a=﹣1．故选D．
5．（5分）（•全国卷Ⅰ）已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）
A．138 B．135 C．95 D．23
【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n项和，根据a2+a4=4，a3+a5=10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前n项和公式，即可求解．
【解答】解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6，
∴d=3，a1=﹣4，
∴S10=10a1+=95．
故选C
6．（5分）（•全国卷Ⅰ）若函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称，则f（x）=（）
A．e2x﹣2 B．e2x C．e2x+1 D．e2x+2
【分析】由函数y=f（x）的图象与函数y=ln的图象关于直线y=x对称知这两个函数互为反函数，故只要求出函数y=f（x）的反函数即可，欲求原函数的反函数，即从原函数y=ln中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．
【解答】解：∵，∴，∴x=（ey﹣1）2=e2y﹣2，改写为：y=e2x﹣2
∴答案为A．
7．（5分）（•全国卷Ⅰ）设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）
A．2 B．C．D．﹣2
【分析】（1）求出已知函数y在点（3，2）处的斜率；
（2）利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系k1•k2=﹣1，求出未知数a．
【解答】解：∵y=∴y′=﹣
∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣
∵切线与直线ax+y+1=0垂直
∴直线ax+y+1=0的斜率为﹣a．
∴﹣•（﹣a）=﹣1得a=﹣2
故选D．
8．（5分）（•全国卷Ⅰ）为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图
象（）
A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位
【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．
【解答】解：∵，
只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．
故选A．
9．（5分）（•全国卷Ⅰ）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式＜0的解集为（）
A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）
【分析】首先利用奇函数定义与得出x与f（x）异号，
然后由奇函数定义求出f（﹣1）=﹣f（1）=0，
最后结合f（x）的单调性解出答案．
【解答】解：由奇函数f（x）可知，即x与f（x）异号，
而f（1）=0，则f（﹣1）=﹣f（1）=0，
又f（x）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，
当0＜x＜1时，f（x）＜f（1）=0，得＜0，满足；
当x＞1时，f（x）＞f（1）=0，得＞0，不满足，舍去；
当﹣1＜x＜0时，f（x）＞f（﹣1）=0，得＜0，满足；
当x＜﹣1时，f（x）＜f（﹣1）=0，得＞0，不满足，舍去；
所以x的取值范围是﹣1＜x＜0或0＜x＜1．
故选D．
10．（5分）（•全国卷Ⅰ）若直线=1与圆x2+y2=1有公共点，则（）
A．a2+b2≤1B．a2+b2≥1C．D．
【分析】用圆心到直线的距离小于或等于半径，可以得到结果．
【解答】解：直线与圆有公共点，即直线与圆相切或相交得：d≤r
，∴
故选D．
11．（5分）（•全国卷Ⅰ）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于（）
A．B． C． D．
【分析】法一：由题意可知三棱锥A1﹣ABC为正四面体，设棱长为2，求出AB1及三棱锥的高，由线面角的定义可求出答案；
法二：先求出点A1到底面的距离A1D的长度，即知点B1到底面的距离B1E的长度，再求出AE的长度，在直角三角形AEB1中求AB1与底面ABC所成角的正切，再由同角三角函数的关系求出其正弦．
【解答】解：（法一）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D，
所以三棱锥A1﹣ABC为正四面体，设棱长为2，
则△AA1B1是顶角为120°等腰三角形，
所以AB1=2×2×sin60°=2，A1D==，
所以AB1与底面ABC所成角的正弦值为==；
（法二）由题意不妨令棱长为2，点B1到底面的距离是B1E，
如图，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，设为D，
故DA=，
由勾股定理得A1D==故B1E=，
如图作A1S⊥AB于中点S，
易得A1S=，所以AB1==2，
所以AB1与底面ABC所成角的正弦值sin∠B1AE==．
故选B．
12．（5分）（•全国卷Ⅰ）如图，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（）
A．96 B．84 C．60 D．48
【分析】这道题比起前几年出的高考题要简单些，只要分类清楚没有问题，分为三类：分
别种两种花、三种花、四种花，分这三类来列出结果．
【解答】解：分三类：种两种花有A42种种法；
种三种花有2A43种种法；
种四种花有A44种种法．
共有A42+2A43+A44=84．
故选B
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）（•全国卷Ⅰ）若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为
9．
【分析】首先作出可行域，再作出直线l0：y=2x，将l0平移与可行域有公共点，直线y=2x ﹣z在y轴上的截距最小时，z有最大值，求出此时直线y=2x﹣z经过的可行域内的点的坐标，代入z=2x﹣y中即可．
【解答】解：如图，作出可行域，作出直线l0：y=2x，将l0平移至过点A处时，函数z=2x ﹣y有最大值9．
14．（5分）（•全国卷Ⅰ）已知抛物线y=ax2﹣1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为2．
【分析】先根据抛物线y=ax2﹣1的焦点坐标为坐标原点，求得a，得到抛物线方程，进而可知与坐标轴的交点的坐标，进而可得答案．
【解答】解：由抛物线y=ax2﹣1的焦点坐标为坐标原点得，，则
与坐标轴的交点为（0，﹣1），（﹣2，0），（2，0）
，则以这三点围成的三角形的面积为
故答案为2
15．（5分）（•全国卷Ⅰ）在△ABC中，AB=BC，．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=．
【分析】设AB=BC=1，，则，由此可知，从而求出该椭圆的离心率．
【解答】解：设AB=BC=1，，则，∴，．
答案：．
16．（5分）（•全国卷Ⅰ）等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C﹣AB ﹣D的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM，AN所成角的余弦值等于．【分析】先找出二面角的平面角，建立边之间的等量关系，再利用向量法将所求异面直线用基底表示，然后利用向量的所成角公式求出所成角即可．
【解答】解：设AB=2，作CO⊥面ABDE，
OH⊥AB，则CH⊥AB，∠CHO为二面角C﹣AB﹣D的平面角
，
结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，
则，
=
故EM，AN所成角的余弦值故答案为：
三、解答题（共6小题，满分74分）
17．（10分）（•全国卷Ⅰ）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值．
【分析】本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数，
（Ⅰ）由正弦定理的边角互化，我们可将已知中，进行转化得到sinAcosB=4cosAsinB，再利用弦化切的方法即可求的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，结合角A，B，C为△ABC的内角，我们易得tanA=4tanB＞0，则tan（A﹣B）可化为，再结合基本不等式即可得到tan（A﹣B）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，，
由正弦定理得
即sinAcosB=4cosAsinB，
则；
（Ⅱ）由得
tanA=4tanB＞0
当且仅当时，等号成立，
故当时，
tan（A﹣B）的最大值为．
18．（12分）（•全国卷Ⅰ）四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，，AB=AC．
（Ⅰ）证明：AD⊥CE；
（Ⅱ）设CE与平面ABE所成的角为45°，求二面角C﹣AD﹣E的大小．
【分析】（1）取BC中点F，证明CE⊥面ADF，通过证明线面垂直来达到证明线线垂直的目的．
（2）在面AED内过点E作AD的垂线，垂足为G，由（1）知，CE⊥AD，则∠CGE即为所求二面角的平面角，△CGE中，使用余弦定理求出此角的大小．
【解答】解：（1）取BC中点F，连接DF交CE于点O，
∵AB=AC，∴AF⊥BC．
又面ABC⊥面BCDE，∴AF⊥面BCDE，∴AF⊥CE．
再根据，可得∠CED=∠FDC．
又∠CDE=90°，∴∠OED+∠ODE=90°，
∴∠DOE=90°，即CE⊥DF，∴CE⊥面ADF，∴CE⊥AD．
（2）在面ACD内过C点作AD的垂线，垂足为G．
∵CG⊥AD，CE⊥AD，∴AD⊥面CEG，∴EG⊥AD，
则∠CGE即为所求二面角的平面角．
作CH⊥AB，H为垂足．
∵平面ABC⊥平面BCDE，矩形BCDE中，BE⊥BC，故BE⊥平面ABC，CH⊂平面ABC，
故BE⊥CH，而AB∩BE=B，故CH⊥平面ABE，
∴∠CEH=45°为CE与平面ABE所成的角．
∵CE=，∴CH=EH=．
直角三角形CBH中，利用勾股定理求得BH===1，∴AH=AB﹣BH=AC﹣1；
直角三角形ACH中，由勾股定理求得AC2=CH2+AH2=3+（AC﹣1）2，∴AB=AC=2．
由面ABC⊥面BCDE，矩形BCDE中CD⊥CB，可得CD⊥面ABC，
故△ACD为直角三角形，AD===，
故CG===，DG==，
，又，
则，
∴，
即二面角C﹣AD﹣E的大小．
19．（12分）（•大纲版Ⅱ）已知函数f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．
（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（x）在区间（0，）上是减函数，求实数a的取值范围．
【分析】（1）求单调区间，先求导，令导函数大于等于0即可．
（2）已知f（x）在区间（0，）上是减函数，即f′（x）≤0在区间（0，）上恒成立，然后用分离参数求最值即可．
【解答】解：（Ⅰ）当a=3时，f（x）=﹣x2+3x+1﹣lnx
∴
解f′（x）＞0，
即：2x2﹣3x+1＜0
函数f（x）的单调递增区间是．
（Ⅱ）f′（x）=﹣2x+a﹣，
∵f（x）在上为减函数，
∴x∈时﹣2x+a﹣≤0恒成立．
即a≤2x+恒成立．
设，则
∵x∈时，＞4，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）在上递减，
∴g（x）＞g（）=3，
∴a≤3．
20．（12分）（•全国卷Ⅰ）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．
【分析】（1）由题意得到这两种方案的化验次数，算出在各个次数下的概率，写出化验次
数的分布列，求出方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率．
（2）根据上一问乙的化验次数的分布列，利用期望计算公式得到结果．
【解答】解：（Ⅰ）若乙验两次时，有两种可能：
①先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好一次验中概率为：
②先验三只结果为阴性，再从其它两只中验出阳性（无论第二次试验中有没有，均可以在第二次结束）
，
∴乙只用两次的概率为．
若乙验三次时，只有一种可能：
先验三只结果为阳性，再从中逐个验时，恰好二次验中概率为在三次验出时概率为
∴甲种方案的次数不少于乙种次数的概率为：
（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，
∴ξ的期望为Eξ=2×0.6+3×0.4=2.4．
22．（12分）（•全国卷Ⅰ）设函数f（x）=x﹣xlnx．数列{an}满足0＜a1＜1，an+1=f （an）．
（Ⅰ）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；
（Ⅱ）证明：an＜an+1＜1；
（Ⅲ）设b∈（a1，1），整数．证明：ak+1＞b．
【分析】（1）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数在区间（0，1）上的单调性，从而
进行证明．
（2）由题意数列{an}满足0＜a1＜1，an+1=f（an），求出an+1=an﹣anlnan，然后利用归纳法进行证明；
（3）由题意f（x）=x﹣xlnx，an+1=f（an）可得ak+1=ak﹣b﹣ak，然后进行讨论求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵f（x）=x﹣xlnx，
∴f′（x）=﹣lnx，
当x∈（0，1）时，f′（x）=﹣lnx＞0
故函数f（x）在区间（0，1）上是增函数；
（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）
（i）当n=1时，0＜a1＜1，a1lna1＜0，
a2=f（a1）=a1﹣a1lna1＞a1，
∵函数f（x）在区间（0，1）是增函数且函数f（x）在x=1处连续，
∴f（x）在区间（0，1]是增函数，
a2=f（a1）=a1﹣a1lna1＜1，即a1＜a2＜1成立，
（ⅱ）假设当x=k（k∈N+）时，ak＜ak+1＜1成立，
即0＜a1≤ak＜ak+1＜1，
那么当n=k+1时，由f（x）在区间（0，1]是增函数，0＜a1≤ak＜ak+1＜1，
得f（ak）＜f（ak+1）＜f（1），
而an+1=f（an），
则ak+1=f（ak），ak+2=f（ak+1），ak+1＜ak+2＜1，
也就是说当n=k+1时，an＜an+1＜1也成立，
根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n，an＜an+1＜1恒成立．
（Ⅲ）证明：由f（x）=x﹣xlnx，an+1=f（an）可得
ak+1=ak﹣aklnak=，
1）若存在某i≤k2，满足ai≤b3，则由（Ⅱ）知：ak+1﹣b＜ai﹣b≥04，
2）若对任意i≤k6，都有ai＞b，则ak+1=ak﹣aklnak==≥a1﹣b1﹣ka1ln=0，
即ak+1＞b成立．
21．（12分）（•全国卷Ⅰ）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已知||、||、||成等差数列，且与同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
【分析】（1）由2个向量同向，得到渐近线的夹角范围，求出离心率的范围，再用勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．
（2）利用第（1）的结论，设出双曲线的方程，将AB方程代入，运用根与系数的关系及弦长公式，求出待定系数，即可求出双曲线方程．
【解答】解：（1）设双曲线方程为，由，同向，
∴渐近线的倾斜角为（0，），
∴渐近线斜率为：，∴．
∵||、||、||成等差数列，∴|OB|+|OA|=2|AB|，
∴|AB|2=（|OB|﹣|OA|）（|OB|+|OA|）=（|OB|﹣|OA|）•2|AB|，
∴，
∴，
可得：，而在直角三角形OAB中，
注意到三角形OAF也为直角三角形，即tan∠AOB=，
而由对称性可知：OA的斜率为k=tan，
∴，∴2k2+3k﹣2=0，∴；
∴，∴，∴．
（2）由第（1）知，a=2b，可设双曲线方程为﹣=1，∴c=b．
由于AB的倾斜角为+∠AOB，故AB的斜率为tan（+∠AOB ）=﹣cot （∠AOB）=﹣2，
∴AB的直线方程为 y=﹣2（x﹣b），代入双曲线方程得：15x2﹣32bx+84b2=0，
∴x1+x2=，x1•x2=，
∴4=•=•，即16=﹣112b2，
∴b2=9，所求双曲线方程为：﹣=1．
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题统考数学理试卷
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）复数
313i
i
+=- （A ）i （B ）i - （C ）2i （D ）2i -
（2）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()23x
f x =-，则(2)f -=
（A ）1 （B ）1- （C ）
14 （D ）114
- （3）已知数列{}n a 为等差数列，若23a =，1612a a +=，则789a a a ++=
（A ）27 （B ）36 （C ）45 （D ）63
（4）已知抛物线2
4x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为
（A ）10 （B ）4 （C ）15 （D ）5 （5）给出下列四个命题：
①,sin cos 1R ααα∀∈+>-②3
,sin cos 2
R ααα∃∈+=
③1
,sin cos 2
R ααα∀∈≤
④3,sin cos 4R ααα∃∈=
其中正确命题的序号是
①②③④
（A ）①② （B ）①③ （C ）③④ （D ）②④
（6）如图是一个容量为200的样本频率分布直方图，则样本数据落在范围[13,17)的频数为
（A ）81 （B ）36 （C ）24 （D ）12
（7）已知椭圆221:
12x y C m n +=+与双曲线22
2:1x y C m n
-=共焦
点，则椭圆1C 的离心率e 的取值范围为
（A ）2(
,1) （B ）2(0,) （C ）(0,1) （D ）1
(0,)2
（8）已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组
310
30
10
x y
x y
x
-+≤
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪-≥
⎩
，则tan AOB
∠的最大
值等于
（A）1
2
（B）
3
4
（C）
4
7
（D）
9
4
（9）设函数()3cos(2)sin(2)(||)
2
f x x x
π
ϕϕϕ
=+++<，且其图象关于直线0
x=对称，则（A）()
y f x
=的最小正周期为π，且在(0,)
2
π
上为增函数
（B）()
y f x
=的最小正周期为π，且在(0,)
2
π
上为减函数
（C）()
y f x
=的最小正周期为
2
π
，且在(0,)
4
π
上为增函数
（D）()
y f x
=的最小正周期为
2
π
，且在(0,)
4
π
上为减函数
（10）某几何体的三视图入图所示，则此几何体对应直观图中△PAB的面积是
（A）7（B）2 （C）3（D）5
（11）根据如图所示程序框图，若输入2146
m=，1813
n=，则输出m的值为（A）1 （B）37 （C）148 （D）333
（12）已知函数
|21|,2
()3
,2
1
x x
f x
x
x
⎧-<
⎪
=⎨
≥
⎪-
⎩
，若方程()0
f x a
-=有三个不同的实数根，则实数a的
取值范围为
（A ）(1,3) （B ）(0,3) （C ）(0,2) （D ）(0,1)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）6
1()ax x
-的二项展开式中的常数项为160，则实数a=______．
（14）已知数列{}n a 满足1
221(*)n n a n n N -=+-∈，则数列{}n a 的前n 项和n S =_______．
（15）由曲线sin(
)2
y x π
=与3y x =在区间[0,1]上所围成的图形面积为______．
（16）在三棱柱'''ABC A B C -中，已知'AA ⊥平面ABC ，'2AB AC AA ===，23BC =，且此三棱柱的各个顶点都在一个球面上，则球的表面积为_______． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）
在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且(2)cos cos a c B b C -=． （Ⅰ）求B ；
（Ⅱ）设23b =，6a c +=，求△ABC 的面积． （18）（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，2AB =，2BC =，且侧面PAB 是正三角
形，平面PAB ⊥平面ABCD ，E 是棱PA 的中点．
（Ⅰ）求证：PD AC ⊥；
（Ⅱ）在棱PA 上是否存在一点E ，使得二面角E BD A --的大小为45︒．若存在，试求
AE AP
的值，若不存在，请说明理由． （19）（本小题满分12分）
某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中30名跳高运动员进行了测试，并用茎叶图表示出本次测试30人的跳高成绩（单位：cm ）．跳高成绩在175cm 以上（包括175cm ）定义为“合格”，成绩在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“不合格” ．鉴于乙队组队晚，跳高成绩相对较弱，为激励乙队队员，学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队．
（Ⅰ）求甲队队员跳高成绩的中位数；
（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从甲、乙两队所有的运动员中共抽取5分，则5人中“合格”与“不合格”的人数各为多少．
（Ⅲ）若从所有“合格”运动员中选取2名，用X 表示所选运动员中能参加市运动会开幕式旗林队的认输，试写出X 的分布列，并求X 的数学期望．
（20）（本小题满分12分）
已知圆C 的方程为2
2
4x y +=，过点(2,4)M 作圆C 的两条切线，切点分别为A 、B ，直线
AB 恰好经过椭圆22
22:1(0)x y T a b a b
+=>>的右顶点和上顶点．
（Ⅰ）求椭圆T 的方程；
（Ⅱ）已知直线l 与椭圆T 相交于P 、Q 两不同点，直线l 方程为3(0)y kx k =+>，O 为坐标原点，求△OPQ 面积的最大值． （21）（本小题满分12分）
已知函数1
()x
f x e x a
=+-． （Ⅰ）当1
2
a =
时，求函数()f x 在0x =处的切线方程； （Ⅱ）函数()f x 是否存在零点．若存在，求出零点的个数；若不存在，说明理由．
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． （22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
点E ，如图，AB 是O 的直径，弦BD 、CA 的延长线相交于F 为BA 延长线上一点，且BD BE BA BF =，求证： （Ⅰ）EF FB ⊥；
（Ⅱ）90DFB DBC ∠+∠=︒．
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴
建立极
坐标系，曲线C 的方程为4cos ρθ=，直线l 的方程为32212
x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 的公共点为T ．
（Ⅰ）求点T 的极坐标；
（Ⅱ）过点T 作直线'l ，'l 被曲线C 截得的线段长为2，求直线'l 的极坐标方程． （24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数()|1||3|f x x x =-++．
（Ⅰ）求x 的取值范围，使()f x 为常函数；
（Ⅱ）若关于x 的不等式()0f x a -≤有解，求实数a 的取值范围．
理科数学答案
一、选择题：ABCDC ，CABBA ，BD
二、填空题：13，2-；14，2
21n n S n =+-；15，
4
1
2
-
π
；16，20π．三、解答题： 17．【解析】：
（Ⅰ）由正弦定理得：
(2)cos cos a c B b C -=⇒(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=……………2分
即：2sin cos sin cos cos sin sin()sin A B C B C B B C A =+=+=………4分 在ABC ∆中，0sin 0A A π<<∴≠
1cos ,023
B B B π
π∴=<<∴=又，．…………………………6分
（Ⅱ）由余弦定理得：2
2
2
122cos 60()3a c ac a c ac =+-=+-……………..8分 则8ac =……………..10分
11sin 822ABC S ac B ∆∴=
=⋅= ……………..12分 18．【解析】：
取AB 中点H ，则由PA ＝PB ，得PH ⊥AB ，又平面PAB ⊥平面ABCD ，且平面PAB∩平面ABCD=AB ，所以PH ⊥平面ABCD ．以H 为原点，建立空间直角坐标系H －xyz
（如图）．则
(1,0,0),(1,0,0),(A B D C P --………..2分
（I
）证明：∵(1,2,3),(2,PD AC =-=
-
, ………..4分
∴(1,(0PD AC ⋅=⋅-=， ∴PD AC ⊥，即PD ⊥AC. ………..6分 (II) 假设在棱
PA
上存在一点
E ，不妨设
AE =λ
AP (01)λ<<，
则点E 的坐标为(1)λ-， ………..8分
∴(2,0,3),(2,2,0)BE BD λλ=-=
设(,,)n x y z =是平面EBD 的法向量，则
n BE n BD ⎧⊥⎪⎨
⊥⎪⎩00n BE n BD ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪
⎩(2)00200
x y z x y z λ⎧-+⋅+=⎪
⇒⎨+⋅=⎪
⎩z x y ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩
，
不妨取x =
EBD
的一个法向量2(3,)n λ
λ
-=--
． (10)
分
又面ABD 的法向量可以是HP ， 要使二面角EBDA 的大小等于45°，
则0
(cos 45|cos ,|(HP n
HP n HP n ⋅=<>==⋅
可解得12λ=
，即AE =1
2
AP 故在棱PA 上存在点E ，当1
2
AE AP =时，使得二面角EBDA 的大小等于45°
．……..12分 19.【解析】
（Ⅰ）中位数176178
1772
+=
=cm. ………..2分 （Ⅱ）根据茎叶图，有“合格”12人，“不合格”18人，
用分层抽样的方法，每个运动员被抽中的概率是6
1305=， 所以选中的“合格”有26
1
12=⨯人，………..4分 “不合格”有36
1
18=⨯
人．………..6分 （Ⅲ）依题意，X 的取值为0,1,2．则
28212C 2814
(=0)C 6633===P X ，
1148
212C C 3216(1)C 6633
====P X ，
24212C 63
(2)C 6633
====P X ．
因此，X的分布列如下：
………..10分
14163222
012
333333333
∴=⨯+⨯+⨯==
EX．………..12分
备注：一个概率1分，表格1分，共4分
20．【解析】
（Ⅰ）由题意：一条切线方程为：2
x=，设另一条切线方程为：4(2)
y k x
-=- ..2分2
=，解得：
3
4
k=，此时切线方程为：
35
42
y x
=+
切线方程与圆方程联立得：
68
,
5
5
x y
=-=，则直线AB的方程为2
2=
+y
x……….4分令0
=
x，解得1
=
y，∴1
=
b；令0
y=,得2
x=,∴2
=
a
故所求椭圆方程为1
4
2
2
=
+y
x
……….6分
（Ⅱ）联立2
2 1.
4
y kx
x
y
⎧=+
⎪
⎨
+=
⎪
⎩
整理得()0
8
3
8
4
12
2=
+
+
+kx
x
k，
令)
,
(
1
1
y
x
P，)
,
(
2
2
y
x
Q，则
2
2
14
1
3
8
k
k
x
x
+
-
=
+
，
2
2
14
1
8
k
x
x
+
=，
)
4
1(
32
)
3
8(2
2>
+
-
=
∆k
k，即：0
1
22>
-
k………..8分
原点到直线l
的距离为
=
d………..10分
12
|||
PQ x x
=-，
∴
12
1
||
2
OPQ
S PQ d x x
∆
=⋅=-==
=1
=≤
当且仅当k=OPQ
∆面积的最大值为1. ………..12分21．【解析】：
（Ⅰ）
1
()x
f x e
x a
=+
-
，
2
1
'()
()
x
f x e
x a
=-
-
，
2
1
'(0)1
f
a
=-．
当
1
2
a=时，'(0)3
f=-．又(0)1
f=-．………..2分
则()
f x在0
x=处的切线方程为31
y x
=--．………..4分
（Ⅱ）函数()
f x的定义域为(,)(,)
a a
-∞+∞．
当(,)
x a
∈+∞时，
1
0,0
x
e
x a
>>
-
，所以
1
()0
x
f x e
x a
=+>
-
．
即()
f x在区间(,)
a+∞上没有零点．………..6分
当(,)
x a
∈-∞时，
1()1
()
x
x
e x a
f x e
x a x a
-+
=+=
--
，
令()()1
x
g x e x a
=-+．………7分
只要讨论()
g x的零点即可．'()(1)
x
g x e x a
=-+，'(1)0
g a-=．
当(,1)
x a
∈-∞-时，'()0
g x<，()
g x是减函数；
当(1,)
x a a
∈-时，'()0
g x>，()
g x是增函数．
所以()
g x在区间(,)a
-∞最小值为1
(1)1a
g a e-
-=-．………..9分
显然，当1
a=时，(1)0
g a-=，所以1
x a
=-是()
f x的唯一的零点；
当1
a<时，1
(1)10
a
g a e-
-=->，所以()
f x没有零点；
当1
a>时，1
(1)10
a
g a e-
-=-<，所以()
f x有两个零点．………..12分22．【解析】：
（Ⅰ）证明：连接AD ，在ADB EFB ∆∆和中
BD BE BA BF ⋅=⋅BD BF
BA BE
∴
=
………..2分 又DBA EBF ∠=∠ADB ∴∆∽EFB ∆………..4分 则90EFB ADB ∠=∠=
EF FB ∴⊥………..5分
(Ⅱ)在ADB ∆中，90ADB ADE ∠=∠=
又90EFB ∠=
∴E F A D 、、、四点共圆； ………..7分
DFB AEB ∴∠=∠………..9分
又AB 是⊙O 的直径，则90ACB ∠=，
∴90DFB DBC AEB DBC ∠+∠=∠+∠=………..10分
23．【解析】：
（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为2
2
40x x y -+=． ………..2分
将212
x y t ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
代入上式并整理得2120t -+=．
解得t =T
的坐标为． ………..4分
其极坐标为(2,
)3
π
………5分
（Ⅱ）设直线l '
的方程为(1),0y k x kx y k =--+=即．
………..7分
由（Ⅰ）得曲线C 是以(2,0)为圆心的圆，且圆心到直线l '
．
=0k =
，或k =
直线l '
的方程为y =
y =． ………..9分
其极坐标方程为sin 3
π
ρθθ==
()R ρ∈．…………………………10分
B
24．【解析】：
（Ⅰ）22,3()1|3|4,3122,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪
=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩
………..4分
则当[3,1]x ∈-时，)(x f 为常函数. ………..5分 （Ⅱ）由（1）得函数()f x 的最小值为4， ………..8分 则实数a 的取值范围为4a ≥.…..10分
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题重庆市高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）
A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}
2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）
A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0
C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜0
3．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）
A．9 B．C．3 D．
4．（5分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）
A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8
5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．200 D．240
6．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x ﹣a）的两个零点分别位于区间（）
A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内
7．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）
A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．
8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）
A．k≤6B．k≤7C．k≤8D．k≤9
9．（5分）4cos50°﹣tan40°=（）
A．B．C．D．2﹣1
10．（5分）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）
A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]
二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．
11．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=．
12．（5分）已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=．
13．（5分）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是（用数字作答）．
14，15，16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分：14．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为．
15．（5分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则
|AB|=．
16．若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．
（1）确定a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．
18．（13分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
奖级摸出红、蓝球个数获奖金额
一等奖3红1蓝200元
二等奖3红0蓝50元。