D37曲率4589216页PPT

M(x,y)
DMR 1
o
x
K
把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的
曲率圆 ( 密切圆 ) , R 叫做曲率半径, D 叫做曲率中心.
在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:
(1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .
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设曲线方程为
且
求曲线上点M 处的
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例2. 求椭圆
在何处曲率最大?
解: x asitn ; y bcot;s
x a ctos x表示对参
y bsitn
数t 的导数
故曲率为
K
xy xy (x2 y2)32
ab (a2si2tnb2co 2t)s 32
K 最大
f(t)a2si2tn b2co 2t最s小
求驻点: f(t) 2 a 2 sticn to 2 b s cto stis n (a2b2)si2nt
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f(t)(a2b2)si2n t
令 f(t)0,得t0, , , 3 , 2
2
2
计算驻点处的函数值:
t 02
3
22Leabharlann f (t) b 2 a 2 b 2 a 2 b 2
曲率半径及曲率中心
的坐标公式 .
设点M 处的曲率圆方程为 y
D(,)
故曲率半径公式为
R 1 (1 y2)32
K
y
R
T
C
M(x,y)
o
x
, 满足方程组
(x )2 (y )2R 2 (M(x,y)在曲率圆)上
y
x y
(DM M)T
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由此可得曲率中心公式
二、曲率及其计算公式
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线
转角为 , 定义
弧段 s上的平均曲率
K
s 点 M 处的曲率
K lim d
s0 s d s
M M s
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
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例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
K d
ds
又 故曲率计算公式为
y K (1 y2)32
当y 1时 ,有曲率近似计算公式 K y
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说明:
(1)
若曲线由参数方程
x y
x(t) y(t)
给出, 则
K
(
xy xy x2 y2)32
(2) 若曲线方程为 x(y),则
x K (1 x2)32
y K (1 y2)32
曲率中心
x y(1 y2)
y
y 1 y2
y
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作业
P177 1 ； 3 ；
第八节 目录 上页 下页 返回 结束
谢谢！
xiexie!
谢谢！
xiexie!
一、 弧微分
设
在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,
弧长 sAM s(x)
s MMM M x MM x
M M (x)2 (y)2
MM
x
y
yf(x) M
B
A M y
x
oa x bx
xx
M M 1 (y)2
MM
x
s(x)lims 1(y)2 x0x
limMM 1 x0 MM
解: 如图所示 ,
sR
K lim 1
s0 s R
M
s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
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曲率K 的计算公式
设曲线弧 yf(x)二阶可导, 则由
tany (设)
22
得 arcytan
d(arcyt)d axn
x y(1 y2)
y
y 1 y2
y
y
D(, )
C
R
T
M(x, y)
o
x
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例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?
解: 设椭圆方程为
由例2可知, 椭圆在
处曲率最大 ,
即曲率半径最小, 且为
R (a2si2tnb2co 2t)s32
ab
t 0
y
o
x
显然, 砂轮半径不超过 时, 才不会产生过量磨损 , 或有的地方磨不到的问题.
例3 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 弧长微分 ds 1y2dx 或 ds(d x)2(d y)2
2. 曲率公式
K d ds
y
(1
y2
)
3 2
3. 曲率圆 曲率半径
R
1 K
(1
y2 )32 y
设0ba,则 t0,,2时
y
b
f (t)取最小值, 从而 K 取最大值 .
这说明椭圆在点(a,0) 处曲率 a
最大.
b
ax
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三、 曲率圆与曲率半径
设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 y
D(,)
M 处作曲线的切线和法线, 在曲线 的凹向一侧法线上取点 D 使
CR
T
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ds1(y)2dx 或 ds(d x)2(d y)2
若曲线由参数方程表示:
x
y
x(t) y(t)
则弧长微分公式为 ds x 2y 2dt
y
几何意义: ds M T
dx cos ; dy sin
ds
ds
T
M dy
dx
o xxdx x
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