最大特征值及其特征向量的应用

高代小论文题目：最大特征值及其特征向量的应用制作人：…….
授课教师：…….
目录
摘要 (1)
关键词 (1)
正文 (1)
1.计算步骤： (2)
第一步数据标准化； (2)
第二步求相关矩阵， (3)
第三步求相关矩阵R的最大特征值和特征向量v (4)
第四步计算 (4)
2 选拔与组队问题 (4)
2．1问题 (4)
2.2选择队员 (5)
2.3组队方案 (8)
2.4 方案评价 (12)
参考文献： (16)
摘要
矩阵的最大特征值及其特征向量反映矩阵的主要信息文章通过建模实例介绍了最大特征值及其特征向量的应用针对反映一组学生的各种能力的数据, 进行统计分析处理, 借助主成分分析法的思想, 用矩阵的最大特征值及其所属的特征向量的分量的大小顺序, 给出这组学生按综合能力由强到弱的排序, 并用数值方法, 时各种组队方案的合理性进行讨论
关键词
最大特征值特征向量
正文
主成分分析法是统计分析中一种重要的方法, 它的主要特点在于能探究观测不了或难以观测的问题
本文针对反映一组学生的各种能力的数据, 进行统计分析处理, 借
助主成分分析法的思想, 用矩阵的最
大特征值及其所属的特征向量的分量的大小顺序, 给出这组学生按综合能力由强到弱的排序, 并用
数值方法, 对各种组队方案的合理性进行讨论 1. 计算步骤：
设m n ⨯矩阵11121212221
2
n n m m mn x x x x x x X x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪
⎪⎝⎭
，表示一组数据, 其中ij x 表示第i 个学生的第j 种能力的量化指标，我们做如
下数据处理：
第一步 数据标准化；
令
1
1
,1,2,,m
j ij i x x j n
m ===∑ （1）
j s = (2)
,1,2,3,1,2,i j ij j
x x z i m j n s -=
== (3)
得到标准化矩阵：
11121212221
2
z z n n m m mn z z z z Z z z z ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪
⎪
⎝⎭
第二步 求相关矩阵，
令
1112
1212221
2r n n m m mn r r r r r R r r r ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪
⎝⎭
，
其中
1
1()()1
m
ij j ik k i jk x x x x m r m =--=-∑， J ，k=1,2，…n 由此可见
'11
R Z Z
m =-
（4）
第三步求相关矩阵R的最大特征值和特征向量v
第四步计算
F=ZV (5) 并根据F的分量大小排序。

2 选拔与组队问题
2．1问题
在一年一度的美国MCM和全国大学生数学建模竞赛活动中。

任何
一个参赛院校都会遇到如何选拔最优秀的队员和科学合理地组队问
题．
现假设有20名队员准备参加竞赛，根据队员的能力和水平要选
出18名优秀队员分别组成6个队，每个队3名队员去参加比赛．选择队
员主要考虑的条件依次为有关学科成绩(平均成绩)、智力水平(反映
思维能力、分析问题和解决问题的能力等)、动手能力(计算机的使用
和其它方面实际操作能力)、写作能力、外语水平、协作能力(团结协
作能力)和其它特长．每个队员的基本条件量化后如下表(表1)：
假设所有队员接受了同样的培训，外部环境相同，竞赛中不考虑其它随机因素的影响。

竞赛水平的发挥只取决于上表中所给的各项条件，且参赛队员都能正常发挥自己的水平．我们将用上述方法。

解决如下问题：
1)在20名队员中选择18名优秀队员参加竞赛： 2)确定一个最佳的组队使竞赛技术水平最高；
3)给出由18名队员组成6个队的组队方案，使整体竞赛技术水平最高，并给出每个队的竞赛技术水平． 2.2选择队员
首先构造矩阵
8.68.28.08.69.29.27.07.78.39.09.69.58.69.19.38.48.77.89.08.89.08.88.68.98.49.29.68.08.28.18.29.19.68.38.78.48.08.38.18.88.28.18.58.29.09.88.48.68.08.18.38.28.88.69.49.29.69.58.38.58.0 6.58.59.57.77.T X =97.2 6.2 6.56.97.89.98.18.18.48.89.29.17.67.97.97.79.29.78.69.09.18.79.68.59.08.79.09.08.88.68.48.79.07,.79.59.19.69.79.29.09.79.39.49.59.79.39.09.49.59.19.29.69.09.06.0 2.08.08.09.0 6.09.0 6.05.0 4.05.0 6.07.05.05.0 6.07.08.09.0 6.0⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
表一：学生素质评价表
有公式（2）计算X的每列的方差得向量
(0.6602,0.4898,0.5594,1.0206,0.5346,0.2439,1.8144)
s
根据公式（3）计算得矩阵
0.04540.77040.83130.0049 1.58070.6151
0.19290.65130.3702 1.0100 1.4649 1.9548 1.0251 2.39750.95420.03000.29500.49480.8512 1.02510.90940.04540.57030.6525 1.5727 1.7865 1.43520.90940.25750.43020z -----------------=.29500.28910.27120.6151 1.46050.8633 1.17060.83130.09310.4770 1.43520.19290.8633 1.9709
0.59890.7790
0.6641
0.6151
1.4605
2.4689 1.2306 2.0290 1.75880.0842 1.43520.19291.40860.83040.4737 1.4649 1.5------------------9940.20500.74400.4998 1.03050.1162 1.07290.45830.2050 1.29520.56040.8304 1.18880.19110.44700.61510.74401.46920.9705 1.0100 1.86660.0842 1.43520.19291.3177 1.97090.65250.10290.47700.20500.3582-----------------0.04540.63030.83130.10290.4770 1.43520.74400.71190.17010.24130.39680.10290.20500.74401.01480.43020.11620.78880.2712
0.6151
0.19290.3484 1.2306 1.3139 1.18070.6454 1.02510.35820.10600.63030.9564-------------- 1.0827
0.08420.6151
0.90941.2572 1.0305 1.67150.38700.4770 1.0251 1.46050.5604
0.3702
1.4927
0.0931 1.9548 1.4352
0.1929⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎪-- ⎪ ⎪
---
⎪
----⎝⎭
其次，有公式（4）得到相关矩阵
1.0000
0.64140.42640.5533
0.07260.23540.07430.6414 1.00000.37270.17760.01110.12310.13900.42600.3727 1.00000.14510.16340.00190.38090.55330.1776
0.1451 1.00000.14320.18080.35910.07260.01110.1634R ---------=---0.1432 1.00000.32900.39530.23540.12310.00190.18080.3290 1.00000.18440.07430.13900.38900.35910.39530.1844 1.0000⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪
-- ⎪ ⎪⎝⎭
由数学软件matlab 可得， R 的最大特征值为2.2354，相应的特征向量为：
()
'
0.60860.51610.39160.42840.09130.06330.1182V =--
最后，根据公式（5）的向量
0.49150.83430.1484 1.37570.1132 1.5268 1.2466 3.8070 1.6568 1.45810.2128 2.4689 2.21760.06310.50500.69250.80750.0327 1.96600.2027T F ----⎛⎫
= ⎪
----⎝⎭
去掉F 的最小分量对应的学生I 和次小分量对应的学生H ，剩下18
名同学参赛。

2.3组队方案
根据剩下的18名学生的数据，构造新矩阵
18.68.28.08.69.29.27.07.78.39.09.69.58.69.19.38.48.77.89.08.89.08.88.68.98.49.29.68.08.28.18.29.19.68.38.78.48.08.38.18.88.28.18.58.29.09.88.48.68.08.18.38.28.88.69.49.29.69.58.38.58.0
6.58.59.5
7.77T
X =.97.2 6.2 6.5 6.97.89.98.18.18.48.89.29.17.67.97.97.79.29.78.69.09.18.79.68.59.08.79.09.08.88.68.48.79.07,.79.59.19.69.79.29.09.79.39.49.59.79.39.09.49.59.19.29.69.09.06.0 2.08.08.09.0 6.09.0 6.0 5.0 4.0 5.0 6.07.0 5.0 5.0 6.07.08.09.0 6.0⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
重复以上计算过程可得标准化矩阵
10.32040.66170.76650.11970.14840.78600.1234
1.08490.25100.9854 1.6589 1.84030.9289
2.3450 1.4738 1.15970.10950.39340.8311 1.21470.9874 0.32040.45640.5475 1.5221 1.7251 1.64340.9874 0.06410.57040
Z
-----
-----
---
--
-
=
.10950.42760.23750.5002 1.5428
0.8330 1.07240.76650.22230.4749 1.35760.1234
0.8330 1.89390.98540.94060.65300.5002 1.5428
2.05060.98120.3285 1.6589 1.54350.07150.6788
0.8971 1.18560.0195 1.24850.
---
----
--
------
----41550.3573 1.2342
0.44860.9812 1.20440.32940.47490.78600.6788
1.60200.86710.9854 1.82990.0549 1.63430.1234
1.4098 1.89390.54750.01710.47490.07150.4320
0.32040.77580.76650.01710.4749 1.35760.678
-
----
---
---
------8
0.64080.04560.54750.29070.11870.35730.6788
1.02530.57040.10950.70120.23750.78600.1234
0.7049 1.3919 1.8614 1.11160.59360.92890.4320
0.12820.7758 1.4234 1.00900.05940.50020.9874
0.44860.2510 2.0804
-
-------
----
-0.2223 1.8403 1.35760.1234⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
--
⎝⎭
和相关矩阵
11.00000.56590.01980.4.960.06440.06790.2282 0.5659 1.00000.17720.03430.03730.05010.2475 0.01980.1772 1.00000.14340.26150.38380.3577 0.40960.03430.1434 1.00000.16450.42830.4470 0.06440.03730.2615
R
---
--
---
=-
--0.1645 1.00000.34130.3821
0.06790.05010.38380.42830.3413 1.00000.1307
0.22820.24750.35770.44700.38210.1307 1.0000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--
⎪ ⎪⎝⎭
1
R的最大特征值为2.2013，相应的特征向量为
() 1
0.42300.34150.04850.49700.31960.37200.4633' V=-
11
10.17103.17190.69772.42230.07790.23491.22131.85881.98220.11872.46621.58651.03950.26090.74140.64640.36571.0863A B C D E F G I J
F Z V K L M N O P Q R T -⎛⎫⎛ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪== ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭
根据1F 的分量由大到小排列，相应的学生由好到坏排列为： L,D,M,G,P,C,R,O,F,E,K,A,Q,N,T,I,J,B.
由此排序，我们得到参赛水平最高的一队是由L,D,M 组成。

为了六个队的整体参赛水平最佳，希望各队的平均水平接近总体平均水平。

所以，各队的成员应强弱搭配，以提高各队的平均水平。

因此，我们构造了下面三种组队方案： 第一种组队方案：
第二种组队方案：
第三种组队方案：
下面给出另一种排序的得到的组队方案，
根据以上计算的
F，再根据1F的分量由大到小排列，取前三名学
1
生L,M,D；去掉这三名，根据剩下15名学生的数据构造矩阵，重新
计算
F，再根据1F的分量由大到小排列，取前三名R,G,T；如此继续1
下去可得下列有好到坏的排序：
L,M,D;R,G,T;Q,P,C;F,O,E;A,K,N;B,J,I.
由此排序，我们得到参赛水平最高的一个队还是由L,D,M组成
同理，我们构造以下面两种组队方案：
第四种组队：
第五种组队：
2.4 方案评价
下面对以上给出的五种组队方案进行评价。

根据各种能力在数学建模中的作用，我们确定他们的权重向量V=（0.30，0.25,0.10,0.15,0.06,0.10，0.04），
并计算这18个学生的平均水平值P=XV’=0.6016.
一般说，各队平均水平值越靠近总体水平值，组队方案的整体水平越高。

1）对于第一种组队方案，分别构造各队的矩阵；
9.69.18.19.98.79.7 6.018.69.08.28.07.99.5 6.08.48.09.49.28.49.17.08.68.98.39.69.79.78.029.08.28.07.89.09.5 5.08.68.38.28.19.09.0 5.09.59.68.38.19.09.37.038.88.48.57.78.69.2DUI DUI DUI ⎛⎫ ⎪
= ⎪
⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪
= ⎪
⎪⎝⎭=9.09.08.89.57.97.79.0 6.09.29.69.07.29.19.29.049.29.28.27.99.09.0 6.07.78.28.4 6.59.69.3 5.09.38.48.68.88.69.5 6.059.1
8.78.88.48.89.4 5.08.38.18.6 6.98.59.4 4.08.08.6DUI DUI DUI ⎛⎫ ⎪
⎪
⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪
= ⎪
⎪⎝⎭⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭=68.58.59.29.68.08.7
8.39.29.18.79.28.08.28.8
8.1
6.5
7.7
9.1
2.0⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭
再分别计算上述各队的均值，得到向量：
DUI1JZ=(8.8667,8.7000,8,5667,9,0333,8,3333,9,4333,6,3333); DUI2JZ=(8.7333,8.4667,8.1667,8.5000,9.2333,9.4000,6.0000); DUI3JZ=(9.1000,8.9333,8.7667,7.9000,8.4333,9.1667,7.3333); DUI4JZ=(8.7999,9.0000,8.5333,7.2000,9.2333,9.1667,6.6667); DUI5JZ=(8.9000,8.4000,8.6667,8.0333,8.6333,9.4333,5.0000); DUI6JZ=(8.3000,8.5667,8.6000,8.0333,8.5333,9.3000,6.0000); 令
8.86678.70008.56679.03338.33339.4333 6.33338.73338.46678.16678.50009.23339.4000 6.00009.1000
8.93338.76677.90008.43339.16677.33338.70009.00008.53337.20009.23339.1667 6.66678.90008.40008.66678.03338.DUIJZ =63339.4333 5.00008.30008.56678.60008.03338.53339.3000 6.0000⎛⎫
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪ ⎪
⎪
⎪⎝⎭
则
各
队
的
水
平
值
：
PJ=DUJZ ⨯V ’=(8.7633,8.5947,8.7520,8,.5563,8.5393,8.4040)’
计算各队水平值与总体水平均值的方差
：
0.1370= 2)对于第二种组队方案，类似可计算出各队的水平值：
（8.6340,8.5933,8.6350,8.7193,8.5407,8.5333） 和各队水平值与总体水平平均值的方差：0.0699. 3)对于第四种组队方案，同理可计算出各队的水平值：
（8.6370,8.5933,8.5187,8.5523,8.7397,8.5687）
和各队水平值与总体水平均值的方差：0．0785．由上述计算得到，就整体水平而言 第二种组队方案比第四种组队方案好。

第四种组队方案比第一种组队方案好．
对于实际组队参赛，希望每队的水平由好到差，因为好的队可以得到好的奖项。

因此我们下面对第三种组队方案和第五种组队方案给出评价．
4)对于第三种组队方案，我们同样可计算出各队的水平值：
(9．0793，8．7627，8．7550，8．5067，8．5240，7．9820) 和各队水平值与总体水平均值的方差：0．3679．由此可见，这种组队方案不是由强到弱，整体水平较低．
对换4队的E 与5队的T 得到第六种组队方案：
队2队3队4队5队6队
1
L G R T Q I
D P O K N J
M C F A E B
计算第六种组队方案的各队的水平值：
(9．0793，8．7627，8．7550，8．5457，8．4850，7．9820) 和各队水平值与总体水平均值的方差：0．3683．
由此可见，这种组队方案是由强到弱。

但整体水平进一步降低．5)对于第五种组队方案，同理可计算各队的水平值：
(9．0793，8．7867，8．6230，8．6877，8．4510，7．9820) 和各队水平值与总体水平均值的方差：0．3679．由此可见，这种组队方案不是由强到弱，整体水平也较低．
对换4队的F与3队的C得到第七种组队方案
1
队2队3队4队5队6队
L R Q C A B
D G P O K J
M T F E N I
计算第七种组队方案的各队的水平值：
(9．0793，8．7867，8．7083，8．6023，8．4510，7．9820) 和各队水平值与总体水平均值的方差：0．3689．
由此可见，这种组队方案是由强到弱，整体水平也进一步降低．实际组队参加建模比赛．第七种组队方案比第六种组队方案更好．
参考文献：
[1]阮小青，周义仓．数学建模引论[M]．北京:高等教育出版社，2005，
[2]白峰杉．数值计算引论[M]．北京:高等教育出版社，2005．
[3]余锦华，杨维权．多元统计分析与应用[M]．广州：中山大学出版社，2005．。