用函数的观点看一元二次方程教学设计

26.2用函数的观点看一元二次方程教学设计
教学目标：
知识与技能
1．总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．2．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
过程与方法
经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．
情感态度价值观
通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想．
教学重点和难点
重点:方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
难点:二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.
教学过程设计
一、谈话导入，引入新知
同学们，我们在八年级学过一次函数，知道一次函数与一元一次方程和二元一次方程组有着密切的联系，请同学们想一想二次函数会与什么知识联系密切？对，二次函数与一元二次方程联系密切，这一节课我们重点来探讨二次函数与一元二次方程的关系。

（板书课题）
导入意图：解一元一次方程kx+b=0(k≠0)可以转化为当一次函数：y=kx+b(k≠0)函数值为0时,求相应的自变量的值.从图象上看,相当于已知直线y=kx+b的图象,确定它与x轴交点的横坐标.通过谈话，既复习已学知识，为今天的学习提供方法，又降低了新授课的难度，同时又渗透了类比学习的思想。

二、合作探究，解决问题
问题1：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系
h＝20t-5t2. 考虑以下问题
（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
师生活动：
1、学生先独立思考，再小组合作交流，教师巡视指导，重点关注学生能否把h的不同值代入解析式转化成求一元二次方程的解。

2、学生代表展示解题思路和分析过程，教师简单点评。

分析：由于球的飞行高度h 与飞行时间t 的关系是二次函数 ：h=20t －5t 2.. 所以可以将问题中h 的值代入函数解析式，得到关于t 的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h 的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h 的值.
解：（1）解方程 15＝20t-5t 2.. t2-4t ＋3=0. t1＝1,t2＝3.
当球飞行1s 和3s 时，它的高度为15m.
（2）解方程 20＝20t －5t 2. t2－4t ＋4＝0. t1＝t2＝2.
当球飞行2s 时，它的高度为20m.
（3）解方程 20.5＝20t －5t 2. t2－4t ＋4.1＝0.
因为（－4）2－4×4.1<0.所以方程无解.球的飞行高度达不到20.5m.
（4）解方程 0＝20t －5t 2. t2－4t ＝0. t1＝0,t2＝4.
当球飞行0s 和4s 时，它的高度为0m ，即0s 时球从地面飞出.4s 时球落回地面.
播放课件：函数的图像，画出二次函数h=20t －5t2的图象，观察图象，体会以上问题的答案.
3、追问：从上面可以看出.二次函数与一元二次方程关系密切.那么二次函数与一元二次方程的解有什么关系？
4、学生小组讨论，师生共同总结出：从函数解析式看，就是已知函数值求自变量的值，从函数的图像看，就是求直线y ＝h （h ≥0）与抛物线的公共点的横坐标。

即函数2y ax bx c =++,当函数值y 为某一确定值m 时,对应自变量x 的值就是方程2ax bx c m ++=的根，反之亦然。

5、教师举例阐述：例如：已知二次函数y ＝－x 2＋4x 的值为3.求自变量x 的值.可以解一元二次方程－x 2＋4x ＝3（即x2－4x ＋3＝0） .反过来，解方程x 2－4x ＋3＝0又可以看作已知二次函数y ＝x 2－4＋3的值为0，求自变量x 的值.
6、即时应用：（参考学案）
设计意图：通过问题1的探讨，让学生结合实际问题让学生很好的体会二次函数与一元二次方程关系，理解二次函数与实际生活联系紧密，激发学生的学习兴趣，初步体会数形结合的数学思想。

一般地，我们可以结合二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴的交点情况深入讨论一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况.
问题2
二次函数（1）y ＝x 2＋x －2；
（2） y ＝x 2－6x ＋9；
（3） y ＝x 2－x ＋0.
的图象如图26.2－2-3所示.
思考：
（1）以上二次函数的图象与x 轴有公共点吗？如果有，
公共点的横坐标是多少？
（2）当x 取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的
一元二次方程的根吗？
师生活动：
1、学生观察以上二次函数的图象，由图像展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题.
可以看出：
（1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1.当x 取公共点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2＋x－2=0的根是－2,1. （2）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2－6x＋9=0有两个相等的实数根3.
（3）抛物线y＝x2x2－x＋1与x轴没有公共点，由此可知方程x2－x＋1=0没有实数根.
2、总结：一般地，如果二次函数y=的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程=0的根.
3、归纳总结，知识升华
一般地，从二次函数y＝a x2＋bx＋c的图象可知，
（1）如果抛物线y＝a x2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程a x2＋bx＋c＝0的一个根.
（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.（教师列表板演）
4、即时应用：（参考学案）
设计意图：通过问题2，让学生理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，进一步体会数形结合的思想。

教师重点关注学生能否把交点的横坐标与对应方程的解联系起来，以及在小组活动中学生表现出来的合作精神和交流能力。

问题3、一元二次方程的根的近似求法
由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根.由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的.
例题：利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）.
1、学生出示课前准备的图像观察抛物线与x轴交点的横坐标：
2、展示结论解：作y＝x2－2x－2的图象（图26.2－3），
解：作y＝x2－2x－2的图象（图26.2－3），
它与x轴的公共点的横坐标大约是－0.7,2.7.
所以方程x2－2x－2＝0的实数根为x1≈－0.7,x2≈2.7.
3、播放课件：函数的图象与求解一元二次方程的解，前一个课件用来画图，可根据图像估计出方程x2－2x－2＝0实数根的近似解，后一个课件可以准确的求出方程的解，体会其中的差异.
4、阅读课本19页，自学用取平均数的方法缩小根所在的范围，组内交流
5、即时应用：（参考学案）
设计意图：通过本环节学习，让学生学会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 在这一过程中，关注学生对于方程根的估算过程。

三、运用新知，拓展提高
题目参考学案，学生在独立练习的过程中，加深对二次函数与一元二次方程关系的理解应用。

四、归纳小结，布置作业
这节课你有哪些收获？（知识、方法、思想）
设计意图：加深学生对知识的理解运用，促进对学生对知识的巩固、提高和反思。

使各层次的学生得到不同的发展。