吉林省延边州2020届高考数学模拟试卷2(4月份) (含答案解析)

吉林省延边州2020届高考数学模拟试卷2（4月份）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 设集合U ={1,2，3，4，5，6}，A ={1,2，4，6}，B ={2,3，5}，则图中阴影部分表示的集合
为( )
A. {2}
B. {3,5}
C. {1,4，6}
D. {3,5，7，8}
2. 已知复数z =5i
3−4i ，则z 的实部为( )
A. −4
5 B. 4
5 C. −3
5 D. 3
5 3. 已知向量a ⃗ =(2,3)，b ⃗ =(k,−1)，a ⃗ ⊥b
⃗ ，则k =( ) A. 3
2 B. −3
2 C. 2
3 D. −2
3 4. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1+a 10−a 5=6，则S 11=( )
A. 55
B. 66
C. 110
D. 132
5. 要得到函数y =sin (4x −π3)的图象，只需将函数y =sin 4x 的图象( )
A. 向左平移π
12个单位 B. 向右平移π
12个单位 C. 向左平移π
3个单位 D. 向右平移π
3个单位 6. 命题“∀x ∈[1,2]，x 2−a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A. a ≥4
B. a ≤4
C. a ≥5
D. a ≤5
7. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是线段AB 1，BC 1的中点，以
下结论：①AA 1丄MN ；②MN 与AC 异面；③MN 丄面BDD 1B 1；其中正确的是( )
A. ①
B. ①②
C. ①③
D. ②③ 8. 已知圆C ：x 2+y 2+mx −4=0上存在两点关于直线x −y +3=0对称，则实数m 的值为( )
A. 8
B. −4
C. 6
D. 无法确定
9. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大
于2的偶数可以表示为两个素数(注：素数又叫质数)的和”，如30=7+23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )
A. 1
12
B. 1
14
C. 1
15
D. 1
18
10. 若双曲线
x 2a 2
−y 2
16=1(a >0)的焦点为F 1(−5,0)，F 2(5,0)，则双曲线的离心率为( )
A. 4
3
B. 5
3
C. 2
D. √2
11. 已知PC 为球O 的直径，A ，B 是球面上两点，且AB =6，∠APC =∠BPC =π
4，若球O 的表面
积为64π，则棱锥A −PBC 的体积为 ( )
A. 8√7
B. 24√7
C. 4√3
3 D. 2√215
12. 已知函数f(x)={|log 2x|,0<x ≤4
x 2−12x +34,x >4
，若方程f(x)=t(t ∈R)有四个不同的实数根a ，
b ，
c ，
d ，则abcd 的取值范围是( )
A. (30,32)
B. (32,34)
C. (32,36)
D. (30,36)
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知(1+x)(1−ax)2018的展开式中含x 项的系数为2019，则实数a =_________． 14. 已知等比数列{a n }中，a 3=2，a 4a 6=16，则
a 10−a 12a 6−a 8
的值为___________．
15. 若函数f(x)=ln x −1
2ax 2−2x 存在单调减区间，则实数a 的取值范围为_______． 16. 下列命题成立的是______ . (写出所有正确命题的序号)．
①a ，bc ∈R ，a 2+b 2+c 2≥ab +bc +ac ； ②当x >0时，函数f(x)=1x 2
+2x ≥2√
1x 2
⋅2x =2√2
x
，∴当且仅当x 2=2x 即x =2时f(x)取最
小值； ③当x >1时，
x 2−x+4x−1
≥5；
④当x >0时，x +1
x +1
x+1x
的最小值为5
2．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 已知△ABC 的内切圆面积为π，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(2b −c)cosA =acosC ．
(1)求角A ；
(2)当AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值最小时，求△ABC 的面积．
18.如图，四棱锥P−ABCD的底面是平行四边形，BA=BD=√2，AD=2，PA=PD=√5，E，
F分别是棱AD，PC的中点．
(Ⅰ)证明AD⊥平面PBE；
(Ⅱ)若二面角P−AD−B为60°，求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．
19.为了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度，某部门从年龄在15岁到65岁的人群中随机调查
了100人，将这100人的年龄数据分成5组：[15,25)，[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65]，整理得到如图所示的频率分布直方图．在这100人中不支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：
(2)由频率分布直方图，若在年龄为[25,35)，[35,45)，[45,55)的三组内用分层抽样的方法抽取
12人做问卷调查，求年龄在[35,45)组内抽取的人数；
(3)根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，据此表，能否在犯错误的概率不超过5%的前提
下，认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的不支持态度存在差异？
，其中n=a+b+c+d．
附：K2=
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
参考数据：
20.已知函数f(x)=ax2−(a+2)x+lnx．
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)若对任意x1，x2∈(0,+∞)，x1<x2，且f(x1)+2x1<f(x2)+2x2恒成立，求a的取值范围．
21. 已知椭圆
x 2a
2+
y 2b 2
=1(a >b >0),c =1，直线x −y +1=0与椭圆交于C,D 两点，弦CD 的中点
E(−47,3
7)
(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，过F 2作直线l 交椭圆于A 、B 两点.是否在x 轴上存在点M(m,0)，使得x 轴平分∠AMB ？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线C 1:x +y −4=0，曲线
为参数)，以坐
标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1,C 2的极坐标方程；
(2)若曲线C 3的极坐标方程为θ=α(ρ>0,0<α<π
2)，且曲线C 3分别交C 1,C 2于点A ，B 两点，
求|OB|
|OA|的最大值．
23. 已知函数f(x)=|x +m|+|2x −1|．
(1)当m =1时，解不等式f(x)≥3；
(2)若m <1
4，且当x ∈[m,2m]时，不等式1
2f(x)≤|x +1|恒成立，求实数m 的取值范围．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：B
解析：
本题考查的知识点是Venn图表达集合的关系及运算，其中正确理解阴影部分元素满足的性质是解答本题的关键.由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(C U A)∩B，根据集合的运算求解即可．
解：由韦恩图可知阴影部分表示的集合为(C U A)∩B，
∵全集U={1,2，3，4，5，6}，B={2,3，5}，
∴C U A={3,5}，
又∵集合A={1,2，4，6}，
∴(C U A)∩B={3,5}．
故选B．
2.答案：A
解析：
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
解：∵z=5i
3−4i =5i(3+4i)
(3−4i)(3+4i)
=−4
5
+3
5
i，
∴z的实部为−4
5
．
故选：A．
3.答案：A
解析：
本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．利用a⃗⊥b⃗ ⇔a⃗⋅b⃗ =0，即可得出．
解：∵a⃗⊥b⃗ ，
∴a⃗⋅b⃗ =0，
∴2k−3=0，
解得k=3
2
．
故选：A．
4.答案：B
解析：
本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，是基础题．
设等差数列{a n}的公差为d，由题意可得a6=6，由等差数列{a n}的前n项和公式计算即可得答案．解：设等差数列{a n}的公差为d，
由a1+a10−a5=6，得：a1+5d=6，
∴a6=6，
则S11=11(a1+a11)
2
=11a6=66．
故选B．
5.答案：B
解析：
本题考查三角函数图像平移变换．
sin 4(x−π
12+π
12
)=sin4x，
故选B．
6.答案：C
解析：
本题考查找命题一个充分不必要条件，还涉及恒成立问题，属基础题．
本题先要找出命题为真命题的充要条件{a|a≥4}，从集合的角度充分不必要条件应为{a|a≥4}的真子集，由选择项不难得出答案．
解：命题“∀x∈[1,2]，x2−a≤0”为真命题，可化为∀x∈[1,2]，a≥x2，恒成立，
即只需a≥(x2)max=4，即“∀x∈[1,2]，x2−a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，
而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意．
故选：C．
7.答案：C
解析：解：连接B1C，BD，B1D1，
由MN为△ACB1的中位线可得MN//AC，故②错误；
由AA1⊥平面AC，可得AA1⊥AC，
即有AA1⊥MN，故①正确；
由BD⊥AC，AC⊥B1B，可得AC⊥平面BDD1B1，。