江苏连云港新海高级中学21-22学度高二下期中考试-数学(理)

江苏连云港新海高级中学21-22学度高二下期中考试-数学（理）
一 、填空题(本大题共14小题,每小题5分，共70分,请把答案直截了当填在答题纸的相应位置上)
1.复数(2-3i)i (i 是虚数单位)的虚部是 ▲
2.抛物线
26x y =的焦点坐标是 ▲ .
3．用反证法证明命题“假如x<y ，那么5
1x
>
5
1y
”时，假设的内容应该是 ▲ ．
4.若关于y x ,的方程1322
2
=-++k
y k x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范畴为 ▲ 5.函数)(x f y =在某一点处的导数值为0是函数)(x f y =在这点处取极值的___▲_条件。

（填：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件） 6．若点000
(,)P x y 在椭圆2
222
1(0)x y a b a b +=>>外，过点0
P 作该椭圆的两条切线的切点分别为12,P P ，则切点弦12
PP 所在直线的方程为00221x x y y
a b
+=．那么关于双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x ，类似地，能够得到一个正确的命题为“若点000
(,)P x y 不在双曲线)0,0(12222
>>=-b a b
y a x 上，过点0P 作该双曲线的两条切线的切点分别为12
,P P ，则切点弦12
PP 所在直线的方程为 ▲ ”．
7.某天上午要排语文、数学、体育、运算机四节课,其中体育不排在第一节,那么这天上午课程表的不同排法共有种 ▲ 8.ABC ∆中，若B=30 ，AB=23，AC=2，则ABC ∆的面积为___▲___________
9.设,x y 满足约束条件
1
2x y y x y +≤⎧⎪
≤⎨⎪≥-⎩
,则3z x y =+的最大值为 ▲
10.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道如此的题目：把120个
面包分给5个人，使每个人所得的面包数成等差数列，且使较多的三份面包数之和的7
1是
较少两份面包数之和，问最少的1份面包数为 ▲ 11. 若椭圆
3)0(12
222a b a b y a x 上横坐标为
>>=+的点到左焦点的距离大于它到右准线的距离，则椭圆离心率e 的取值范畴是 ▲ .
12.已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足：2010201120122a a a +=，若12a a a n m =⋅，则n
m 91
+的最小值为_▲ __
13.设)(x f 是定义在R 上的可导函数，且满足
0)()('>+x xf x f .则不等式
)
1(1)1(2-->+x f x x f 的解集为 ▲ ．
14. 定义函数()[[]]f x x x =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如：[1.5]1[ 1.3]2=-=-，，
当*[0)()x n n N ∈∈，时，设函数()f x 的值域为A ，记集合A 中的元素个数为n
a ，则n a =▲
二．解答题（本大题共6小题, 满分为90分,请把解答过程写在答题卡的相应
位置上）
15.（本小题14分）设实部为正数的复数Z 满足10||=Z ，且z i )21(+在复平面上对应的
点在第一、三象限的角平分线上. （1）求复数Z ； （2）若
)
(1R m i
i
m Z ∈+-+为纯虚数 , 求m 的值.
16.（本小题14分）如图，直三棱柱111A B C ABC -中， 1
2C C CB CA ===，AC CB ⊥.
D E 、分别为棱111C C B C 、的中点.
（1）求二面角1
E A D B --的平面角的余弦值；
（2）在线段AC 上是否存在一点F ，使得EF ⊥平1
A D
B ？
1
C 1A
1
B E
F
D
C
A
B
若存在，确定其位置；若不存在，说明理由.
17．（本小题15分） 某公司为了加大产品的宣传力度，预备立一块广告牌，在其背面制作一个形如△ABC 的支架，要求∠ACB ＝60°，BC 的长度大于2米，且AC 比AB 长1米．为节
约材料，要求AC 的长度越短越好，求AC 的最短长度，且当AC 最短时，
BC 的长度为多少米？
18．
（本小题15分）已知数列{n a }满足n S +n
a =2n+1 （1）求出1a ，2a ，3
a 的值； （17题图）
（2）由（1）猜想出数列{n
a }的通项公式n
a ；
（3）用数学归纳法证明（2）的结果.
19．（本小题16分） 已知中心在原点,焦点在x 轴上的椭圆离心率为
2
2
,且通过点)2,22(,过椭圆的左焦点作直线l 交椭圆于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB 。

（1）求椭圆E 的方程
（2）现将椭圆E 上的点的纵坐标保持不变，横坐标变为原先的一半，求所得曲线的焦点坐标和离心率
（3）是否存在直线l ，使得四边形OAPB 为矩形？若存在，求出直线l 的方程。

若不存在，说明理由。

20. （本小题16分）已知,R a ∈函数)(2)(2a x x x f -=。

（1）求函数)(x f 在区间[]2,1上最小值)(a h ；
（2）对（1）中的)(a h ，若关于a 的方程)1()(+=a k a h 有两个不同的实数解，求实数k 的取值范畴；
（3）若点A ())(,11a h a ，B ())(,22a h a ，C ())(,33a h a ，从左到右依次是函数)(a h y =图象
上三点，且这三点不共线，求证：ABC ∆是钝角三角形。

B
C
A
2011-2020学年高二数学期中考试参考答案
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在下面对应的横线上)
二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解承诺写出文字说明,证明过程或演算步骤）
15. (1) Z=3-i…………7分； (2)m=-5…………14分
16.解：（1）如图所示，以CB为x轴，CA为y轴，
CC为z轴建立空间直角坐标系，由
1
12C C CB CA ===可得(0,0,0)C ，(0,2,0)A ,(2,0,0)B ,(0,0,1)D ,(1,0,2)E .
1(0,2,2)A ，(1,0,2)E ，(0,0,1)D 可得)0,2,1(1-=E A ，)1,2,0(1--=D A ……………2分
设平面1
A ED 的法向量为)1,,(1y x n =12012102
x x y y y =-⎧-=⎧⎪⇒⇒⎨⎨--==-
⎩⎪⎩，
故可令)
2,1,2(1-=n ，1
(0,2,2)A ，(0,0,1)D ，(2,0,0)B ，
可得
)1,2,0(1--=D A ,)
2,2,2(1--=B A ，
设平面1
A BD 的法向量为
)
1,,(2y x n =1210222201
2
x y x y y ⎧
=⎪--=⎧⎪⇒⇒⎨⎨
--=⎩⎪=-⎪⎩，
故可令
)
2,1,1(2-=n
，∴
66
,cos 2121-
=>=<n n ，
即求二面角1
E A D B --
……………8分
（2）假设存在点F ,坐标为(0,,0)y ，则
)
2,,1(--=y EF ，
EF ⊥平面1A DB 得2//n EF ，即112
1
12y y -==⇒=--， ∴F (0,1,0)F 即为AC 中点. ……………14分 (其他方法酌情给分)
z
18. （1）1a =2
3，2
a =47，3a =8
15…………… 5分
（2）n
a =
n
2
12-……………10分
（3）当n=1时，明显成立 假设n=k 时成立，即
k a =
k
2
12-，则当n=k+1时，由3211+=+++k a S k k 得3221+=++k a
S k k 322121+=+-+⇒+k a a k k k 2
21=-⇒+k k a a k k k k a a 2142122221
-=-+=+=+ 化简得1
1212++-=k k a 即当n=k+1时亦成立 因此n
a =
n
2
12-即对+∈N n 成立。

……………15分
19.解：(1)设椭圆E 的方程)0(12222
>>=+b a b
y a x ，由条件得⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+==148222
2b a a c e 解得
22,4==b a ，椭圆E 的方程18
1622=+y x ……………4分 （2）由题意，变换后的曲线的方程为18
42
2
=+y x ，因此焦点为（0，2±）,离心率2
2=
e ……………7分
（3）当x AB ⊥轴时，A(22-，2)，B(22-，-2)，现在不满足OB OA ⊥；
当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的斜率是k ，且直线过左焦点C(22-，0)，则直线方程是
)22(+=x k y 。

依照题意有OB OA ⊥，设),,(),,(2211y x B y x A 则2121y y x x +=0。

联立方程
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=18
16)
22(2
2
y x x k y 得
0161628)12(2222=-+++k x k x k
1
2282
221+-=+k k x x ，
1216162221+-=k k x x ， 2121y y x x +=
)
816321616(1
212
4442k k k k k ++--+=0
得2±=k ，经检验满足0>∆
因此存在直线AB 满足条件，直线AB 的方程是
42+=x y 或
42--=x y 。

……………16分
③若a ≥3,即23a ≥2时,当1≤x ≤2时, /()f x ≤0,因此f(x)在区间[1,2]上是减函数, 因此
h(a)=f(2)=16-8a
综上所述,函数f(x)在区间[1,2]上的最小值是
⎪⎩⎪⎨⎧---=a a a a h 81627822)(3
3
3
23
2
3≥<≤<
a a a …………8分
(2)．因为方程h(a)=k(a+1)有两个不同的实数解,令y=k(a+1),可得y=h(a)图象与直线y=k(a+1)有两个不同的交点,而直线y=k(a+1)恒过定点(-1,0),由图象可得的取值范畴是(-8,-2). …………12分
(3).证明:不妨设
1a <2a <3a ,由(2)知1()h a >2()h a >3()h a ,BA =(1a -2a ,1()h a -2()h a ),
BC =(3a -2a ,3()h a -2()h a ), 因此BA •BC =(1a -2a )(3a -2a )+[1()h a -2()h a ],因为1a -2a <0, 3a -2a >0, 1()h a -2()h a >0,3()h a -2()h a <0, 因此BA •BC <0. 又因为A,B,C 三点不共线,
因此2(,)B ππ∠∈,即ABC ∆为钝角三角形…………16分。