高中数学第一章常用逻辑用语1.4逻辑联结词“且”“或”“非”121数学

(2)这个命题是“非p”的形式,其中p:方程x2-3=0有有理根.
(3)这个命题是“p或q”的形式,其中p:2是奇数,q:2不是素数.
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析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)逻辑联结词只能出现在命题(mìng tí)的结论中. (
)
(2)命题的否定就是该命题的否命题. (
)
×
(3)若p且q是真命题,则p一定是真命题. ( ×)
情况是解此类题目的关键.如“p或q”为真,应包括“p真q真”“p真q假”“p假q真”
三种情况;“p且q”为假,应包括“p假q假”“p真q假”“p假q真”三种情况.
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§4
逻辑(luó jí)联结词“且”“或”“非”
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学 习 目 标
思
1.通过数学实例,了解逻
辑联结词“且”“或”“非”
的含义.
2.通过本节学习,掌握用
“且”“或”“非”改写有关
命题,会写一个命题的否
定,并会判断其真假.
3.能举实例,体会
“且”“或”“非”在数学中
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思维辨析
逻辑联结词中的求参问题
【例3】 已知p:关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实根;q:关于x
的方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若p或q为真,p且q为假,求m的取值范围.
思维点拨:
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)
2π
=π,所以命题
p为假;函数y=cos x的
2
图像的对称轴为x=kπ,k∈Z,所以命题q为假,所以非q为真,p且q为假,p或q为
假.
答案:C
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【做一做1】 请将命题p“35是15的倍数(bèishù)”与命题q“35是7的倍数”
用“且”联结词构成一新命题,并判断其真假.
解:p且q:“35是15的倍数且35是7的倍数”,是假命题.
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则Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0,
解得1<m<3,即q:1<m<3.
因p或q为真,所以p,q至少有一个为真,
又p且q为假,所以p,q至少有一个为假,
因此,p,q两命题应一真一假,即p为真,q为假或p为假,q为真.
> 2,
≤ 2,
所以
或
1 < < 3,
≤ 1 或 ≥ 3
故m的取值范围是[3,+∞)∪(1,2].
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反思感悟熟练地掌握已知“p或q”和“p且q”的真假时,命题p和q的真假
【做一做2】 判断(pànduàn)正误:
(1)2≥0. ( √ )
(2)A⊆A或A∩A=A. (
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(3)0∈{1,2,3}或0∈⌀. (
√)
×)
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解:(1)“非p”形式,其中p:不等式|x+2|≤0有实数解.∵x=-2是该不等式的一个
致的.
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析
2.判断命题“p或q”的真假性
命题“p或q”的真假如下表:
命题 p
真
真
假
假
命题 q
真
假
真
假
命题 p 或 q
真
真
真假Biblioteka 命题“p或q”的真假性用一句话概括(gàikuò)为“同假则假,否则为真”.
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反思感悟判断一个命题是简单命题还是复合命题,不能仅从字面上看是否
含有“或”“且”“非”等逻辑联结词,而应从命题的结构来看是否能用逻辑
联结词联结两个命题.
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判断含有逻辑联结词的命题的真假
【例2】 指出下列命题的结构形式,并判断下列命题的真假.
(1)不等式|x+2|≤0没有实数解;
(2)-1是偶数或奇数;
属于集合Q也属于集合R;
(4)A⊈(A∪B).
思维点拨:先将复合命题写成简单命题,然后由真值表判断真假.
(3)
√2
析
一、逻辑(luó jí)联结词“且”
1.定义
且—用“且”联结两个命题p和q,构成一个新命题“p且q”
名师点拨对“且”的理解,可联想“交集”的概念.A∩B={x|x∈A,且x∈B}中
的“且”,逻辑联结词中的“且”的含义与“交集”中的“且”的含义是一致的.
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1
2
1

5
2
1

1

1

单调性知,当 x∈ ,2 时,2≤x+ ≤ ,要使 x+ > 恒成立,则 2> ,即
1
c> .又由“p 或 q”为真,“p 且 q”为假知:p,q 必为一真一假.
2
1
当p为真,q为假时,c的取值范围为0<c≤ ;当p
(4)“x∈A∪B”的否定是“x∉A且x∉B”. (
) √
√
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含有逻辑联结词的命题的结构
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析
三、逻辑联结词“非”
1.定义(dìngyì)
非—一般地,对命题p加以否定,就得到一个新命题,记作 p,读作“非p”.
名师点拨对“非”的理解,可联想“补集”的概念.若将命题p对应集合P,则命
题非p就对应集合P在全集U中的补集∁UP.
2.判断命题“非p”的真假性
命题“非p”的真假如下表:
(4)“非p”形式,其中p:A⊆(A∪B).∵p为真命题,
∴“非p”为假命题,故原命题为假命题.
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命题 p
命题非 p
真
假
假 命题“非p”的真假性用一句话概括为
真“非p与p的真假性相反”.
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【做一做3】 若命题p:2n-1是奇数,n∈Z,q:2n+1是偶数,n∈Z,则下列说
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解:若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实根,
Δ = 2 -4 > 0,
则
解得 m>2,即 p:m>2.
> 0,
若关于x的方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,
的意义,并注意与生活语
言相区别,从而会正确使
用逻辑联结词.
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维 脉 络
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(sīkǎo)辨
解,∴p是真命题.
即“非p”是假命题,故原命题为假命题.
(2)“p或q”形式,其中p:-1是偶数,q:-1是奇数.
∵p为假,q为真,∴“p或q”为真命题.
故原命题为真命题.
(3)“p且q”形式,其中p: 属于集合Q,q: 属于集合R.∵p为假,q为真,∴“p
√2
√2
且q”为假命题,
故原命题为假命题.
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二、逻辑联结词“或”
1.定义
或—用“或”联结两个命题p和q,构成一个新命题“p或q”
名师点拨对“或”的理解,可联想“并集”的概念(gàiniàn),A∪B={x|x∈A或
x∈B}中的“或”.逻辑联结词中的“或”的含义与“并集”中的“或”的含义是一
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变式训练 2 设命题 p:函数 y=sin 2x
π
2
π
的最小正周期为 ;命题 q:函数
2
y=cos x 的图像关于直线 x= 对称,则下列判断正确的是(
A.p为真
B.非q为假
C.p且q为假
D.p或q为真
解析:函数y=sin 2x的最小正周期为
(2)是“p或q”形式的命题,其中p:2是4的约数;q:2是6的约数.
(3)是“非p”形式的命题,其中p: 是无理数.
√2
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2.判定命题(mìng tí)“p且q”的真假性
命题“p且q”的真假如下表:
命题 p
真
真
假
假
命题 q
真
假
真
假
命题 p 且 q
真
假
假
假
命题“p且q”的真假性用一句话概括为“同真则真,否则为假”.
【例1】判断下列命题中是否含有逻辑联结词“且”“或”“非”,若含有,请指
出其中的基本命题p,q.
(1)菱形的对角线互相垂直平分;
(2)2是4或6的约数;
(3)
不是无理数.
√2
思维点拨:先找出组成原命题的两个简单命题,
然后看逻辑联结词.
解:(1)是“p且q”形式的命题,
其中p:菱形的对角线互相垂直;q:菱形的对角线互相平分.
法中正确(zhèngquè)的是(
)
A.p或q为真命题
B.p且q为真命题
C.非p为真命题
D.非q为假命题
解析:命题p是真命题,命题q是假命题,则p或q为真命题,p且q为假命题,非p
为假命题,非q为真命题.
答案:A
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反思感悟判断含逻辑联结词的命题的真假,关键是判断出对应p,q的真假
并掌握“p且q”“p或q”为真时的判定依据,至于“非p”的真假,可就p的真假判
断,也可就“非p”直接判断.
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变式训练1指出下列命题的形式.
(1)96是48与16的倍数;
(2)方程x2-3=0没有有理根;
(3)2是奇数或2不是素数.
解:(1)这个命题是“p且q”的形式,其中p:96是48的倍数,q:96是16的倍数.
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变式训练3已知c>0,设命题p:函数y=cx为减函数,命题q:当x∈