SXB022高考数学必修_用空间向量证明垂直和平行问题

用空间向量证明垂直和平行问题
空间向量做为工具，在解决立体几何论证空间线面位置关系方面，有着广泛的应用．它比传统的方法处理立体几何的这些问题要方便．同时解题难度也相应降低，给同学们学习立体几何提供了方便，也多了一种解题工具．
一、空间向量用于证明垂直问题
（1）设→a ，→b 分别为直线a ，b 的一个非零的方向向量，且向量→a =（x 1，y 1，z 1），→
b =（x 2，y 2，z 2），则a ⊥b ⇔→a ⊥→b ⇔→a ·→b = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0.
（2）设→m ，→n 分别为平面α、β的一个法向量，则α⊥β⇔→m ⊥→n ⇔→m ·→n = 0.
（3）设→a 为直线 的一个方向向量，→m 是平面α的一个法向量，则 ⊥α⇔→a //→m ⇔→a =→
m λ （0≠∈λλ且R ）.
例1 如图1, 在直三棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中,CA=CB=1，∠BCA= 90，棱A A 1=2，M 是A 1B 1的中点，求证：A 1B ⊥C 1M.
证明：：以C 为原点，建立如图4所示的空间直角坐标
系C －xyz , 由题意，得 C 1（0，0，2）、M （
21，2
1，2）、 →B A 1=（－1，1，－2）、→M C 1=（21，2
1，0）， ∴→B A 1·→M C 1= －21+21+0=0 ∴ →B A 1⊥→M C 1， 即 A 1B ⊥C 1M.
二、空间向量用于证明平行问题
（1）设→a ，→b 分别为两条不重合的直线a ，b 的一方向向量，则
a //
b ⇔→a // →b ⇔→a =λ·→b （0≠∈λλ且R ）.
（2）设直线 在平面α外，→a 是 的一个方向向量，→n 是平面α的一个法向量，则 //α ⇔→a ⊥→n ⇔→a ·→
n = 0.
（3）设→m 、→n 分别是两个不重合的平面α、β的一个法向量，则 α//β⇔→m //→n ⇔→m =→
n λ （0≠∈λλ且R ）. 图1
例 2 如图2, E 、F 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中线A 1D 、AC 上的点,且DE=AF=31
AC ，求证：EF//面BDD 1.
证明：设→→=a DA ，→→=b DD 1，→
→=c DC ，
→
→→→++=AF DA ED EF =31→D A 1+→DA +31→
AC
=31
（→A A 1+→AD ）+→DA +31
（→
→+BC AB ）
=31（－→b ）+31→c +31（－→a ）+32→
a =31（→c +→a －→
b ）
又 →→→→++=AB DA D D B D 11=→c +→a －→
b
∴ →
EF = －31
→1BD ∴ →EF //→
1BD
又 →
1BD ⊂面BDD 1，EF ⊄面BDD 1，∴ EF//面B 图2。