高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解49---圆锥曲线与圆的综合问题

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解
第49讲 圆锥曲线与圆的综合问题
随着新高考不断地推进与深入，高考对解析几何的要求也随之发生很大的变化，对圆的考查在逐渐加深，与圆相关的几何性质、最值问题、轨迹问题等都能与椭圆、双曲线及抛物线相结合，呈现别具一格的新颖试题，题型渐渐成为高考命题的热点，是一种新的命题趋势．
考点一 圆的切线与圆锥曲线的综合问题
例1 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F 2(1,0)，点P ⎝⎛⎭
⎫32，214在椭圆上． (1)求椭圆的方程；
(2)点M 在圆x 2＋y 2＝b 2上，且M 在第一象限，过点M 作圆x 2＋y 2＝b 2的切线交椭圆于A ，B 两点，问△AF 2B 的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝c 2＝1，94a 2＋2116b
2＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝4，
b 2＝3， ∴椭圆的方程为x 24＋y 2
3
＝1. (2)是定值．由题意，
设AB 的方程为y ＝kx ＋m (k <0，m >0)，
∵AB 与圆x 2＋y 2＝3相切， ∴|m |1＋k
2＝3，即m 2＝3(1＋k 2
)， 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23
＝1，
整理得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
则x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2
， x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2
， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－8km 3＋4k 22－4·4m 2
－123＋4k 2 ＝－4km 3＋4k 2
. 又|AF 2|2＝(x 1－1)2＋y 21
＝(x 1－1)2＋3⎝⎛⎭⎫1－x 214 ＝14
(x 1－4)2， ∴|AF 2|＝12(4－x 1)＝2－12
x 1， 同理|BF 2|＝12(4－x 2)＝2－12
x 2， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝4－12
(x 1＋x 2) ＝4＋4km 3＋4k 2
∴|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4＋4km 3＋4k 2－4km 3＋4k 2
＝4(定值)． 规律方法 处理圆的切线与圆锥曲线综合问题，主要就是巧设直线方程，利用圆的切线性质(圆心到直线的距离等于半径)找到直线的参数之间的关系或者转化为直线斜率的一元二次方程，利用根与系数的关系求解．
跟踪演练1 在平面直角坐标系中，F 为抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点，D 为抛物线C 上第一象限
内任意一点，△FOD 外接圆的圆心为Q ，且圆心Q 到抛物线C 的准线的距离为34
. (1)求抛物线C 的方程；
(2)设点P (x 0，y 0)(x 0>1)为抛物线C 上第一象限内任意一点，过点P 作圆x 2＋(y －1)2＝1的两条切线l 1，l 2且与y 轴分别相交于A ，B 两点，求△P AB 面积的最小值．
解 (1)由抛物线C 方程x 2＝2py ，
已知F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，准线y ＝－p 2
， 外接圆的圆心在直线y ＝p 4
上， 依题意3p 4＝34
，即p ＝1，抛物线C 的方程为x 2＝2y . (2)设过点P (x 0，y 0)的直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，
直线kx －y ＋y 0－kx 0＝0与圆x 2＋(y －1)2＝1相切，则|(y 0－1)－kx 0|1＋k 2
＝1， 化简得(x 20－1)k 2－2(y 0－1)x 0·k ＋y 20－2y 0＝0，①
方程的根为k 1，k 2，
则有⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＋k 2＝2(y 0－1)x 0x 20－1，k 1·k 2＝y 20
－2y 0x 20－1，
设直线l 1，l 2在y 轴上的截距分别为y 1，y 2，
则y 1＝y 0－k 1x 0，y 2＝y 0－k 2x 0，
|AB |＝|y 1－y 2|＝|k 1－k 2|·x 0
＝x 0·4(y 0－1)2x 20(x 20－1)2－4(y 20－2y 0)(x 20－1)(x 20－1)
2 ＝2x 0x 20＋y 20－2y 0x 20－1
＝2x 0·x 20＋14x 40－x 20x 20－1
＝x 30x 20－1
， S ＝12|AB |·x 0＝12·x 40x 20－1
＝12·(x 20－1)2＋2(x 20－1)＋1x 20－1
＝12⎣⎡⎦⎤(x 20－1)＋1x 20
－1＋2 ≥12
×(2＋2)＝2. 当且仅当x 20－1＝1x 20－1
，即x 0＝2时，S △P AB 面积取得最小值，面积最小值为2. 考点二 圆锥曲线中的四点共圆综合问题
例2(2022·重庆模拟)设动点P 与定点F (3，0)的距离和P 到定直线l ：x ＝433的距离的比是32
. (1)求动点P 的轨迹方程；
(2)设动点P 的轨迹为曲线C ，不过原点O 且斜率为12
的直线l 与曲线C 交于不同的A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，直线OM 与曲线C 交于C ，D 两点，证明：A ，B ，C ，D 四点共圆．
(1)解 设P (x ，y )， 因为动点P 与定点F (3，0)的距离和P 到定直线l ：x ＝
433的距离的比是32
， 所以(x －3)2＋y 2⎪⎪⎪⎪x －433＝32， 整理化简得x 24
＋y 2＝1. 所以动点P 的轨迹方程为x 24
＋y 2＝1. (2)证明 设直线l 的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由方程组⎩⎨⎧ x 24＋y 2＝1，y ＝12x ＋m ，
得x 2＋2mx ＋2m 2－2＝0，①
方程①的判别式为Δ＝4(2－m 2)，
由Δ>0，得2－m 2>0， 解得－2<m < 2.
由①得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2.
所以M 点坐标为⎝
⎛⎭⎫－m ，m 2， 直线OM 方程为y ＝－12
x ， 由方程组⎩⎨⎧ x 24＋y 2＝1，y ＝－12x ，
得C ⎝⎛⎭⎫－2，22，D ⎝⎛⎭⎫2，－22. 所以|MC |·|MD |＝
52(－m ＋2)·52(2＋m )＝54(2－m 2)． 又|MA |·|MB |＝14
|AB |2 ＝14
[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2] ＝516
[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝516[4m 2－4(2m 2－2)]＝54
(2－m 2)． 所以|MA |·|MB |＝|MC |·|MD |.
所以A ，B ，C ，D 四点共圆．
规律方法 处理共圆问题，主要抓住弦长及弦的中点的关系并结合圆的垂径定理，综合寻求关系．
跟踪演练2(2022·南京模拟)如图，在平面直角坐标系中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点(－2,0)和⎝
⎛⎭⎫1，32，椭圆C 上三点A ，M ，B 与原点O 构成一个平行四边形AMBO .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若A ，M ，B ，O 四点共圆，求直线AB 的斜率． 解 (1)因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(－2,0)和⎝
⎛⎭⎫1，32， 所以a ＝2，1a 2＋34b
2＝1， 解得b 2＝1，
所以椭圆C 的方程为x 24
＋y 2＝1. (2)因为直线AB 的斜率存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，x 24
＋y 2＝1， 消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，
则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2
， x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2
. 因为平行四边形AMBO ，
所以OM →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．
因为x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2
， 所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m
＝k ·－8km 1＋4k 2＋2m ＝2m 1＋4k 2
， 所以M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－8km 1＋4k 2，2m 1＋4k 2. 因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程，化得4m 2＝4k 2＋1.①
因为A ，M ，B ，O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 是矩形，且OA ⊥OB ，
所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0.
因为y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )
＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2
＝m 2－4k 2
1＋4k 2
， 所以x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－41＋4k 2＋m 2－4k 2
1＋4k 2
＝0， 化得5m 2＝4k 2＋4.②
由①②解得k 2＝114
，m 2＝3， 此时Δ＞0，因此k ＝±112
. 所以所求直线AB 的斜率为±
112. 专题强化练
1.已知双曲线x 2－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，动直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．
(1)求k 的取值范围；
(2)记直线P 1A 1的斜率为k 1，直线P 2A 2的斜率为k 2，那么，k 1·k 2是定值吗？证明你的结论．
解 (1)∵l 与圆相切，
∴1＝|m |
1＋k
2 ∴m 2＝1＋k 2，①
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，x 2－y 2＝1， 得(1－k 2)x 2－2mkx －(m 2＋1)＝0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－k 2≠0，Δ＝4m 2k 2＋4(1－k 2)(m 2＋1)＝4(m 2＋1－k 2)＝8>0，x 1·x 2＝m 2＋1k 2－1<0，
∴k 2<1，∴－1<k <1，
故k 的取值范围为(－1,1)．
(2)由已知可得A 1，A 2的坐标分别为(－1,0)，(1,0)， ∴k 1＝y 1x 1＋1，k 2＝y 2x 2－1
， 由(1)知，x 1＋x 2＝－2mk k 2－1
， x 1·x 2＝m 2＋1k 2－1
， ∴k 1·k 2＝y 1y 2(x 1＋1)(x 2－1)
＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )(x 1＋1)(x 2－1)
＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2
x 1x 2＋(x 2－x 1)－1
＝k 2
·m 2＋1k 2－1－mk ·2mk k 2－1＋m 2
m 2＋1k 2－1－22k 2－1－1 ＝m 2k 2＋k 2－2m 2k 2＋m 2k 2－m 2
m 2＋1－22－k 2＋1
＝k 2－m 2
m 2－k 2＋2－22
， 由①得m 2－k 2＝1，
∴k 1·k 2＝－13－22
＝－(3＋22)为定值． 2．(2022·泸州模拟)从抛物线y 2＝4x 上各点向x 轴作垂线段，记垂线段中点的轨迹为曲线P .
(1)求曲线P 的方程，并说明曲线P 是什么曲线；
(2)过点M (2,0)的直线l 交曲线P 于两点A ，B ，线段AB 的垂直平分线交曲线P 于两点C ，D ，探究是否存在直线l 使A ，B ，C ，D 四点共圆？若能，请求出圆的方程；若不能，请说明理由． 解 (1)设抛物线y 2＝4x 上的任意点为S (x 0，y 0)，垂线段的中点为(x ，y )，
故⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0，y ＝y 02
， 则⎩
⎪⎨⎪⎧
x 0＝x ，y 0＝2y ， 代入y 20＝4x 0得(2y )2＝4x ， 得曲线P 的方程为y 2＝x ，
所以曲线P 是焦点为⎝⎛⎭⎫14，0的抛物线．
(2)若直线l 与x 轴重合，则直线l 与曲线P 只有一个交点，不符合题意．
设直线l 的方程为x ＝ty ＋2，根据题意知t ≠0，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
联立⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝x ，x ＝ty ＋2， 得y 2－ty －2＝0，Δ＝t 2＋8>0，
则y 1＋y 2＝t ，y 1·y 2＝－2，
则|AB |＝1＋t 2·|y 1－y 2|
＝1＋t 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2
＝(t 2＋1)(t 2＋8)，
且线段AB 中点的纵坐标为y 1＋y 22＝t 2
， 即x 1＋x 22＝t ·y 1＋y 22＋2＝t 22
＋2， 所以线段AB 中点为M ⎝⎛⎭⎫t 22
＋2，t 2， 因为直线CD 为线段AB 的垂直平分线，可设直线CD 的方程为x ＝－1t
y ＋m ， 则t 22＋2＝－1t ×⎝⎛⎭
⎫t 2＋m ， 故m ＝t 2＋52
， 联立⎩⎪⎨⎪⎧
y 2＝x ，x ＝－1t y ＋t 2＋52，
得2ty 2＋2y －t (t 2＋5)＝0，
设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，
则y 3＋y 4＝－1t ，y 3·y 4＝－12
(t 2＋5)， 故|CD |＝1＋1t 2|y 3－y 4| ＝1＋1t
2(y 3＋y 4)2－4y 3y 4 ＝⎝⎛⎭⎫1＋1t 2⎝⎛⎭
⎫1t 2＋2t 2＋10， 线段CD 中点为N ⎝⎛⎭⎫12t
2＋t 2＋52，－12t ， 假设A ，B ，C ，D 四点共圆，则弦AB 的中垂线与弦CD 的中垂线的交点必为圆心，
因为CD 为线段AB 的中垂线，则可知弦CD 的中点N 必为圆心，则|AN |＝12
|CD |， 在Rt △AMN 中，|AN |2＝|AM |2＋|MN |2，
11 / 11 所以⎝⎛⎭⎫12|CD |2＝|AM |2＋|MN |2，
则14⎝
⎛⎭⎫1＋1t 2⎝⎛⎭⎫1t 2＋2t 2＋10 ＝14
(t 2＋1)(t 2＋8)＋⎝⎛⎭⎫12t 2＋122＋⎝⎛⎭⎫t 2＋12t 2， 故t 4＋8t 2－1－8t 2＝0， 即t 6＋8t 4－t 2－8t 2＝(t 2－1)(t 4＋9t 2＋8)t 2
＝0， 解得t 2＝1，即t ＝±1，
所以存在直线l ，使A ，B ，C ，D 四点共圆，且圆心为弦CD 的中点N ，
圆N 的方程为⎝⎛⎭⎫x －722＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝132
或⎝⎛⎭⎫x －722＋⎝⎛⎭⎫y －122＝132
.。