从探究到发现 从发现到应用——以椭圆一重要结论为例
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２ ２ 线交椭圆狓 ＋狔 ＝１ 于 犘， 犃 ４ ２ 两点 ， 其 中 犘 在 第 一 象 限， 过
的讨论 ， 给出了多种解答 ． 生１ ： 设 点 犘（ ，则 点 犃（ ， 狓０ ， － 狓０ ，－ 狔 狔 ０） ０） （ ， ） ， 从而 可 以 求 出 直 线 的 方 程 ， 将 它 与 椭 犆 狓０ ０ 犃 犅 使用韦达定理可以求出点 犅 坐标（ 用 圆方程联立 ， ， 进而算出直线 犘 因为直线 狓０ ， 犅 的 斜 率． 狔 ０ 表示 ）
参考文献 ［ ］ 形式逻辑 （ 重 版） ［ 北 京： 人民出版 １ Ｍ］ ． 金岳霖主编 ． 社， ２ ０ ０ ６： ２ １ １． ［ ］ 数学辞海 》 编辑委员会编 ． 数学辞海第 ６卷 ［ 太 ２ Ｍ］ ． 《 原： 山西教育出版社 ， ： ２ ０ ０ ２５ ３ ３． ［ ］ 数学教育学 ［ 南 昌： 江西教育出版 ３ Ｍ］ ． 张奠宙等著 ． 社， １ ９ ９ １： ９ ３． ［ ］ 陈 昌 平 等 编 译． 作为教育任务的数 ４ 弗赖登 塔 尔 著 ， 学［ ］ 上海 ： 上海教育出版社 ， Ｍ ． １ ９ ９ ５： １ １ ５． 图１
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·２ ０ １ ５ 年第 ６ 期 ６ · 中学数学月刊 ２
狔 狔 狔 １ 而 犘 －狔 犅 明犽 · 犃－ 犅 ＝ 犽犃犅 ＝－ ． 犽 犽犃犅 ＝ 犘 犅 犘 犅 狓犘 －狓犅 狓犃 －狓犅 ２
的． 总 之， 二者的结合才能完 美 ，忽 视 任 何 一 方 都 是 不 妥的 ． 归纳 推 理 的 教 学 实 际 上 是一种思维 过 程 的 教 学 ， 是一 种能力的培 养 ． 这不光是教师 细心 打 磨 几 个 例 子 和 情 境 就 本质上还要靠学生 能造就的 ， 在学习过程中的领会 ， 靠学 生 的 “ 做 ”与 “ 悟” ， 是一种 设 计 合 理 适 当 的 材 料， 让学生 意会大于言传的东西 ． 真正参与数学活 动 ， 体会数学知识的来龙去脉和形 成过程 ， 从而感悟归纳推理的思维方式 ， 逐渐内化为 一种能力 ， 而这也正是新课标所强调的内容 ．
图１
垂足为犆， 连 犘 作狓 轴的垂线 ， 并延长交椭圆于点 犅． 结犃 犆，
而这个结论很容易证明 ． 犽 ＝２ 犃 犅． 生３ ： 我的做法与学生 ２ 很像 ， 不过我是先 发 现 然后得到要证明 犽 只需证 了犽 ２ 犽 犽犘犃 ＝－１， 犘 犃 ＝ 犃 犅， 犘 犅
求证 ： 犘 犃 ⊥犘 犅． 题目给出后 ， 学生马上投入研究 ， 并展开了激烈 批 这 节 课 教 师 给 了 学 生 充 分 的 时 间 去 质 疑 、 判、 思 考、 讨 论， 出 发 点 是 好 的， 效果也是值得肯定 但也 应 当 注 意 到， 从整体上看教师“ 引 导 ”学 生 的． 得出了错误的结论 ， 并耗费了较多的时间 ， 而其中的 — —３ 个 题 关键就是教师在 ３ 个例子的选取 上 欠 妥 — 目中事件 犃， 由 此 可 见， 在进行 犅 都 存 在 包 含 关 系． 归纳教学时 ， 例 子 的 典 型 性、 代表性也是十分重要 换句话说 ， 用来验证的例子在无关的性 质 上 要 有 的， 明显的差别 ， 这就要求教师对教学设计要进行充分 仔细考量所选的例子是否 符 合 要 求 ， 而细致的准备 ， 能否为教学目的服务 ． 以上分别从数量和质量两个方面对归 纳 教 学 中 所选的例子或情境提出了要求 ． 在数学教 学 中 ， 我们 往往会失之偏颇 ， 有时保证了例子的数量却忽视了 质量 ， 有时例子有了质量却缺少一定数量 的 支 撑 ． 因 此， 这两 个 要 求 是 相 辅 相 成 、 缺 一 不 可 的． 现在假设 有例子 犛 …； 例子犛 犘１ １ 含有性质 犘 １ １， ２， ２ 含有性质 …； 例子 犛 …， 那么所要 犘２ 犘２ ３含有性质 犘３ 犘３ １， ２， １， ２， 得到的性质 犘 必为其交集 ， 不妨用图 １ 表示 ． 另外 ， 在教学 中 还 应 注 意 归 纳 推 理 与 演 绎 推 理 相结合 ， “ 猜 ”出来的只有 “ 证 ”过了才 能 成 为 一 个 数 学理论 ． 只训练学生去 “ 证 ”便 缺 少 了 发 现 能 力 的 培 养， 只教 学 生 学 习 “ 猜 ”自 然 也 不 是 数 学 教 育 的 目
狔０ 所以直线 犘 犃 的斜率为 ， 犘 犅 的斜率算出来应该是 狓０
－
狓０ ， 这样就证明好了 ． 狔 ０ 生 ２： 由“ 点差法 ”可以得到 （ （ 狓犅 ＋狓犘 ） ＋２ 狔 犅 ＋
又 犘 与 犃 关于原点对称 ， 所以 （ 犽 ０． 狓犅 －狓犃 ） 狔 犘） 犘 犅 ＝ １ 而要证明 （ 从而 犽 犽 ０， 犽犃犅 ＝－ ． ＋２ 狔 犅 －狔 犃） 犘 犅 ＝ 犘 犅 ２ ， 只要证明 ， 因此只要证明 犘 犃 ⊥犘 犅 犽 犽犘犃 ＝－１ 犽 犘 犅 犘 犃
２ ０ １ ５ 年第 ６ 期 中学数学月刊 · ２ ５·
从探究到发现ห้องสมุดไป่ตู้ 从发现到应用
— — — 以椭圆一重要结论为例
朱 震 （ 江苏省常熟中学 ２ ） １ ５ ５ ０ ０
高三数学复习中 常 会 遇 到 一 些 有 价 值 的 问 题 ， 若能借题发 挥 ， 师 生 共 同 探 究， 发 现 一 些 结 论， 并应 用到其他问题的解决中 ， 则是一件非常快 乐 的 事 情 ． 笔者就有这样的经历 ， 现将这个过程整理 成 文 ， 与大 家分享 ． １ 从探究到发现 在一次高三 二 轮 复 习 课 上 （ 笔者所带班级为四 星级高 中 实 验 班 ， 学 生 基 础 扎 实） ， 有一道解析几何 源自 ２ 题， ０ １ １ 年江苏卷第 １ ８ 题的第 ３ 问 ： 如图 １， 在平面直角坐标 系狓 过坐标原点的直 犗 狔 中，
的讨论 ， 给出了多种解答 ． 生１ ： 设 点 犘（ ，则 点 犃（ ， 狓０ ， － 狓０ ，－ 狔 狔 ０） ０） （ ， ） ， 从而 可 以 求 出 直 线 的 方 程 ， 将 它 与 椭 犆 狓０ ０ 犃 犅 使用韦达定理可以求出点 犅 坐标（ 用 圆方程联立 ， ， 进而算出直线 犘 因为直线 狓０ ， 犅 的 斜 率． 狔 ０ 表示 ）
参考文献 ［ ］ 形式逻辑 （ 重 版） ［ 北 京： 人民出版 １ Ｍ］ ． 金岳霖主编 ． 社， ２ ０ ０ ６： ２ １ １． ［ ］ 数学辞海 》 编辑委员会编 ． 数学辞海第 ６卷 ［ 太 ２ Ｍ］ ． 《 原： 山西教育出版社 ， ： ２ ０ ０ ２５ ３ ３． ［ ］ 数学教育学 ［ 南 昌： 江西教育出版 ３ Ｍ］ ． 张奠宙等著 ． 社， １ ９ ９ １： ９ ３． ［ ］ 陈 昌 平 等 编 译． 作为教育任务的数 ４ 弗赖登 塔 尔 著 ， 学［ ］ 上海 ： 上海教育出版社 ， Ｍ ． １ ９ ９ ５： １ １ ５． 图１
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狔 狔 狔 １ 而 犘 －狔 犅 明犽 · 犃－ 犅 ＝ 犽犃犅 ＝－ ． 犽 犽犃犅 ＝ 犘 犅 犘 犅 狓犘 －狓犅 狓犃 －狓犅 ２
的． 总 之， 二者的结合才能完 美 ，忽 视 任 何 一 方 都 是 不 妥的 ． 归纳 推 理 的 教 学 实 际 上 是一种思维 过 程 的 教 学 ， 是一 种能力的培 养 ． 这不光是教师 细心 打 磨 几 个 例 子 和 情 境 就 本质上还要靠学生 能造就的 ， 在学习过程中的领会 ， 靠学 生 的 “ 做 ”与 “ 悟” ， 是一种 设 计 合 理 适 当 的 材 料， 让学生 意会大于言传的东西 ． 真正参与数学活 动 ， 体会数学知识的来龙去脉和形 成过程 ， 从而感悟归纳推理的思维方式 ， 逐渐内化为 一种能力 ， 而这也正是新课标所强调的内容 ．
图１
垂足为犆， 连 犘 作狓 轴的垂线 ， 并延长交椭圆于点 犅． 结犃 犆，
而这个结论很容易证明 ． 犽 ＝２ 犃 犅． 生３ ： 我的做法与学生 ２ 很像 ， 不过我是先 发 现 然后得到要证明 犽 只需证 了犽 ２ 犽 犽犘犃 ＝－１， 犘 犃 ＝ 犃 犅， 犘 犅
求证 ： 犘 犃 ⊥犘 犅． 题目给出后 ， 学生马上投入研究 ， 并展开了激烈 批 这 节 课 教 师 给 了 学 生 充 分 的 时 间 去 质 疑 、 判、 思 考、 讨 论， 出 发 点 是 好 的， 效果也是值得肯定 但也 应 当 注 意 到， 从整体上看教师“ 引 导 ”学 生 的． 得出了错误的结论 ， 并耗费了较多的时间 ， 而其中的 — —３ 个 题 关键就是教师在 ３ 个例子的选取 上 欠 妥 — 目中事件 犃， 由 此 可 见， 在进行 犅 都 存 在 包 含 关 系． 归纳教学时 ， 例 子 的 典 型 性、 代表性也是十分重要 换句话说 ， 用来验证的例子在无关的性 质 上 要 有 的， 明显的差别 ， 这就要求教师对教学设计要进行充分 仔细考量所选的例子是否 符 合 要 求 ， 而细致的准备 ， 能否为教学目的服务 ． 以上分别从数量和质量两个方面对归 纳 教 学 中 所选的例子或情境提出了要求 ． 在数学教 学 中 ， 我们 往往会失之偏颇 ， 有时保证了例子的数量却忽视了 质量 ， 有时例子有了质量却缺少一定数量 的 支 撑 ． 因 此， 这两 个 要 求 是 相 辅 相 成 、 缺 一 不 可 的． 现在假设 有例子 犛 …； 例子犛 犘１ １ 含有性质 犘 １ １， ２， ２ 含有性质 …； 例子 犛 …， 那么所要 犘２ 犘２ ３含有性质 犘３ 犘３ １， ２， １， ２， 得到的性质 犘 必为其交集 ， 不妨用图 １ 表示 ． 另外 ， 在教学 中 还 应 注 意 归 纳 推 理 与 演 绎 推 理 相结合 ， “ 猜 ”出来的只有 “ 证 ”过了才 能 成 为 一 个 数 学理论 ． 只训练学生去 “ 证 ”便 缺 少 了 发 现 能 力 的 培 养， 只教 学 生 学 习 “ 猜 ”自 然 也 不 是 数 学 教 育 的 目
狔０ 所以直线 犘 犃 的斜率为 ， 犘 犅 的斜率算出来应该是 狓０
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狓０ ， 这样就证明好了 ． 狔 ０ 生 ２： 由“ 点差法 ”可以得到 （ （ 狓犅 ＋狓犘 ） ＋２ 狔 犅 ＋
又 犘 与 犃 关于原点对称 ， 所以 （ 犽 ０． 狓犅 －狓犃 ） 狔 犘） 犘 犅 ＝ １ 而要证明 （ 从而 犽 犽 ０， 犽犃犅 ＝－ ． ＋２ 狔 犅 －狔 犃） 犘 犅 ＝ 犘 犅 ２ ， 只要证明 ， 因此只要证明 犘 犃 ⊥犘 犅 犽 犽犘犃 ＝－１ 犽 犘 犅 犘 犃
２ ０ １ ５ 年第 ６ 期 中学数学月刊 · ２ ５·
从探究到发现ห้องสมุดไป่ตู้ 从发现到应用
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朱 震 （ 江苏省常熟中学 ２ ） １ ５ ５ ０ ０
高三数学复习中 常 会 遇 到 一 些 有 价 值 的 问 题 ， 若能借题发 挥 ， 师 生 共 同 探 究， 发 现 一 些 结 论， 并应 用到其他问题的解决中 ， 则是一件非常快 乐 的 事 情 ． 笔者就有这样的经历 ， 现将这个过程整理 成 文 ， 与大 家分享 ． １ 从探究到发现 在一次高三 二 轮 复 习 课 上 （ 笔者所带班级为四 星级高 中 实 验 班 ， 学 生 基 础 扎 实） ， 有一道解析几何 源自 ２ 题， ０ １ １ 年江苏卷第 １ ８ 题的第 ３ 问 ： 如图 １， 在平面直角坐标 系狓 过坐标原点的直 犗 狔 中，