高等数学第8章8节

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定理 2（充分条件）
设函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内连 续，有一阶及二阶连续偏导数，又
f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0， 令 f xx ( x0 , y0 ) A， f xy ( x0 , y0 ) B，
f yy ( x0 , y0 ) C ，则 (1) AC B2 0时具有极值，且
A 2 ( x y x 8 y x x 8 ) y 2 ( x y 8 x 8 y ) ( y x 0 , y 0 )
令
Ax
2(y
8 x2
)
0
Ay
2(x
8 y2
)
0
得 x2 y2
偏导数不存在的点也可能是极值点。
例如，显然函数 z x2 y2 在(0, 0) 处取得极小值. 但函数在(0, 0) 处偏导数 不存在。
因此, 在考虑函数的极值问题时, 除了考虑函数的驻点外, 如果有偏导数不存在的点, 那么对这些点也应当考虑.
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13Leabharlann 3、多元函数的最值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值 来求函数的最大值和最小值.
若满足不等式
f ( x, y) f ( x0 , y0 )，
则称函数在( x0 , y0 )有极大值；
若满足不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，
则称函数在( x0 , y0 )有极小值；
极大值、极小值统称为极值.
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使函数取得极值的点称为极值点.
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例1 函数 z 3x2 4 y2
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )， 求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 AC B2的符号，再判定是否是极值.
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例4 求函数 f(x ,y ) x 3 y 3 3 x 2 3 y 2 9 x的极值
解
先解方程组 ffyx((xx,,yy))33xy2266xy90,0,
求得驻点为 ( 1 ,0 ) 、 ( 1 ,2 ) 、 ( 3 ， 0 ) 、 ( 3 ， 2 )
将上方程组再分别对 x , y 求偏导数
fxx (x,y)6x6, fxy(x,y)0, fyy(x,y)6y6
在点 (1,0) 处 A CB212 60, 又 A 0,
所以函数在 (1,0) 处有极小值 f(1,0)5;
在 (0,0) 处有极小值．
(1)
例２ 函数 z x2 y2
(2)
在 (0,0) 处有极大值．
例３ 函数 z xy
在 (0,0) 处无极值．
(3)
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2、多元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件）
设函数 z f ( x, y)在点( x0, y0 )具有偏导数，且 在点( x0 , y0 )处有极值，则它在该点的偏导数必然 为零： f x ( x0 , y0 ) 0， f y ( x0 , y0 ) 0.
求最值的一般方法：
将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中 最大者即为最大值，最小者即为最小值.
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例5 某厂要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体 水箱问当长、宽、高各取多少时 才能使用料最省
解 设水箱的长为x m 宽为y m 则所用材料的面积为
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说明一元函数 f ( x, y0 )在 x x0处有极大值,
必有
f x ( x0 , y0 ) 0;
类似地可证
f y ( x0 , y0 ) 0.
说明： 从几何上看，这时如果曲面 zf(x,y)在点(x0, y0,z0)
处有切平面，则切平面
z z 0 f x ( x 0 ,y 0 )x ( x 0 ) f y ( x 0 ,y 0 )y ( y 0 )
一、多元函数的极值和最值 二、条件极值 拉格朗日乘数法 三、小结
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观察二z 元 exx2 函 yy2的 数图形
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一、多元函数的极值和最值
1、二元函数极值的定义
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内有定义，
对于该邻域内异于( x0 , y0 )的点( x, y)：
在点 (1,2) 处， A C B 212 (6)0, 所以 f (1,2) 不是极值；
在点 (3,0) 处，A C B 212 60, 所以 f(3,0) 不是极值； 在点 (3,2) 处 A C B 212 60,又 A 0, 所以函数在 (3,2) 处有极大值 f(3,2)31.
与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，
成为平行于 xoy 坐标面得平面 z z0 。
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推广：如果三元函数 u f ( x, y, z) 在点 P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在 P( x0 , y0 , z0 )有极值的必 要条件为 f x ( x0 , y0 , z0 ) 0， f y ( x0 , y0 , z0 ) 0， fz ( x0 , y0 , z0 ) 0.
当 A 0时有极大值， 当 A 0时有极小值；
(2) AC B2 0时没有极值；
(3) AC B2 0时可能有极值,也可能没有极值，
还需另作讨论．
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求函数 z f ( x, y) 极值的一般步骤：
第一步 解方程组 f x ( x, y) 0, 求出所有驻点.
f y(x, y) 0
证 不妨设z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处有极大值, 则对于( x0 , y0 )的某邻域内任意 ( x, y) ( x0, y0 )
都有
f ( x, y) f ( x0 , y0 ),
故当 y y0， x x0时， 有 f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ),
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点， 均称为函数的驻点.
注意： 偏导数存在的极值点
驻点
例如，点(0, 0)是函数 z xy 的驻点，
zx y, zx (0,0) 0; z y x, z y (0,0) 0.
但点 (0, 0) 不是极值点.
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
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