高考数学二轮复习 12+4分项练6 概率 文

12＋4分项练6 数 列
1．(2018·烟台模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 7＝5，S 9＝27，则a 20等于( )
A ．17
B ．18
C ．19
D ．20
答案 B
解析 由等差数列的前n 项和公式可知
S 9＝9(a 1＋a 9)2
＝9a 5＝27，解得a 5＝3， 又由d ＝a 7－a 57－5＝5－32＝1，
所以由等差数列的通项公式可得
a 20＝a 5＋15d ＝3＋15×1＝18.
2．(2018·大连模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( )
A ．27
B ．31
C ．63
D ．75
答案 C
解析 由题意得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，
所以3,12，S 6－15成等比数列，
所以122＝3×(S 6－15)，解得S 6＝63.
3．(2018·湛江模拟)已知递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6等于( )
A ．93
B ．189 C.18916
D ．378 答案 B
解析 设数列的公比为q ，由题意可知，q >1，
且2()a 2＋2＝a 1＋1＋a 3，
即2×()6＋2＝6q
＋1＋6q ， 整理可得2q 2
－5q ＋2＝0， 则q ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫q ＝12舍去，
则a 1＝62
＝3， 该数列的前6项和S 6＝3×()1－26
1－2＝189. 4．(2018·莆田质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13>0，S 14<0，则S n 取最大值时n 的值为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．13
答案 B
解析 根据S 13>0，S 14<0，可以确定a 1＋a 13＝2a 7>0，a 1＋a 14＝a 7＋a 8<0，所以可以得到a 7>0，a 8<0，所以S n 取最大值时n 的值为7.
5．(2018·三明质检)若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2，则S 8等于( )
A ．255
B ．256
C ．510
D ．511
答案 C
解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，据此可得a 1＝2，
当n ≥2时，S n ＝2a n －2，S n －1＝2a n －1－2，
两式作差可得a n ＝2a n －2a n －1，则a n ＝2a n －1，
据此可得数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，
其前8项和为S 8＝2×()1－28
1－2＝29－2＝512－2＝510. 6．已知数列{a n }中a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝2－2·(－1)n ，n ∈N *
，则S 2 017的值为( )
A ．2 016×1 010－1
B ．1 009×2 017
C ．2 017×1 010－1
D ．1 009×2 016 答案 C
解析 由递推公式，可得
当n 为奇数时，a n ＋2－a n ＝4，数列{a n }的奇数项是首项为1，公差为4的等差数列，
当n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝0，数列{a n }的偶数项是首项为2，公差为0的等差数列， S 2 017＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 016)
＝1 009＋12
×1 009×1 008×4＋1 008×2 ＝2 017×1 010－1.
7．(2018·南充质检)已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝
a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 56等于( ) A ．－ 3 B ．0 C. 3 D.
32 答案 A
解析因为a n＋1＝a n－3
3a n＋1
(n∈N*)，
所以a1＝0，a2＝－3，a3＝3，a4＝0，a5＝－3，a6＝3，…，
故此数列的周期为3.
所以a56＝a18×3＋2＝a2＝－ 3.
8．(2018·咸阳模拟)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各得几何？”其意思：“共有五头鹿，5人以爵次进行分配(古代数学中“以爵次分之”这种表达，一般表示等差分配，在本题中表示等差分配)．”在这个问题中，若大夫得“一鹿、三分鹿之二”，则公士得( )
A．三分鹿之一B．三分鹿之二
C．一鹿D．一鹿、三分鹿之一
答案 A
解析显然5人所得依次成等差数列，设公士所得为x，
则5
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
5
3
＋x
2
＝5，解得x＝
1
3
.
9．已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，S n是其前n项和，若S2＋a2＝S3－3，则a4＋3a2的最小值为( )
A．12 B．9 C．6 D．18
答案 D
解析因为S3－S2＝a3，
所以由S2＋a2＝S3－3，得a3－a2＝3，
设等比数列{a n}的公比为q，则a1＝3
q(q－1)
，由于{a n}的各项为正数，所以q>1.
a4＋3a2＝a1q3＋3a1q
＝a1q(q2＋3)＝3
q(q－1)
q(q2＋3)
＝3(q2＋3)
q－1
＝3
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
q－1＋
4
q－1
＋2≥18，
当且仅当q－1＝2，
即q＝3时，a4＋3a2取得最小值18.
10．已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n(n∈N*)，数列{b n}的通项公式为b n＝3n－1，记它们的
公共项由小到大排成的数列为{c n }，令x n ＝c n 1＋c n ，则1x 1…x n －1x n
的取值范围为( ) A ．[1,2)
B ．(1，e) C.2
33,e 2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫32，e 答案 C
解析 由题意知，{a n }，{b n }的共同项为2,8,32,128，…，故c n ＝2
2n －1. 由x n ＝c n
1＋c n ， 得1x n ＝1＋1c n
， 1
x 1…x n －1x n ＝⎝
⎛⎭⎪⎫1＋1c 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 2…⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1c n . 令F n ＝1x 1…x n －1x n ，
则当n ≥2时，F n F n －1＝1x n
>1， 故数列{F n }是递增数列，
∴1
x 1…x n －1x n ≥32. ∵当x >0时，ln(1＋x )<x ，
∴ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c n <1c n
， 则ln ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 2…⎝
⎛⎭⎪⎫1＋1c n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 2＋…＋ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋1c n <1c 1＋1c 2＋…＋1c n
＝12＋123＋…＋12
2n －1 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n 1－14<121－14
＝23， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c 2…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1c n <2
3e ，
故32≤1x 1…x n －1x n <2
3e ，故选C. 11．(2018·宁德质检)记S n 为数列{a n }的前n 项和，满足a 1＝32，2a n ＋1＋3S n ＝3(n ∈N *)，若S n ＋2S n
≤M 对任意的n ∈N *恒成立，则实数M 的最小值为( ) A ．2 2 B.176 C.4112
D ．4 答案 C
解析 由a 1＝32
，2a n ＋1＋3S n ＝3(n ∈N *)， 得2a n ＋3S n －1＝3，n ≥2.
两式相减，可得2a n ＋1－2a n ＋3a n ＝0，
即a n ＋1a n ＝－12
＝q . ∵a 1＝32
，∴2a 2＋3S 1＝3，即2a 2＋3a 1＝3， ∴a 2＝－34，∴a 2a 1＝－12
， ∴a n ＝32⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12n －1. 则S n ＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1＋12
＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n . ∴当n ＝1时，S n 取最大值32
； 当n ＝2时，S n 取最小值34
. 要使S n ＋2S n
≤M 对任意的n ∈N *恒成立． 根据对勾函数的性质，当S n ＝34
时， S n ＋2S n 取得最大值4112
， ∴M ≥4112
， ∴实数M 的最小值为4112.
12．(2018·湖南省岳阳市第一中学模拟)已知数列{a n }满足当2k －1－1<n ≤2k －1(k ∈N *，n ∈N *)时，a n ＝k
2k ，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则满足S n >10的n 的最小值为( ) A ．59 B ．58 C ．57 D ．60
答案 B
解析 由题意可得，
当k ＝1时，20－1<n ≤21－1，即n ＝1，
则a n ＝12，所以S 1＝12
； 当k ＝2时，21－1<n ≤22－1，即1<n ≤3，n ∈N *，
则a n ＝12，所以S 3－S 1＝12＋12
＝1； 当k ＝3时，22－1<n ≤23－1，即3<n ≤7，n ∈N *，
则a n ＝38，所以S 7－S 3＝4×38＝32
； 当k ＝4时，23－1<n ≤24－1，即7<n ≤15，n ∈N *，
则a n ＝14，所以S 15－S 7＝8×14
＝2； 当k ＝5时，24－1<n ≤25－1，即15<n ≤31，n ∈N *，
则a n ＝532，所以S 31－S 15＝16×532＝52
； 当k ＝6时，25－1<n ≤26－1，即31<n ≤63，n ∈N *，
则a n ＝332，所以S 63－S 31＝32×332
＝3， 则S 31＝12＋1＋32＋2＋52
＝7.5， 设从a 32到a 63中有m 项，则m 项的和为m ×332＝3m 32
， 令3m 32>2.5，解得m >803
，所以当S n >10时，n >57， 所以n 的最小值为58.
13．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋r ，则a 3－r ＝________，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫23n 的最大项是第k 项，则k ＝________.
答案 19 4
解析 等比数列前n 项和公式具有的特征为
S n ＝aq n －a ，据此可知，r ＝－1，
则S n ＝3n －1，a 3＝S 3－S 2＝()33－1－()32
－1＝18， a 3－r ＝19.
令b n ＝n ()n ＋4⎝ ⎛⎭
⎪⎫23n ，且b n >0， 则b n ＋1b n ＝23·n 2＋6n ＋5n 2＋4n
， 由b n ＋1b n ＝23·n 2＋6n ＋5n 2＋4n
>1可得n 2<10， 由b n ＋1b n ＝23·n 2＋6n ＋5n 2＋4n
<1可得n 2>10， 据此可得，数列中的项满足b 1<b 2<b 3<b 4，
且b 4>b 5>b 6>b 7>b 8>…，则k ＝4.
14．(2018·河南省南阳市第一中学模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝pn 2－2n ，n ∈N *，b n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 1＋2＋3＋…＋n
，若数列{b n }是公差为2的等差数列，则数列{a n }的通项公式为________．
答案 a n ＝3n －72
解析 由S n ＝pn 2－2n ，n ∈N *
可知，
当n ＝1时，a 1＝S 1＝p －2，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2pn －p －2， a 1＝p －2符合上式，
所以对任意的n ∈N *
均有a n ＝2pn －p －2，
则a n ＋1－a n ＝2p ，
因而数列{a n }是公差为2p 的等差数列，a 2＝3p －2， b 1＝a 1＝p －2，
b 2＝a 1＋2a 21＋2＝7p －63，则b 2－b 1＝7p －63
－(p －2)＝2， 得2p ＝3，p ＝32，a 1＝－12
， 所以数列{a n }的通项公式为
a n ＝－12＋(n －1)×3＝3n －72
，n ∈N *.
15．(2018·大连模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 2＝2，a 3n ＝2n －2a n ，a 3n ＋1＝a n ＋1，a 3n ＋2＝a n －n ，则S 30＝________.(用数字作答)
答案 75
解析 ∵a 3n ＝2n －2a n ，a 3n ＋1＝a n ＋1，
a 3n ＋2＝a n －n ，a 1＝1，a 2＝2，
∴a 3＝2－2a 1＝2－2＝0，a 4＝a 1＋1＝2，
a 5＝a 1－1＝0，
∴a 3＋a 4＋a 5＝2.
∵a 3n ＝2n －2a n ，a 3n ＋1＝a n ＋1，a 3n ＋2＝a n －n ，
∴把上面三个式子相加得a 3n ＋a 3n ＋1＋a 3n ＋2＝n ＋1，
∴a 10＝a 3×3＋1＝a 3＋1＝0＋1＝1，
∴a 30＝a 3×10＝2×10－2a 10＝18.
∴S 30＝a 1＋a 2＋(a 3＋a 4＋a 5)＋(a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 27＋a 28＋a 29)＋a 30
＝1＋2＋(2＋10)×92
＋18＝75. 16．数列{a n }满足a 1＝43，a n ＋1＝a 2n －a n ＋1(n ∈N *)，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 2 017
的整数部分是________． 答案 2
解析 因为a 1＝43
，a n ＋1＝a 2n －a n ＋1(n ∈N *)， 所以a n ＋1－a n ＝(a n －1)2
>0，
所以a n ＋1>a n ，数列{a n }单调递增，
所以a n ＋1－1＝a n (a n －1)>0，
所以1a n ＋1－1＝1a n (a n －1)＝1a n －1－1a n ， 所以1a n ＝1a n －1－1a n ＋1－1
， 所以S n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1－1a 2－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1－1a 3－1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1－1a n ＋1－1＝1a 1－1－1a n ＋1
－1， 所以m ＝S 2 017＝3－
1a 2 018－1， 因为a 1＝43
， 所以a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432－43
＋1＝139， a 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1392－139＋1＝13381
，
a 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133812－13381
＋1>2，…， 所以a 2 018>a 2 017>a 2 016>…>a 4>2， 所以a 2 018－1>1，所以0<
1a 2 018－1<1， 所以2<3－1a 2 018－1
<3， 因此m 的整数部分是2.。