两两独立且PABCPAPBPC相...

考研_数学_概率统计讲义
2013考研数学春季基础概率统计讲义
主讲:王福海目录
第一章率的的基知. 1
概论础识
第二章一机量 7
维随变
第三章二维随机变量 14
第四章数字特征22
第五章大数与极定律中心限定理312013考研数学春季基础概率统计讲义
第一章概率论的基本知识
§1 概率论的基本概念问题
一、随机试验与随机事件:
称一个试验为随机试验,如果
(1)试验可以在相同的条件下重复进行;
(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果。

(3)进行一次试验之前,不能确定哪一个结果会出现。

我们是通过研究随机试验来研究随机现象的,为方便起见,将随机试验简称为试验,
并用字母 E或EE,, L表示。

12
在一次试验中可能出现,也可能不出现的结果称为随机事件,简称为事件,并用大写
字母 A,B,C 等表示,为讨论需要,将每次试验一定发生的事件称为必然事件,记为Ω,
每次试验一定不发生的事件称为不可能事件,记为Ο。

随机试验中每一个最简单、最基本的结果称为基本事件或样本点,记为ω,每次试验
最多只能发生一个基本事件,基本事件(或样本点)的全体称为样本空间(或基本事件空
间),记为Ω,即Ωω ,随机事件 A总是由若干个基本事件组成,即 A是Ω的子集,A ?Ω,
事件 A 发生等价于构成 A 的基本事件有一个发生。

二、随机事件的关系及运算
事件间关系与运算的文字叙述集合论中的表示法概率论中的含义
事件 A包含事件 B AB(或 BA) 事件 B发生,则事件 A一定发生
(或事件 B含于事件 A)
事件 A和 B相等(或等价) 事件 A发生,则 B一定发生,反之亦然
AB
AB U 或 A+B
事件 A和 B之和(或并) 两个事件 A,B中,至少有一个事件发生
AB I (简记为 AB) 事件AB I 发生,当且仅汉 A与 B同时发生
事件 A与 B的积(或交)
事件 A与 B的差 A-B 事件 A-B 发生,当且仅仅当事件 A 发生,B
不发生
Δ
事件 A的逆事件(或对立事件) 事件 A发生,当且仅当事件 A 不发生
A Ω? A
AB I Ο
事件 A和 B互不相容(或 A 与 B 事件 A与 B不可能同时发生
互斥)
注:1、若事件组AA,, LA 中任意两个事件都相互互斥,则称之为互斥事件组。

12 n 2、在一次试验中,基本事件都是两两互斥的。

三、事件的主要运算规律 1、 ABA UU B,A BA?B
2、 A?? BA ABA B1 2013考研数学春季基础概率统计讲义
3、若AB,则 AB
四、典型例题
例 1 设 A,B,C 为三个事件,试表示如下事件:
①A 发生但 B 不发生:
②A 与 B 至少有一个发生:
③A 与 B 恰有一个发生:
④A、B、C均不发生:例 2(88) 若事件 A,B,C 满足等式 A U C B U C,则
(A) AB B AB C BA D 若 C 与 A、B 不相容则 AB§2 概率论的概念
及性质,古典概型与几何概型
一、概率的概念及性质1、定义:事件 A 的概率 P A 是事件 A 在一次试验中发生的可能性大小的一个数。

2、性质:
①0≤≤ PA1
②PP Ω1, Φ0
③如果事件 A,B 互不相容,则 PAB U PA +PB
PAP ? 1 A
④设 A 为任一随机事件,则
⑤设AB,则 PBA? PB PA , PAP ≤ B
⑥设 A,B 为任意两个随机事件,则 P A UB PA+? PB PA B
推广:
P AUU A A+ PA PA+PA?PA A?PA A?PA A+PA AA
12 3 1 2 3 12 13 23 123
二、古典概型与几何概型
1、古典概率定义
设随机试验 E 的样本空间Ωω,, ωω L ,n 为有限的正整数,且每个样本点
12 n
ω1i ,2, Ln A ω,,ωω L
出现的可能性相等,则事件出现的概率
i ii 12 im
m 有利于事件A的基本事件数m
,即
PAi ≤ 1 ,i, Li≤n PA
12 m
n 基本事件的总数n
2、几何概率
①设线段 l 是线段 L的一部分,向线段 L上任投一点,若投中线段 l 上的点的数目与该
段的长度成正比,而与该线段 l 在线段 L上的相对位置无关,则点投中线段 l 的概率 P 为
l的长度
P
L的长度
②设平面图形 g 是平面图形 G 的一部分,向图形 G上任投一点,若投中图
g 上的点的
2 2013考研数学春季基础概率统计讲义
数目与该图形面积成正比,而与该图形 g 在图 G上的相对位置无关 ,则点投中图形 g 的概
率 P 为
g的面积
P
G的面积
③设空间体 U是空间体 V 的一部分,则向 V 投点投中 U的概率 P 为
U的体积
P
V的体积
3、计算古典概率时用到的一些中学的基本知识
①加法原理设完成一件事有 n 类方法(只要选择其中一类方法即可完成这件事) ,若
第一类方法有 m 种,第二类方法有 m 种,…,第 n 类方法有 m 种,则完成这件事共有
1 2 n
m m m
N + +…+ 种方法。

1 2 n
②乘法原理设完成一件事须有 n个步骤(仅当 n 个步骤都完成,才能完成这件事),
若第一步有 m 种方法,第二步有 m 种方法,…,第 n 步有 m 种方法,则完成这件事共有
1 2 n
N m × m ×…× m 种方法。

1 2 n
③排列从 n 个不同元素中任取mm ≤n个按照一定的顺序排成一列,称为从 n 个不
同元素中取出 m个元素的一个排列,从 n 个不同元素取 m个元素的所有排列种数,记为
n!
m
Pn?1n L[n?m?1]
n
nm!
从 n 个不同元素中全部取出的排列称为全排列,其排列的种数,记为
P? nn1 L1n!。

n
④允许重复的排列从 n 个不同元素中有放回地取 m 个按照一定顺序排列成一列,其
m
排列的种数为Nn ×n L×nn 个。

⑤组合从 n 个不同元素中取出 m 个元素不管其顺序并成一组,称为从 n 个不同元素
m
中取出 m个元素的一个组合,其组合总数记为 C :
n
m
P
nn1 Ln m+1 n!
m n
C
n
mm !! m!n ?m!
三、重点题型
例 1 已知PA 0.4,P B 0.3,PA UB 0.6,则 P AB 。

3 2013考研数学春季基础概率统计讲义
1
例 2(92) 设 A,B,C为随机事件,P(A)P(B)P(C) ,P(AB)P(BC)
4
1
0, P(AC) ,则 A,B,C 至少出现一个的概率为。

8
例 3(09)袋中有 1 个红球、2 个白球、3 个黑球,从中取两次,每次取 1只(有放回) ,
则取得一只红球、一只白球的概率为。

例 4 把 10 本书随意的放在书架上,则其中指定的 5 本书放在一起的概率
为。

6
例 5(88) 在区间(0,1)中随机地取两个数,则事件“两数之和小于”的概率为
5。

§3 条件概率、乘法定理、全概率公式与贝叶斯公式
一、条件概率
如果 PA0,则在事件 A 已经发生的条件下,事件 B 发生的条件概率定义为P AB
PB A
P A
注①条件概率也是一种概率,当 PA0 时,有
1、PB A ≥0;
PA Ω1,PAA1
2、 ;
3、当 B , B 不相容时, P[/ BUB A]+ PB/ A PB/ A;
12 12 1 2
4、当 PA0 时,PB A+ PB A1;4 2013考研数学春季基础概率统计讲义
5、若 AB,则 P[BA /C]? PB /C PA/C;
6、 P[AUBC /] PA/C+? PB/C P[ABC /];
二、乘法公式PA PB A, 当PA0PA B
PB PAB, 当PB0?
P AALL A PA A APA ALALPA AAPA APA
12 nn 1 n1 n1 1 n?2 3 12 2 1 1
三、全概率公式
如果事件AA ,, L 构成一个完备事件组,即它们两两互不相容,其和为Ω并且PA 0,
1 n i
n
i 1, 2, Ln,则对任一事件 B,有 PBP APBA。

∑ ii
i 1
四、贝叶斯公式
如果事件AA ,, L 构成一个完备事件组,并且PA 0,1in , L,PB 0,则对任
1 n i
PB A PBPAB
jj j
一事件 A, PA ≠0,有:
P BA ,j1,2 Ln
j
n
PA
PBPAB
∑ ii
i 1
注意:公式右边可这样记忆:分母为全概率公式,是 n 项之和,分子是分母中的某一
项。

五、事件的独立性
定义 1:A与 B 独立A 与 B 互不影响PABPAPBPB/APBPA/B
PAA与 B独立A与 B 独立A 与 B独立。

PAB P A P B定义 2:若 PAC P A
P C,则称 A、B、C 两两独立PBC P B P C定义 3:若 A、B、C 两两独立且PABCPAPBPC,则称 A、B、C 相互独立。

六、重点题型
(一)事件关系的判别问题??主要针对独立、相容或不相容、对立三种关系:
例 1(87) 若二事件 A和 B 同时出现的概率 P(AB)0,则
(A)A 和 B不相容(互斥)。

(B)AB 是不可能事件。

(C)AB 未必是不可能事件。

(D)P(A)0 或 P(B)0
例 2(00) 设 A,B,C 三个事件两两独立,则 A,B,C 相互独立的充分必要条件是(A)A 与 BC 独立。

(B)AB 与 A U C 独立。

(C)AB 与 AC 独立。

(D)A U
B 与 A U
C 独立。

[ ]5 2013考研数学春季基础概率统计讲义
(二)利用条件概率、乘法定理、全概率公式等结论推导新的概率等式或不等式。

例 1 设 A、B、C 为三个事件,PABC0,0PC1,则有(A) PABC P A P B PC(B) P AUBUC PA++ PB PC
(C) P[AUB / C] PA/ C + PB / C (D) P[AUB / C]+ PA/ C PB / C
例 2(98) 设 A、B 是两个随机事件,且 0PA1, PB0, PB | APB | A ,则必有
(A)P(A | B) P A |B (B)P(A | B)≠P A |B(C)P(AB) PAP(B)(D)P(AB)≠PA P(B)(三)利用条件概率等公式求相关的概率
例 1 设随机事件 A,B 及其和事件 A U B 的概率分别是 0.4, 0.3和 0.6,若 B表示 B
的对立事件,那么积事件 A B的概率 P(A B)。

例 2 设 10 件产品中有 4 件不合格品,从中任取两件,已知所取的两件中有一件是
不合格品,则另一件也是不合格品的概率为。

1
例 3 某光光仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为 ,若第一次落下未打破,
2
9
7
第二次落下时打破的概率为 ,若前两次未打破,第三次落下时打破的概率为 ,求透
10
10
镜落下三次而未打皮的概率。

6 2013考研数学春季基础概率统计讲义
例 4(96) 设工厂 A 和工厂 B 的产品的次品率分别为 1%和 2%,现从由 A 厂和 B
厂的产品分别占 60%和 40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品是 A 厂生
产的概率是。

例 5(98) 袋中有 50 个乒乓球,其中 20 个是黄球,30 个是白球。

今有两人依次随机地
从袋中各取一球,取后不放回,则第 2 个人取得黄球的概率是。

例 6(08) 设
有两箱同种零件:第一箱内装 50 件,其中 10 件一等品;第二箱内装
30 件,其中 18 件一等品。

现从两箱中随机挑出一箱,然后从该箱中先后随机取出两个零件
(取出的零件均不放回) 。

试求
(1) 先取出的零件是一等品的概率 p;
(2) 在先取出的是一等品的条件下,后取出的零件仍然是一等品的条件概率q。

第二章一维随机变量
§1 分布律,分布函数,概率密度的概念及性质:
一、有关定义及主要结论:
一维随机变量 X 的分布几何表示
Δ随机变量 X的分布函数Fx ≤ P X x ,?∞x+∞
性质:(1)0≤≤ FxP 1,xx≤xFx?Fx
122 1(2) FxF≤ x,x x x x
1212(3) limFx 0, limFx 1
xx →?∞→ +∞(4)Fx0+ Fx,即 Fx是右连续
图 2-17 2013考研数学春季基础概率统计讲义
X 为离散型 X 为连续型
概率密度: ?xx , ?∞ +∞
概率分布:PX x p,1 k,2 L
kk
性质:
分布律:
(1) ? x ≥0
xxLL x
X 12 n
+∞
ppLL p
(2) ? x dx 1
P 12 n
∫
∞
x
性质:(1)pk ≥ 0, 1,2, L 2
k
(3) P xx ≤x ?xdx
12
∫
∞
x
1
(2) p 1
∑
k
′
(4) Fxx ,x为 x的连续点。

k 1
x
(5)分布函数Fx ? x dx
∫
∞
注:连续型随机变量的两个特性:
1、设 X为连续型随机变量,a 为常数,则Px a 0
2、连续型随机变量的分布函数一定连续。

二、重点题型及解题方法:
A
例 1.设随机变量 X的分布为 ,则系数。

A
PX k 1 k ,2, L
kk1 +
kx,0 x 1
例 2 已知fx 为某随机变量 X 的密度函数,则 ,
k
0,其它
分布函数为例 3 (05)设连续型随机变量 X的分布函数为若x 0
0,? π
Fx Asin x, 若0 ≤ x ≤
21,π
若x ? 2
8 2013考研数学春季基础概率统计讲义
π
则 A ,P|X|< = ,概率密度为6例 4 设随机变量 X 的分布律为:0.5 0 0.51.5
X
0.1 0.1a 0.2 PF x 是 X的分布函数,则 a , F a 。

例 5 某射手参加射击比赛,共有 4 发子弹,命中率为 P,各次独立射击,求命中目标
为止时射击次数 X的分布律。

例 6 在高为 h 的△ABC中任取一点 P,P 到底边 AB的距离为 X,求 X的概率密度。

§2 关于利用已知分布求概率的问题
一、几个重要的一维分布
X 0 1
1、(0-1)分布:分布律为
其中 P为事件 A出现的概率,0p1。

P 1-pp
2、贝努利试验与二项分布和几何分布
①如果每次试验只有两个结果 A 与 A,且在每次试验中 A 发生的概率都相等(即
9 2013考研数学春季基础概率统计讲义
PAp ),将这种试验独立重复 n 次,则称这种试验为 n重贝努利试验。

②在 n 重贝努利试验中,以 X 表示 n 次试验中事件 A 发生的次数,则事件 A 恰好发生
kk n ?k
k 次的概率为 P XkCpq,k0,1,2, Ln
n其中 p 为事件 A 在每次试验中出现的概率,q 为不出现的概率,q1-p,称随机变量 X
服从二项分布,通常记为XB ~n,p。

③进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为 p,失败的概率为 1-pq,将试验进行
k ?1
到一次成功为止,以 X表示所需的试验次数,则 X的分布律为:P Xkp?q (k1,
2,…),称 X服从参数为 p 的几何分布。

注①0-1 分布即二项分布在 n1 的情形。

进行一次试验,若试验的成功率为
p0p1,
则在一次试验中成功次数 X服从参数为 p 的 0-1分布:
②二项分布描述 n 重伯努利试验,若每次试验成功率为 p0p1,进行 n 次独立重复
试验,则成功总次数 X服从二项分布,既独立同分布的 0-1 分布的和为二项分布。

λλ
3、①泊松分布:分布律为 P Xk e ,k 0,1, 2, L, λ 0,称 X服从参数为λ的
k!
泊松分布,简记为 X~ πλ。

kλ
λ e
kk n ?k
PX k C p1?p ≈
②泊松定理:当 n 很大,p 很小时, ,其中λ np。

n
k!
4、正态分布
2
x1
2
①标准正态分布:若随机变量 X的概率密度为: ?xe , ?∞ x +∞
2 π
2
x
x1
则称 X服从标准正态分布,记为XN ~0,1,其分布函数为:Φ x edx ∫
∞
2 π
2
xμ1
2
2 σ
②一般正态分布:若随机变量 X的密度函数为:fx e ?∞ x +∞2πσ
2
xμx
1
2
2 σ
其中σ 0, μ与σ均为常数,其分布函数Fx e dx ?∞ x +∞∫
∞
2πσ
2
则称 X服从参数为μ与σ的正态分布,记为XN ~ μ, σ。

③正态分布的性质及计算公式:
1
Ⅰ. Φ 0 ,Φ?aa 1?Φ
2
2
Ⅱ. 若XN ~ μ, σ,则
xμ xx μμ
21
~NP 0,1; x ≤xxΦ ?Φ
12
σσσ
5、均匀分布 1
ax ≤≤b若随机变量 X的概率密度为fx ,则称 X在[a,b]上服从均匀分布 ,
ba?
其它0 10 2013考研数学春季基础概率统计讲义
0,xa xa分布函数为fx
,ax ≤bba1,xb ≥6、指数分布? λxλex,0 ? x
若 X 的概率密度为 ,其中λ 0,则称 X 服从参数为λ的指数分布,0, x ≤ 0 λx1, ?ex ≥0其分布函数为Fx
0, x 0?
7、超几何分布
kn ?k
CC
M NMPX k 0, ≤≤kn≤Nk≤M
n
C
N
此公式的数学模型为:从 N 件产品(其中次品为 M 件)中任取 n 件,其中恰有 k件次
品的概率。

二、重点题型及解题方法:
例 1(00) 设随机变量 X 的概率密度为
1, 若x ∈[0,1]3?
2
f x
, 若x ∈[3,6]9?
0, 其他2
若 k使得PX ≥ k ,则k 的取值范围是。

3
例 2 设随机变量 X 的概率密度为2x, 0 x 1
f x
0, 其他1
以 Y表示对 X的三次独立重复观察中事件X ≤出现的次数,则 PY 2 。

211 2013考研数学春季基础概率统计讲义
例 3 某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件,其寿命(单位:小时)都服从
同一指数分布,分布密度为
x?
1
600
若x ?0e ,
fx
600
若x ≤ 00,试求:在仪器使用的最初 200 小时内,至少有一只电子元件损坏的概率。

2
例 4(02) 设随机变量 X 服从正态分布 N μ, σσ 0 ,且二次方程
1
2
y + 4y + X 0无实根的概率为 ,则μ。

2
2
例 5 设测量误差X~N(0,10 ) 。

试求在 100 次独立重复测量中,每次测量误差的
绝对值大于 19.6 的概率α,并用泊松分布求出恰有 5 次测量误差的绝对
值大于 19.6 的概率
的近似值(要求小数点后取两位有效数字) ,已知Φ1.96 0.975。

§3 一维随机变量函数的分布
一、内容提要:
1、设 X 为离散型,其概率分布为
xxLL x
X
12 kppLL p
P
12 k则 Yfx的概率分布为:
①当yf x i 1,2, L的各值 y 互不相等时, Y的概率分布为 yyLL yii i Y
12 kppLL p
P 12 k
②当yf x i 1,2, L的各值不是互不相等时,应把相等的值
ii
12 2013考研数学春季基础概率统计讲义
分别合并,并相应地将其概率相加,例如y y,则Y的概率分布为
i jyyLL y yLY 12 ikppLL p +p pLP 12 ij k2、已知 X的概率密度为 fx,求 YgX的概率密度的方法:分布函数函法。

①先由分布函数定义求出 YgX的积分表达式。

②用变限积分的求导公式求导:
ψ x ′
′′
htdt? hψψ x x h? x? x
[] [ ]
∫ ? x
二、重点题型及解题方法:
X ?10 1 2
2
例 1 设X的分布律为 ,则YX 的分布律分别为、
P 0.2 0.3 0.1 0.4。

1
3
例2 设随机变量 X 的概率密度函数为 f x ,求随机变量 Y1- X 的概
X
2
π 1 + x
率密度函数 f y。

Y
例 3 设随机变量 X 的概率密度为 xe x ≥ 0 f x
X
0, x 0X
求随机变量Y e 的概率密度 f y。

Y例 4(99) 设随机变量 X服从指数分布,则随机变量 YminX, 2的分布函数
(A)是连续函数(B)至少有两个间断点13 2013考研数学春季基础概率统计讲义
(C)是阶梯函数(D)恰好有一个间断点
例 5(03) 设随机变量 X的概率密度为
1, 若x ∈[1,8]3 2
f x ?
3 x0, 其他F(x)是 X的分布函数,求随机变量 YF(X)的分布函数。

第三章二维随机变量
§1 涉及基本概念的问题
一、基本概念
F,xy≤ PX x,Y≤yP X≤x IY≤y
1、分布函数:
2、二维随机变量的概率:
①若 X,Y 为离散型随机变量,则 P, XxY yPXx IYy
ij i j
②若 X , Y 为连续型随机变量,则
P, xX ≤x yY≤yPxX≤x IyY≤y
121 2 12 1 2
二、分布函数、分布律、概率密度的性质
二维随机变量(X,Y)的分布函数几何表示
性质:
(1)0≤≤ Fx,y1; yx, y
(2)Fx ,y是 x 或 y 的不减函数且对任意固定的 y 有Fy , ?∞ 0对任意固定的 x,有Fx , ?∞ 0
F, ?∞∞ 0, F, +∞+∞ 1
o
x
(3)Fx ,y Fx + 0,y,Fx ,y Fx ,y+0即
Fx ,y关于 x 右连续,关于 y右连续;
x Xx ≤
(4)随机点(X,Y)落在矩形域: ,
12
y≤Yy 上的概率为 P x Xx ≤ , y Yy ≤
1 2 121214 2013考研数学春季基础概率统计讲义
F,xyFxy, Fx,y+Fx,y
22 2 1 1 2 1 1(X,Y)为离散型 (X,Y)为连续型
概率密度: ?, x y
(X,Y)的联合分布律:
PX, x Y yp,i,j1,2, L
性质:
ij ij
(1) ?,xy ≥0;
或表格形式
+∞ + ∞
yy LL y(2) ?, x ydxdy 1; Y 12 j
∫∫
∞ ?∞
2
X Fx ,y
(3) ?, x y,
x pp LL p
1
11 12 1 j xy
x
2 pp LL p
(x,y)为 ?, x y的连续点;
21 22 2 jM
(4) P, XY∈ G ?x,ydxdy …………
∫∫
x
G
i
pp LL p
ii 12 ij
M
分布函数:
∞∞
xy
F, x y ?u,vdudv
性质:(1) P ≥ 0(2) p 1∑∑∫∫
ij ij
∞ ?∞
ij 11三、重点题型
例 1 甲、乙两人独立地各进行两次射击,设甲的命中率为 0.2,乙的命中率为 0.5,以 X
和 Y 分别表示甲和乙的命中次数,试求(X,Y)的联合概率分布。

例 2(98) 设
F x与F x 分别为随机变量 X 与 X 的分布函数。

为使
1 2
1 2
Fx a F xbF x是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取
1 1 2
3 2 2 2
(A) a ,b (B) a ,b
5 5 3 3
1 3 1 3
a ,
b a ,b (C)(D)
2 2 2 2 15 2013考研数学春季基础概率统计讲义
例 3 设随机变量 X和 Y 相互独立,其概率分布为
m ?1 1 m ?1 11 1 1 1
PX m PY m
2 2 2 2则下列式子正确的是:
PX Y 0
(A) X Y (B)
1
(C) PX Y (D) PX Y 1
2
§2 边缘分布,条件分布,随机变量的独立性
一、边缘分布
设 X ,Y 的联合分布律为设 X ,Y 的概率密度为, x y,则PP, X xYyij1,2, L
ij i j
X 的边缘概率密度为:
则 X 的边缘分布律为
+∞
∞ x xy , dy
X
∫
P Xx pp ?∞
ii ∑j i
j 1
Y 的边缘概率密度为
+∞
(即联合分布律中第 i行各元素相加) .? yx ,ydxY ∫
∞
Y 的边缘分布律为
∞
X 的边缘分布函数为
P Yy pp
x +∞
∑
jij j
F x [ ?x, ydy]dx,
i 1
X
∫∫
∞ ?∞
(即联合分布律中第 j列各元素相加)
Y 的边缘分布函数为
y +∞?
F y ?x, ydx dyY
∫∫
∞? ∞二、条件分布
(X,Y)为离散型 (X,Y)为连续型
二维随机变量X,Y在条件Yy 下 X 的设X,Y的概率密度为 ?, x y ,则在条件
j
Yy 下 X 的条件概率密度:
条件分布律, x y
PXx ,Y y
xy ,
ij
PX x Y y
y
ij
Y
PY y
j
在条件 Xx下 Y 的条件概率密度:
P
ij
, x y
1 i ,
2 L yx
Pj x
X
16 2013考研数学春季基础概率统计讲义
(X,Y)在条件Xx 下 Y 的条件分布律其中 y, x分别为 Y与 X的边缘概率i YX
PXx ,Y y 密度,对应的条件分布函数为
ij
PY y X x
x
ji
PX x
, x yd x
i x
∫
∞
Fxy x ydx,
XY XY
∫
P ?∞ y
ij
Y
1 i ,
2 L
y
P
i, x yd x
y
∫
∞
Fyx yxdx
YX YX
∫
∞ x
X三、随机变量的独立性
设随机变量 X ,Y 的联合分布函数,边缘分布函数分别为 Fx, y 及 F x, F y,若
X Y
对所有的 x, y都有 Fx, y F xF y,则称随机变量 X 与Y 是相互独立的。

X Y
(X,Y)为离散型 (X,Y)为连续型
X 与Y 相互独立?ppp ,p 与 p X 与 Y 相互独立? , xyx ? y
ij ij i? j XY
几乎处处成立.其中 x, y 为边缘
XY
分别为 X 与Y 的边缘分布律,
概率密度。

四、两个重要的二维分布1、二维均匀分布若二维随机变量 X ,Y 的联合密度为
1,x,yD ∈S
,xy D0, 其他其中 S 为平面区域 D的面积,则称 X ,Y 服从 D上的均匀分布。

D
2、二维正态分布若二维随机变量 X ,Y 的联合密度为
22
xx μμy?μy?μ1111 2 2
ρ ,xy? exp ?2 +22 2
2
21 ?ρσσσσ
21 πσσρ ?112 212
其中σσ,0, ρ1,则称 X ,Y 服从二维正态分布,记为, XY~N μ,μσ, ,σ,ρ12 12 1 2
22
二维正态分布的性质:设, XY~N μ,μσ, ,σ ,ρ,则有
121 2
2 2
① X~ N μ, σ,Y ~ N μ , σ ;
2 2
11
②CX++ CY C服从一维正态分布。

12
3XY 与相互独立的充要条件是XY 与不相关,即ρ 0。

五、重点题型
例 1 已知(X,Y)的分布律X
1 2 3
Y
1 0.
2 0.1 0
2 0.1 0 0.3
3 0.1 0.1 0.1
求①X 和 Y 的边缘分布律;②X3 时 Y
的条件分布律;③Y3时 X的条件分布律。

17 2013考研数学春季基础概率统计讲义1 0 1例 2 设随机变量 X ~ i 1,2,
i?
1 1 1? 4
2 4且满足 PX X 0 1,则PX X 等于
1 2 1 2
1 1
(A)0 (B) (C)(D)1 [ ]
4 2例 3(99) 已知随机变量X 和X 的概率分布
1 2?1 0 1 0 1?
X ~ , X ~
1 21 1 1 1 1 4
2 4?2 2而且P X X 01。

1 2
(1) 求X 和X 的联合分布:
1 2
(2) 问X 和X 是否独立?为什么?
1 2
1
例 4 设两个随机变量 X 与 Y 相互独立且同分布,P(X-1?)P(Y-1) ,P 2
1
(X1)P(Y1) ,则下列各式成立的是
2
1
(A) PX Y (B) PX Y 1
2
1 1
PX + Y 0 PXY 1
(C) (D)[ ]
4 4
18 2013考研数学春季基础概率统计讲义
例 5(07) 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ye , 0 x y
f x, y
0, 其他(1) 求 X的概率密度 f x;
X
PX + Y ≤ 1
(2) 求。

例 6(90) 一电子仪器由两个部件构成,以 X和 Y 分别表示两个部件的寿命(单位:
千小时) ,已知 X和 Y的联合分布函数为:
-0.5xy0.5 0.5x+y
1, ee +e 若x≥y≥0Fx ,y 0, 其他(1) 问 X 和 Y 是否独立?
(2) 求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率。

(3) 球条件概率密度 f yx
YX。

§3 二维随机变量函数的分布
一、二维随机变量函数的分布的方法:
1、若已知(X,Y)的分布律,求 Zgx,y的分布律:用分布律定义求。

2、若已知(X,Y)的概率密度,求 zgx,y的概率密度:分布函数法;
①先由分布函数的定义求 zgx,y的分布函数 F z ;
z
′
②求导,则 f z Fz
z z
3、若(X,Y)的概率密度为Fx ,y,则 ZX+Y 的概率密度
f zf? x,zxdx fz?y,ydy
z
∫∫
∞ ?∞
4、当XX,, LX 相互独立,分布函数为 FxF, x, LFx时,UX ,X ,X
12 n 11 2 2 nn 12 n
的分布函数 F zF zFz LFz ,Vx min ,x , Lx 的分布函数为
1 2 n 12 n
F zF ? 1 z 1?Fz L1?Fz ;当XX,,X 独立同分布(设分布函数均为Fx )
[ ] [ ] [ ]
min 1 2 n 12 n
n n
时, F zF z ; F zF ? 1 1? z
[] []
min
(上述公式的推导对解决该方面问题很有帮助,望同学们自己推导一下)。

19 2013考研数学春季基础概率统计讲义
5、独立的正态分布的线性函数仍服从正态分布。

6、独立同分布的 0-1 分布的和为二项分布。

二、重点题型:
例 1 已知(X,Y)的分布律X
分别求:①ZX+Y;②ZXY;
Y
③ z XY , ④
1 0.
2 0.1 0
z minXY , 的分布律。

2 0.1 0 0.3
3 0.1 0.1 0.1例 2(05) 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为
1, 0 x 1,0 y 2x,f x, y
0, 其他
求:(I)X,Y 的边缘概率密度 f x, f y;
X Y(II)Z2X-Y 的概率密度 f z;
Z1 1 (III) P Y ≤ X ≤?
2 2
例3 设 X与 Y独立且均在(0,a)内服从均匀分布,求 ZXY 的概率密度。

20 2013考研数学春季基础概率统计讲义
例 4(03) 设随机变量 X 与 Y 独立,其中 X 的概率分布为
1 2X ~
0.3 0.7而 Y的概率密度为 fy,求随机变量 UX+Y 的概率密度 gu。

例 5(01) 设随机变量 X 和 Y 的联合分布是正方形上
Gx≤ ,y :1x≤ 3,1≤y≤ 3的均匀分布。

求随机变量U | XY |的概率密度pu。

例 6 设Xi1 ,2, L,n在[0,1]上服从均匀分布且相互独立,求NX min , LX 的概
i 1 n
率密度。

2
例 7 某电子元件的寿命XN ~ 160,20 随机取 4件, 则 4件中没有一件的寿命小于 180
小时的概率为(已知Φ1 0.8413)。

21 2013考研数学春季基础概率统计讲义第四章数字特征
§1 数学期望与方差的计算方法
一、利用数学期望与方差的定义及性质计算
一维随机变量的数字特征X 为离散型随机变量 X 为连续型随机变量
若 X 的分布律为:
x x LL x
X 若 X 的密度函数为 ?x,则
1 2 i
+∞
p p LL p
P
1 2 i
EX x ?xdx.(要求绝对收敛)
∫∞
则 EX x p .(要求绝对收收敛)
∑ i ii数学期望
(平均值)
EX 的性质
EX
(1) EC C ( C 为常数);
(2) ECX CEX ;
(3) EX + C EX + C ;
(4) EX + Y EX + EY ;
(5)若 X 与Y 相互独立,则EX Y EX EY
22 2
DXE X? EX EX ?EX
方差
DX 的性质
DX (1) DC 0 ( C 为常数);
(2) DC + X DX ;
标准差
2
(3) DCX C DX ; D ?X DX
DX
(4)若 X 与Y 相互独立,则 D XY ± + DX DY X 的 k 阶原点矩υ为
k
X 的 k 阶原点矩υ为
k
∞
+∞
矩 kk
kk υ EX xp . υ? EXx xdx.
∑
kii
k
∫
∞
i 1 22 2013考研数学春季基础概率统计讲义
二:重点题型
例 1 已知离散型随机变量 X的概率分布为 P(X1)0.2, PX20.3, PX30.5
1 写出 X 的分布函数 F(x) ;
2 求 X 的数学期望和方差。

例 2 设随机变量 X的概率密度为1,+?xx 若1≤≤0fx 1?≤ x, 若0 x≤10, 其他则 DX。

2 2
例 3(97) 设X是一随机变量EX μ,DX σ ( μ, σ 0 是常数) ,则对任意常数C必有
2 2 2 2 2
(A)E(X-C) EX -C (B)E(X-C) E(X- μ)
2 2 2 2
(C)E(X-C) EX- μ (D)E(X-C) ≥E(X- μ) [ ]
例 4(97) 设随机变量 Y服从参数为λ 1 的指数分布,随机变量
0, 若Y ≤ kX
k
1, 若Y k k 1,2求:(1)(X ,X )的联合概率分布;
1 2
(2)E(X +X )。

1 2 23 2013考研数学春季基础概率统计讲义
例 5(99) 设ξ和η是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知ξ的分布律为
1
P ξ i ,i 1,2,3又设X ξ, η,Y min ξ, η3
(1) 写出二维随机变量(X,Y)的分布律;
(2) 求 EX。

例 6 设一部机器在一天内发生故障的概率为 0.2,机器发生故障时全天停止工作。

一周
五个工作日,若无故障,可获利润 10 万元;发生一次故障仍可获利润 5万元;若发生两次
故障,获利润 0 元;若发生三次或三次以上故障就要亏损 2 万元。

求一周内的利润期望。

例 7 某设备由三大部件构成,在设备运转中各部件需要调整的概率相应为 0.10,0.20 和
0.30。

设各部件的状态相互独立,以 X 表示同时需要调整的部件数,试求E(X)和 D(X)。

例8(94) 设由自动线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布N( μ,1),
内径小于 10 或大于 12 为不合格品,其余为合格品。

销售每件合格品获利,销售每件不合
格品亏损。

已知销售利润 T(单元:元)与销售零件的内径 X 有如下关系。

1, 若X 10?
T 20, 若10 ≤ X ≤ 12? 5, 若X 12问平均内径μ取何值时,销售一个零件的平均利润最大?
24 2013考研数学春季基础概率统计讲义
二、利用随机变量函数的数字特征公式计算
(一)一维随机变量函数的数字特征公式:
1、设 X的分布律 P Xx P,则Yg x 的数学期望EY gxPX x;
∑
i i ii
I
+∞
2、设 X的概率密度为 f x ,则Yg x 的数学期望EY g x f x dx
∫
∞ (二)二维随机变量函数 Z gX,Y的数字特征公式:
+∞
1、若, XY的概率密度为 f,xy,则EZ gx,yfx,ydxdy;
∫∫
∞
+∞ +∞
E X xfx, ydxdy EY yfx,ydxdy
特别, ; ;
∫∫∫∫
∞ ?∞
2
+∞ +∞?
22 2
D X? EX EX x fx,ydxdy? xfx,ydxdy∫∫∫∫
∞?∞2
+∞ +∞?
22 2
D Y? EY EY y fx ,ydxdy? yfx ,ydxdy∫∫∫∫
∞ ?∞?
2、若, XY为离散型随机变量,则先求 Z gX,Y的分布律,再求 Z 的数学特征。

X ?11 2
2
例 1 已知 X的分布律为 11 1 ,则 D X 。

P
44 2 例 2 已知随机变量(X,Y)的联合密度为 x + ye , x 0, y 0Fx, y 0, 其他试求:(1) PX Y) ; (2) EXY。

25 2013考研数学春季基础概率统计讲义
例 3(02) 假设随机变量 U在区间[-2,2]上服从均匀分布,随机变量 ?1, 若U ≤ ?1?1, 若U ≤ 1
X Y 1, 若U ?1 1, 若U 1?
试求(1)X和 Y 的联合概率分布;(2)D(X+Y)。

例 4(06) 设随机变量 X和 Y 同分布,X的概率密度为
32
x , 0 x 28f x 0, 其他?
3
(1) 已知事件 A X a和B Y a独立,且PA U B ,求常数a;
4
1
(2) 求的数学期望。

2
X三、利用几种重要分布的数学期望与方差的结论计算几种重要分布的数学期望与方差
分布分布律或概率密度数学期望方差
kk 1PX k p q, k0,1
1.(0-1)
p pq
0 p 1, p + q 1 分布
k k n ?k
PX k C p q , k 0,1,2, L, n
n
np npq
2.二项分布
0 p 1, p + q 1
k
λλ
PX k e , k 0,1,2, L, λ 0
3.泊松分布λλ
k!
26 2013考研数学春季基础概率统计讲义2
xμ1
2
2
2 σ
μ
fx e , σ? 0, ∞ x+∞
4.正态分布σ
2πσ
1, ax b2
ba? a + b
ba
x
5.均匀分布
2
12? 0, 其他? λ xλex,0 1 1? x , λ 0 为参数)?
6.指数分布
2
0, x ≤ 0 λ
λ1p
1
k ?1
PX k 1p p , k 1,2, L,0 p 1
7.几何分布
2
p
p重点题型:2x
例 1 设随机变量 X服从参数为 1 的指数分布,则 EX + e 。

例 2 已知随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布,且胡机变量 Z3X-2,则EZ 。

例 3(95) 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为
2
0.4,则 EX 。

例 4(02) 设随机变量 X 的概率密度为
1 x?
cos , 0 ≤ x ≤π
f x
2 20 其他 27 2013考研数学春季基础概率统计讲义
π
2
对 X独立地重复观察 4次,用 Y表示观察值大于的次数,求Y 的数学期望。

3例 5 设随机变量X~N(-3,1) ,Y~N(2,1),且X 与Y 相互独立。

若ZX-2Y+7,则
Z~。

例 6 假设有十只同种电器元件,其中有两只废品。

装配仪器时,从这批元件中任
取一只,若是废品,则扔掉重新任取一只;若仍是废品,则扔掉再取一只。

试求在取到正
品之前,已取出的废品只数的数学期望和方差。

§2 协方差与相关系数
一、定义及性质
性质:
CX ov ,Y (1)CX ov ,X DX ;
协方差
E[XEX YEY ] (2)CX ov ,Y C ovY,X ;CX ov ,C 0 ;
CX ov ,Y
E XY EX EY (3) C ovaX ,bY abC ovX ,Y ;
(4)CX ov +X ,Y CX ov ,Y +CX ov ,Y 12 12
性质:
CX ov ,Y
(1) ?1 ≤ρ≤1,ρρ , ρ 1;
ρ
XY XY YX XX
XY
DXDY
相关系数
ρ 0
(2)若 X ,Y 相互独立,则 ;
XY
EXY EX EY
ρ
XY
(3) ρ 1X 与Y 以概率 1线性相关,即 ?常数 a,b 且
DXDY
a ≠ 0,使 P X aY +
b 128 2013考研数学春季基础概率统计讲义
二、几个常用结论。