2020-2021学年四川省遂宁市射洪中学高二(下)第一次月考数学试卷(文科)(附答案详解)

2020-2021学年四川省遂宁市射洪中学高二（下）第一次
月考数学试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
1.下列语句为命题的是()
A. 对角线相等的四边形
B. a<5
C. x2−x+1=0
D. 有一个内角是90°的三角形是直角三角形
2.已知a∈R，则“a≤1”是“a≤2”的()
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3.命题“∀x∈R，e x>x”的否定是()
A. ∃x∈R，e x<x
B. ∀x∈R，e x<x
C. ∀x∈R，e x≤x
D. ∃x∈R，e x≤x
4.双曲线x2
4−y2
12
=1的左右焦点分别为F1，F2，点在P双曲线上，若|PF1|=5，则
|PF2|=()
A. 1
B. 9
C. 1或9
D. 7
5.椭圆x2
25+y2
9
=1的焦距为()
A. 5
B. 3
C. 4
D. 8
6.椭圆x2
12+y2
8
=1与曲线x2
8−k
+y2
12−k
=1(0<k<8)的()
A. 焦距相等
B. 离心率相等
C. 焦点相同
D. 长轴长相等
7.直线y=kx+1(k∈R)与椭圆x2
5+y2
m
=1恒有两个公共点，则m的取值范围为()
A. (1,+∞)
B. [1,+∞)
C. (1,5)∪(5,+∞)
D. [1,5)∪(5,+∞)
8.已知实数1，m，4构成一个等比数列，则圆锥曲线x2
m
+y2=1的离心率为()
A. √2
2B. √3 C. √2
2
或√3 D. √2
2
或√6
2
9.已知椭圆x2
36+y2
9
=1，以及椭圆内一点P(4,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率
为()
A. −1
2B. 1
2
C. 2
D. −2
10. 已知双曲线
x 2a 2
−
y 2b 2
=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，双曲线的渐近线
上点P(3,4)满足PF 1⊥PF 2，则双曲线的方程为( )
A. x 2
16−y
2
9
=1 B. x 23−y 2
4
=1 C. x 29−y 2
16
=1 D. x 24−y 2
3
=1 11. 已知直线l 与直线x −y +1=0垂直，l 与圆x 2−2x +y 2−3=0相交于A ，B 两点
.若|AB|=2√2，且l 经过椭圆C ：x 2
m +
y 22
=1的一个焦点，则所有可能的m 的值的
和为( )
A. 9
B. 12
C. 14
D. 15
12. 已知两定点A(−1,0)和B(1,0)，动点P(x,y)在直线l ：y =x +3上移动，椭圆C 以A ，
B 为焦点且经过点P ，则椭圆
C 的离心率的最大值为( )
A. √5
5
B. √105
C. 2√5
5
D. 2√105
二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 29
−
y 216
=1的渐近线方程为______ ．
14. 焦点在y 轴上的椭圆
x 2m
+
y 22
=1的离心率为1
2，则m 的值为______．
15. 已知F 1、F 2是椭圆C ：
x 2
a 2
+y 2
b 2=1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .若△PF 1F 2的面积为9，则b =______．
16. 已知椭圆C 和双曲线Q 有相同焦点F 1，F 2，且它们的离心率分别为e 1，e 2，设点M
是C 与Q 的一个公共点，若∠F 2MF 1=60°，则e 12+e 2
2
的最小值为______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 设p ：x >a ，q ：x >3．
(1)若p 是q 的必要不充分条件，求a 的取值范围； (2)若p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．
18.已知椭圆C中心在原点，焦点为F1(−2√2,0)，F2(2√2,0)，且离心率e=2√2
．
3
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，求△ABF2的周长．
19.已知椭圆C的焦点为F1(−2√2,0)和F2(2√2,0)，长轴长为6，设直线y=x+2交椭
圆C于A，B两点.求：
(1)椭圆C的标准方程；
(2)弦AB的中点坐标及弦长．
20.设命题p：对∀x∈R，x2−2x−4m>0恒成立，命题q：∃x0∈R，x02+2mx0−5m−
6=0．
(1)若p∧q为真，求实数m的取值范围；
(2)若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．
21.已知平面内一点P与两个定点F1(−√3 , 0)和F2(√3 , 0)的距离的差的绝对值为2．
(Ⅰ)求点P的轨迹方程C；
(Ⅱ)设过(0,−2)的直线l与曲线C交于A，B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，求直线l的方程．
22.已知椭圆C：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为1
2
，直线l：x+2y=4与椭圆有且
只有一个交点T．
(1)求椭圆C的方程和点T的坐标；
(2)O为坐标原点，与OT平行的直线l′与椭圆C交于不同的两点A，B，直线l′与直
线l交于点P，试判断|PT|2
|PA|⋅|PB|
是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】 【分析】
本题考查的知识要点：命题的定义的应用，主要考查学生对定义性知识的认知能力，属于基础题型．
直接利用命题的定义和形式进行判断， 【解答】
解：命题的定义为：能够判断真假的陈述句为命题，并且写成若…，则…，的形式． 对于选项A 和B ：由于不能判断这句话的真假，故错误． 对于选项C ：由于x 2−x +1=(x −1
2)2+3
4>0，故错误．
对于选项D ：符合命题的定义：若有一个内角是90°，则这个三角形是直角三角形，故正确． 故选：D ．
2.【答案】A
【解析】解：∵{a|a ≤1}⫋{a|a ≤2}， ∴a ≤1是a ≤2的充分不必要条件， 故选：A ．
先得到{a|a ≤1}⫋{a|a ≤2}，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可．
本题主要考查充分条件、必要条件的定义，通过集合的包含关系是关键，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x ∈R ，e >x ”的否定是：∃x ∈R ，e x ≤x ． 故选：D ．
直接利用全称命题是否定是特称命题写出结果即可．
本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4.【答案】B
【解析】解：双曲线x2
4−y2
12
=1的a=2，b=2√3，c=√4+12=4，
点在P双曲线的右支上，可得|PF1|≥a+c=6，
点在P双曲线的左支上，可得|PF1|≥c−a=2，
由|PF1|=5可得P在双曲线的左支上，可得|PF2|−|PF1|=2a=4，
即有|PF2|=5+4=9．
故选：B．
求得双曲线的a，b，c，判断P的位置，结合双曲线的定义，可得所求值．
本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查定义法解题，以及分类讨论思想，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：∵a2=25，b2=9，
∴c2=25−9=16，
∴2c=8．
故选：D．
因为a2=25，b2=9，所以c2=25−9=16，由此能得到焦距．
本题考查椭圆的简单性质，解题时要注意公式的灵活运用．
6.【答案】A
【解析】解：椭圆x2
12+y2
8
=1的焦距为：2√12−8=4；
曲线x2
8−k +y2
12−k
=1(0<k<8)的焦距为2√12−k−8+k=4，
所以两条曲线的焦距相同，故选：A．
求出椭圆x2
12+y2
8
=1的焦距，然后求解x2
8−k
+y2
12−k
=1(0<k<8)的焦距，即可推出结果．
本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交与判别式的关系、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
直线方程与椭圆方程联立化为：(m+5k2)x2+10kx+5−5m=0.根据直线与椭圆恒有两个公共点，可得△>0，m>0，m≠5.解出即可得出．
【解答】
解：联立{y=kx+1
x2
5
+y2
m
=1，化为：(m+5k
2)x2+10kx+5−5m=0．
∵直线与椭圆恒有两个公共点，
∴△=100k2−4(m+5k2)(5−5m)>0，m>0，m≠5．
化为：m2−(1−5k2)m>0，m>0，m≠5．
∴m>1−5k2，m>0，m≠5，又k∈R，
∴m>1，且m≠5．
∴m的取值范围为(1,5)∪(5,+∞)．
故选：C．
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查离心率的计算，根据条件求出m的值，结合椭圆和双曲线离心率的定义分别进行求解是解决本题的关键，属于基础题．
根据等比数列的性质求出m的值，结合双曲线和椭圆的离心率进行求解即可．
【解答】
解：∵数1，m，4构成一个等比数列，
∴m2=4，即m=2或m=−2，
若m=2，则曲线方程为x2
2
+y2=1，此时为椭圆，则a=√2，b=1，c=1.则离心率
e=c
a =
2
=√2
2
，
若m=−2，则曲线方程为−x2
2
+y2=1，此时为双曲线，则a=1，b=√2，c=√3.则
离心率e=c
a
=√3，
则圆锥曲线的离心率为√2
2
或√3，
故选：C
9.【答案】A
【解析】解：设以点P为中点的弦所在直线与椭圆相交于点A(x1,y1)，B(x2,y2)，斜率为k．
则x12
36+y12
9
=1，x22
36
+y22
9
=1，两式相减得(x1+x2)(x1−x2)
36
+(y1+y2)(y1−y2)
9
=0，
又x1+x2=8，y1+y2=4，y1−y2
x1−x2
=k，
代入得8
36+4k
9
=0，解得k=−1
2
．
故选：A．
利用中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”即可得出．
熟练掌握中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查双曲线的方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
由渐近线方程可得a，b的关系，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，可得c，由a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到所求双曲线方程．
【解答】
解：双曲线x2
a2−y2
b2
=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±b
a
x，
可得b
a =4
3
，
PF1⊥PF2，可得4
3+c ·4
3−c
=−1，
解得c=5，即a2+b2=25，解得a=3，b=4，
则双曲线的方程为x2
9−y2
16
=1．
故选C．
11.【答案】D
【解析】解：设直线l的方程为x+y+t=0，因为圆x2−2x+y2−3=0的圆心为(1,0)，半径r=2，且|AB|=2√2，
故圆心到l的距离d=√r2−(AB
2
)2=√2．
由点到直线的距离公式得d=
√2
=√2，解得t=1或t=−3，
直线l的方程为x+y+1=0或x+y−3=0，
所以l与坐标轴的交点为(−1,0)，(0,−1)或(3,0)，(0,3)，
则m−2=1或m−2=9或2−m=1，解得m=1或3或11．
故所有可能的m的值的和为1+3+11=15．
故选：D．
由题意设直线l的方程，由圆的方程求出圆心坐标及半径，求出圆心到直线l的距离，由弦长公式求出直线l的参数的值，再由直线l过椭圆的焦点，分椭圆的焦点在x，y轴，求出m的值，进而求出所有的m的值和．
本题考查与已知直线垂直的方程的求法，及直线与圆相交的相交弦长的方法，属于中档题．
12.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．
求出A的对称点的坐标，然后求解椭圆长轴长的最小值，然后求解离心率即可．
解：A(−1,0)关于直线l：y=x+3的对称点为A′(−3,2)，连接A′B交直线l于点P，
则椭圆C的长轴长的最小值为|A′B|=2√5，
所以椭圆C的离心率的最大值为：c
a =
√5
=√5
5
．
故选：A．
13.【答案】y =±4
3x
【解析】解：双曲线
x 29
−y 216=1的渐近线方程为：y =±4
3x ，
故答案为：y =±4
3x.
利用双曲线方程求解渐近线方程即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．
14.【答案】3
2
【解析】解：根据题意，椭圆x 2m
+
y 22
=1的焦点在y 轴上，
有0<m <2， 其中a =√2，b =√m ， 则c =√2−m ， 又由椭圆的离心率为1
2， 即e =c
a
=
√2−m √2
=1
2，
解可得：m =3
2； 故答案为：3
2
根据题意，由椭圆的标准方程分析可得a 、b 的值，计算可得c 的值，结合椭圆的离心率公式可得e =c
a
=
√2−m √2
=1
2，解可得m 的值，即可得答案．
本题考查椭圆的标准方程以及椭圆的几何性质，注意椭圆的焦点在y 轴上．
15.【答案】3
【解析】解：∵F 1、F 2是椭圆C ：x 2
a 2
+y 2
b 2=1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．
∴|PF 1|+|PF 2|=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，1
2|PF 1||PF 2|=9， ∴(|PF 1|+|PF 2|)2=4c 2+2|PF 1||PF 2|=4a 2， ∴36=4(a 2−c 2)=4b 2，
故答案为3．
由已知得|PF 1|+|PF 2|=2a ，|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2，1
2|PF 1||PF 2|=9，由此能得到b 的值．
主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识．
16.【答案】1+√3
2
【解析】解：不妨设椭圆方程为x 2
a 2
+y 2b 2=1(a >b >0)，双曲线方程为x 2m 2−y 2
n 2=1(m >0,n >0)．
再设|MF 1|=s ，|MF 2|=t ，M 为第一象限的交点， 由椭圆和双曲线的定义可得s +t =2a ，s −t =2m ， 解得s =a +m ，t =a −m ， 在三角形F 1MF 2中，∠F 1MF 2=60°，
可得4c 2=s 2+t 2−2stcos60°=a 2+m 2+2am +a 2+m 2−2am −(a 2−m 2)， 即有a 2+3m 2=4c 2， 可得
a 2
c 2
+3m 2c 2=4，
即为1
e 1
2+3
e 2
2=4，
则e 1
2+e 22=14(1e 1
2+3e 2
2)(e 12+e 22
)=1
4(4+e 22
e 1
2
+3e 12e 2
2)≥1
4(4+2√3)，
当且仅当e 22e 1
2=
3e 12e 2
2，即e 22=√3e 12，取得最小值1+√3
2．
故答案为：1+√3
2
． 设出椭圆方程与双曲线方程，再设|MF 1|=s ，|MF 2|=t ，由椭圆和双曲线的定义，解方程可得s ，t ，再由余弦定理，可得a ，m 与c 的关系，结合离心率公式，以及基本不等式，可得所求最小值．
本题考查椭圆和双曲线的定义和性质，主要是离心率，考查解三角形的余弦定理，以及基本不等式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：设A ={x|x >a}，B ={x|x >3}，
(1)∵p 是q 的必要不充分条件，∴B ⫋A ，
(2)∵p 是q 的充分不必要条件，∴A ⫋B ， ∴a >3．
【解析】设A ={x|x >a}，B ={x|x >3}，
(1)若p 是q 的必要不充分条件，则B ⫋A ，进而可得a 的范围． (2)若p 是q 的充分不必要条件，则A ⫋B ，进而可得a 的范围．
本题考查了充分条件，必要条件的应用，考查计算能力和推理能力，属于基础题．
18.【答案】解析：(1)因为F 1(−2√2,0)，F 2(2√2,0)，e =2√2
3
， 所以a =3,c =2√2，
得到b 2=a 2−c 2=1 又椭圆的焦点在x 轴上， 所以求椭圆的标准方程为
x 29
+y 2=1．
(2)因为F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点；
根据椭圆的定义得△ABF 2的周长为|AB|+|AF 2|+|BF 2|=|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=4a =12， 故△ABF 2的周长为12．
【解析】(1)由条件有a =3，c =2√2，求出b 即可；
(2)|AB|=|AF 1|+|F 1B|，然后用椭圆的定义可得三角形的周长为4a =12． 本题考查椭圆的基本的几何性质，椭圆的定义，属于基础题．
19.【答案】解：(1)∵椭圆C 的焦点为F 1(−2√2,0)和 F 2(2√2,0)，长轴长为6，
∴椭圆的焦点在x 轴上，c =2√2，a =3， ∴b =1， ∴椭圆C 的标准方程
x 29
+y 2=1．
(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，AB 线段的中点为M(x 0,y 0)， 由{x 2+9y 2=9y =x +2，消去y ，得10x 2+36x +27=0，Δ>0， ∴x 1+x 2=−18
5，x 1x 2=27
10，∴x 0=−9
5． ∵y 0=x 0+2=2−9
5=1
5，
∴弦AB 的中点坐标为(−95,1
5)，
|AB|=√1+k |x 1−x 2| =√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2
=√2√(−18
5)2−4×27
10=
6√35
．
【解析】本题主要考查椭圆方程的求法，考查弦AB 的中点坐标及弦长.解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用，属于中档题．
(1)由椭圆C 的焦点为F 1(−2√2,0)和F 2(2√2,0)，长轴长为6，能求出椭圆C 的标准方程； (2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，AB 线段的中点为M(x 0,y 0)，由{x 2+9y 2=9
y =x +2，得10x 2+36x +
27=0，故x 1+x 2=−18
5，x 1x 2=27
10，由此能求出弦AB 的中点坐标及弦长．
20.
【答案】解：(1)p 为真命题，命题p ：对∀x ∈R ，x 2−2x −4m >0恒成立，则：△<0，即m <−1
4，①
q 为真命题，题q ：∃x 0∈R ，x 02+2mx 0−5m −6=0.则：
△≥0，即m ≥−2或m ≤−3.② 若p ∧q 为真，由①②可得：m ≤−3，或−2≤m <−1
4
(2)若p ∨q 为真，p ∧q 为假，则有二种情况：p 真q 假；p 假q 真； 若p 真q 假，则：−3<m <−2 若p 假q 真，则：m ≥−1
4
∴实数m 的取值范围是：−3<m <−2或m ≥−1
4
【解析】由已知可得p 、q 命题的真假，(1)根据逻辑连词命题定义可判断．(2)若p ∨q 为真，p ∧q 为假，则有二种情况：p 真q 假；p 假q 真；讨论可得答案．
本题考查复合命题的真假判断，注意p ∨q 、，p ∧q 的真假判断，数形结合法．是中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)根据双曲线的定义，可知动点P 的轨迹为双曲线，
其中a =1，c =√3，则b =√c 2−a 2=√2． 所以动点P 的轨迹方程C ：x 2−
y 22
=1.
(Ⅱ)当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx −2，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 由方程组{
x 2−
y 2
2=1 
y =kx −2 
得(2−k 2)x 2+4kx −6=0.
因为直线l 与曲线C 交于A ，B 两点， 所以{
2−k 2≠0
Δ=(4k)2−4×(2−k 2)×(−6)>0, 即−√6<k <√6且k ≠±√2. (∗)
由根与系数关系得 x 1+x 2=−4k
2−k 2，x 1⋅x 2=−6
2−k 2， 因为y 1=kx 1−2，y 2=kx 2−2，
所以y 1y 2=k 2x 1⋅x 2−2k(x 1+x 2)+4. 因为OA ⊥OB ，所以OA
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即x 1x 2+y 1y 2=0， 所以 (1+k 2)x 1x 2−2k(x 1+x 2)+4=0， 所以(1+k 2)⋅−6
2−k 2−2k ⋅−4k
2−k 2+4=0，
即k 2=1，解得k =±1，由(∗)式知k =±1符合题意． 所以直线l 的方程是y =x −2或y =−x −2．
【解析】(Ⅰ)由双曲线的定义知该轨迹为双曲线，从而由所给条件可求得其标准方程； (Ⅱ)当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx −2，与双曲线方程联立消掉y 得关于x 的一元二次方程，根据韦达定理可用k 表示出x 1+x 2，x 1x 2，进而表示出y 1y 2，由OA ⊥OB ，可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即x 1x 2+y 1y 2=0，从而转化为关于k 的方程，解出即可，注意检验所求k 值是否符合题意要求； 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及双曲线的标准方程的求解，考查学生对问题的转化能力，考查学生利用知识分析问题解决问题的能力，属中档题．
22.【答案】解：(1)由e =c a =√1−b 2
a 2=12
，b 2=3
4a 2，
联立{x +2y =4x 2
a 2
+4y 2
3a 2=1，
消去x ，整理得：16
3y 2−16y +16−a 2=0，① 由Δ=0，解得：a 2=4，b 2=3， ∴椭圆的标准方程
x 24
+
y 23
=1，
由①可知y T =32，则T(1,3
2)；
(2)设直线l′的方程为y =3
2x +t ， 由{y =3
2x +t x +2y =4
， 解得P 的坐标为(1−t 2,3
2+t
4)， 所以|PT|2=5
16t 2， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立{
y =3
2x +t
3x 2
+4y 2=12
，
消去y 整理得x 2+tx +t 23
−1=0，
则{x 1+x 2=−t x 1x 2=t 2−33
， △=t 2−4(t 2
3−1)>0，t 2<12， y 1=3
2x 1+t ，y 2=3
2x 2+t ， |PA|=√(1−t
2
−x 1)2+(3
2
+t
4
−y 1)2=
√132|2−t
2
−x 1|，
同理|PB|=√132
|
2−t
2
−x 2|， |PA|⋅|PB|=134|(2−t 2−x 1)(2−t 2
−x 2)| =
134|(2−t 2)2−2−t
2
(x 1+x 2)+x 1x 2| =134|(2−t 2)2−2−t 2(−t)+t 2−33
| =
1348t 2
， ∴|PT|2
|PA|⋅|PB|=
5t 21613t 248
=15
13，
∴|PT|2
|PA|⋅|PB|=15
13为定值．
【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，两点之间的距离公式，属于中档题．
(1)根据椭圆的离心率公式，得到b 2=3
4a 2，将直线方程代入椭圆方程由Δ=0，即可求得椭圆方程；
(2)设直线l′的方程，联立求得P 点坐标，将直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及
两点之间的距离公式，求得|PA|⋅|PB|，即可求得答案．。