高一数学下学期全册模块复习课件+配套单元过关检测及综合质量检测 (1)

与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0, 再由直线所过的点确定C2.
【变式训练】(2018· 荆州高一检测)已知直线l的方程
为x+2y-1=0,点P的坐标为(1,-2).
(1)求过P点且与直线l平行的直线方程. (2)求过P点且与直线l垂直的直线方程.
【解析】(1)设过P点且与直线l平行的直线方程为
答案:(-∞,-2]
【方法技巧】直线恒过定点的求解策略
(1)将方程化为点斜式,求得定点的坐标.
(2)将方程变形,把x,y作为参数的系数,因为此式子对 任意的参数的值都成立,故需系数为零,解方程组可得
x,y的值,即为直线过的定点.
【拓展延伸】已知含参的直线的一般式方程求参数的
值或取值范围的步骤
【补偿训练】1.直线l:(k+1)x-(k-1)y-2k=0恒过定点
故当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.
【方法技巧】过一点与已知直线平行(垂直)的直线方
程的求法
(1)由已知直线求出斜率,再利用平行(垂直)的直线斜 率之间的关系确定所求直线的斜率,由点斜式写方程.
(2)可利用如下待定系数法:与直线Ax+By+C=0平行的直
线方程可设为Ax+By+C1=0,再由直线所过的点确定C1;
求直线的一般式方程和截距式方程.
【解析】直线过A(-5,6),B(-4,8)两点,
由两点式得 y 6 ＝ x 5 ,
86 4 5
整理得2x-y+16=0,所以2x-y=-16,两边同除以-16得,
x y =1. ＋ 8 16
故所求直线的一般式方程为2x-y+16=0,
截距式方程为 x ＋ y =1.
答案:[1,+∞)
2.若典例1中的方程不变,当a取何值时,直线不过第二
象限?
【解析】把直线l化成斜截式,得y=(1-a)x+a+2,因为直
线l不过第二象限,故该直线的斜率大于等于零,且直线
1 a 0, 解得a≤-2. 在y轴上的截距小于等于零.即 a 2 0,
所以a的取值范围为(-∞,-2].
的值.因此,只要给出两个条件,就可以求出直线方程.
(2)在求直线方程时,设一般式方程有时并不简单,常用
的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程,然
后可以转化为一般式. 提醒:在利用直线方程的四种特殊形式时,一定要注意
其适用的前提条件.
【补偿训练】1.已知直线l经过点A(-5,6)和点B(-4,8),
【解析】1.(1)方法一:已知直线l:3x+4y-20=0的斜率
k=-
3 .过A(2,2)与l平行的直线方程为y-2=- 3 (x-2). 4 4
即3x+4y-14=0.
方法二:设所求直线方程为3x+4y+c=0,
由点A(2,2)在直线上,得3×2+4×2+c=0,
所以c=-14.所以所求直线方程为3x+4y-14=0.
即- m =- 1 ,且-4≠- 3 ,所以m=± 2 . m
整理得x-y+3=0.
答案:x-y+3=0
5.斜率为2,且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为 ________.
【解析】由直线的点斜式方程可得y-3=2(x-1),
化成一般式方程为2x-y+1=0. 答案:2x-y+1=0
类型一
直线的一般式方程
【典例】1.若方程Ax+By+C=0表示直线,则A,B应满足的
3.2.3
直线的一般式方程
1.直线与二元一次方程的关系、一般方程与几种特殊 形式方程间的转化
斜截式 两点式 Ax+By+C=0 截距式
点斜式
2.直线的一般式方程
形式
Ax+By+C=0 __________ 不同时为0 A,B__________
条件
【点拨】直线的一般式方程的结构特征 (1)方程是关于x,y的二元一次方程.
【解析】1.把直线l化成斜截式,得y=(1-a)x+a+2,因为
直线l不过第三象限,故该直线的斜率小于等于零,且直
1 a 0， 解得a≥1. 线在y轴上的截距大于等于零.即 a 2 0，
所以a的取值范围为[1,+∞).
答案:[1,+∞)
2.(1)因为直线l的斜率存在,所以直线l的方程可化为
8 16
2.根据下列条件分别写出直线的方程,并化为一般式方
程.
(1)斜率是 3 ,且经过点A(5,3). (2)过点B(-3,0),且垂直于x轴. (3)斜率为4,在y轴上的截距为-2. (4)在y轴上的截距为3,且平行于x轴.
(5)经过A(-1,5),B(2,-1)两点.
【解析】(1)由点斜式方程得y-3= 3 (x-5),
条件为
A.A≠0 C.A· B≠0
(
)
B.B≠0 D.A2+B2≠0
2.根据下列各条件写出直线的方程,并且化成一般式.
(1)斜率是- 1 ,经过点A(8,-2).
2
(2)经过点B(4,2),平行于x轴. (3)在x轴和y轴上的截距分别是 3 ,-3.
2
(4)经过两点P1(3,-2),P2(5,-4).
【审题路线图】求直线的一般式方程⇒求出直线方程
的不同形式,再化为一般式.
【解析】1.选D.A,B不能同时为0,A2+B2≠0.
2.(1)由点斜式得y-(-2)=- 1 (x-8),
2
即x+2y-4=0. (2)由斜截式得y=2,即y-2=0.
(3)由截距式得 x ＋ y =1,即2x-y-3=0.
2.已知点A(3,a)在直线2x+y-7=0上,则a等于 ( A.1 B.-1 C.2 D.-2
)
【解析】选A.因为点A(3,a)在直线2x+y-7=0上,所以 2×3+a-7=0,所以a=1.
3.直线kx-y+1-3k=0,当k变化时,)
B.(0,1)
C.(3,1)
若直线l不过第三象限,则a的取值范围为________.
2.设直线l的方程为2x+(k-3)y-2k+6=0(k≠3),根据下
列条件分别确定k的值:
(1)直线l的斜率为-1. (2)直线l在x轴,y轴上的截距之和等于0.
【审题路线图】含有参数的一般式直线方程问题⇒化
为直线方程的相应形式,根据实际情况求解.
(2)方法一:过A与l垂直的直线的斜率k1=- 1 = 4 ,
k
3
方程为y-2= 4 (x-2).即4x-3y-2=0为所求.
3
方法二:设所求直线方程为4x-3y+λ=0, 由点A(2,2)在直线上,得4×2-3×2+λ=0,
所以λ=-2.所以所求直线方程为4x-3y-2=0.
2.方法一:由题意,直线l1⊥l2,
2),斜截式方程为y=2x-3,一般式方程为2x-y-3=0,直
3 线l在x轴上的截距为 ,在y轴上的截距为-3. 2
【方法技巧】求直线的一般式方程的策略
(1)当A≠0时,方程可化为x+ B y+ C =0,只需求 B , C
A
A A A 的值;若B≠0,则方程化为 A x+y+ C =0,只需确定 A , C B B B B
x+2y+k=0,
则1+2×(-2)+k=0,即k=3, 所以过P点且与直线l平行的直线方程为x+2y+3=0.
(2)设过P点且与直线l垂直的直线方程为2x-y+b=0,
则2×1-(-2)+b=0,即b=-4,
所以过P点且与直线l垂直的直线方程为2x-y-4=0.
【补偿训练】已知两直线方程l1:mx+2y+8=0和
2.已知直线l:5ax-5y-a+3=0.
(1)求证:不论a为何值,直线l总经过第一象限.
(2)为使直线l经过第一、三、四象限,求a的取值范围.
【解析】(1)将直线l的方程整理为 y 3 a(x 1 )，
1 3 所以l的斜率为a,且过定点A ( , ), 5 5 1 3 而点A ( , ) 在第一象限, 5 5 5 5
D.(2,1)
【解析】选C.直线方程可化为y-1=k(x-3), 所以无论k为何值时,都过定点(3,1).
4.直线l过点(-1,2)和点(2,5),则直线l的方程为 ________.
【解析】由题意直线过两点,由直线的两点式方程可
得: y 2 ＝ x 1 ,
52 2 1
(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x,y,常数的先后
顺序排列.
(3)x的系数一般不为分数和负数.
(4)虽然一般式直线方程有三个系数,但只需两个独立 的条件即可求得直线的方程.
【自我检测】 1.直线-2x+y+3=0的斜率k= ( )
A.2
B.-2
C. 1
2
D.- 1
2
【解析】选A.因为y=2x-3,故k=2.
3 2 3
(4)由两点式得 y 2 ＝ x 3 ,即x+y-1=0.
4 2 53
【变式训练】已知直线l经过点A(2,1),B(3,3),求直线l
的点斜式、斜截式和一般式方程,并根据方程指出直线
在x轴、y轴上的截距.
【解析】因为kl= 3 1 =2,所以点斜式方程为y-1=2(x3 2
①若1-a=0,即a=1时,
直线l1:3x-1=0与直线l2:5y+2=0,显然垂直.
3 ②若2a+3=0,即a=时, 2
直线l1:x+5y-2=0与直线l2:5x-4=0不垂直.
③若1-a≠0,且2a+3≠0,则直线l1,l2的斜率k1,k2都存在,
k1＝－ a2 a 1 ，k 2＝－ ， 1 a 2a 3
l2:x+my+3=0,当m为何值时:
(1)两直线互相平行? (2)两直线互相垂直?
【解析】(1)当m=0时,l1与l2显然不平行.
当m≠0时,l1的斜率k1=- m ,
2
在y轴上的截距b1=-4, l2的斜率k2=- 1 ,在y轴上的截距b2=- 3 .
m m
因为l1∥l2,所以k1=k2,且b1≠b2,
当l1⊥l2时,k1· k2=-1, 即 ( a 2 ) ( a 1 ) =-1,所以a=-1.
1 a 2a 3
综上可知,当a=1或a=-1时,直线l1⊥l2.
方法二:由直线l1⊥l2,
所以(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,
解得a=±1. 将a=±1代入方程,均满足题意.
整理得 3 x-y+3-5 3 =0.
(2)x=-3,即x+3=0. (3)y=4x-2,即4x-y-2=0.
(4)y=3,即y-3=0.
(5)由两点式方程得 y 5 ＝ x 1 ,
1 5 2 1
整理得2x+y-3=0.
类型二
与含参数的一般式方程有关的问题
【典例】1.设直线l的方程为(a-1)x+y-2-a=0(a∈R).
y=- 2 x+2.由题意得-
2 =-1,解得k=5. k 3 k 3 x y (2)直线l的方程可化为 ＋ =1. k 3 2
由题意得k-3+2=0,解得k=1.
【延伸探究】
1.典例1中若将方程改为“x+(a-1)y-2-a=0(a∈R)”,
其他条件不变,又如何求解?
【解析】(1)当a-1=0,即a=1时,直线为x=3,该直线不过
(
A.(-1,1) C.(-1,-1) B.(1,-1) D.(1,1)
)
【解析】选B.由(k+1)x-(k-1)y-2k=0,
得k(x-y-2)+x+y=0,
x y 2 0, x 1, 由 得 x y 0, y 1.
所以直线l过定点(1,-1).
故不论a为何值,直线l恒过第一象限.
(2)将方程化为斜截式方程: y ax a 3 .
5 a＞0， 解得a>3. 要使l经过第一、三、四象限,则 a 3 ＜0， 5
类型三
一般形式下直线的平行与垂直的问题
【典例】1.写出过点A(2,2)且满足下列条件的直线方
程: (1)与直线l:3x+4y-20=0平行.
第三象限,符合.
(2)当a-1≠0,即a≠1时,直线化为斜截式方程为
y= 1 x 2 a ,因为直线l不过第三象限,故该直线的斜
1 a 1 a
率小于等于零,且直线在y轴上的截距大于等于零.
1 0, 解得a>1.由(1)(2)可知a≥1. 即 1 a 2 a 0, 1 a
(2)与直线l:3x+4y-20=0垂直.
2.当a为何值时,直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线
l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直?
【审题路线图】1.求过已知点与已知直线平行、垂直
的直线方程⇒待定系数法求方程.
2.含参数的两直线平行、垂直⇒两直线平行、垂直的 条件.