2022版新教材数学人教A版必修第一册基础训练：第四章加练课4复合函数的图象与性质Word版含解析

课时评价作业
根底达标练
1.函数f(x)的定义域是[0,1)，那么函数F(x)=f[log 0.5(3−x)]的定义域为( )
A.[0,1)
B.(2,3]
C.[2,52〕
D.(2,52]
答案：C
2.〔2021贵州毕节实验高级中学高一期中〕以下函数为奇函数的是( )
A.f(x)=(12)x
B.f(x)=−|x +1|
C.f(x)=12(2x −2−x )
D.f(x)=lg(x +1) 答案：C
3.〔2021陕西山阳校级月考〕假设f(x)=log a (3−ax)在[0，1]上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )
A.0＜a ＜3
B.a ＞1
C.1＜a ＜3
D.0＜a ＜1
答案：C
4.函数f(x)={∣2x −1∣,x <2,3x−1
,x ≥2,那么函数g(x)=f[f(x)]−2的零点个数为( ) 答案：B
5.函数f(x)={4∣x−1∣,x >0,−x 2−4x +1,x ≤0,
.假设关于x 的方程[f(x)]2−2af(x)+a +2=0有8个不等的实数根，那么实数a 的取值范围是( )
A.(1,187)
B.(1,94)
C.(2,187)
D.(2,94) 答案：C
6.假设函数f(x)=log 2(4x +1)−kx 为R 上的偶函数，那么k = .
答案： 1
解析：∵函数f(x)=log 2(4x +1)−kx 为R 上的偶函数，
∴f(−x)=f(x)，
即log 2(4−x +1)+kx =log 2(4x +1)−kx ，
故log 24x +1
4−x +1=2kx,
化简得log 24x =2kx,
那么log 222x =2kx,即2x =2kx,解得k =1 .
7.点(8,m)在幂函数f(x)=(m−3)x a的图象上，那么函数g(x)=log a(−x2+mx+5)的单调递减区间是 .
答案：(−1，2)
8.奇函数f(x)是R上的单调函数，假设函数y=f(x2)+f(k−x)只有一个零点，那么实数k的值是 .
答案：1
4
9.〔2021江苏南京鼓楼高一期末〕设a为正实数，且a≠1，函数f(x)=log a(2x+1+a
2x
−4),x∈
R.
〔1〕假设f(x)为偶函数，求a的值;
〔2〕假设函数f(x)的值域为R，求a的取值范围.
答案：〔1〕由题意得f(−x)=log a(21−x+a
2−x −4)=log a(2
2x
+2x a−4)，
假设f(x)为偶函数，那么f(x)=f(−x)，
即log a(2x+1+a
2x −4)=log a(2
2x
+2x a−4)，
那么2x+1+a
2x =2
2x
+2x a,解得a=2.
〔2〕根据题意，f(x)=log a(2x+1+a
2x
−4)，
设g(x)=2x+1+a
2x
−4,
假设函数f(x)的值域为R，那么必有g(x)min≤0，
因为a＞0,所以g(x)=2x+1+a
2x −4≥2√2x+1×a
2x
−4=2√2a−4,
当且仅当2x+1=a
2x
时等号成立，即g(x)的最小值为2√2a−4，那么有2√2a−4≤0，解得0＜a≤2，
故a的取值范围为(0，2].
10.函数f(x)=lg3−x
3+x +1
x+3
.
〔1〕求f(x)的定义域;
〔2〕解关于x的不等式f(log2x)+lg5−1
5
≤0.
答案：〔1〕根据题意,必有3−x
3+x
＞0且x+3≠0,解得−3＜x＜3, 所以f(x)的定义域为(-3,3).
〔2〕根据题意得,f(2)=lg1
5+1
5
=−lg5+1
5
.
设g(x)=lg 3−x 3+x ,t =3−x 3+x ,那么y =lgt ,
当−3＜x ＜3时,t =3−x 3+x =−1+6x+3为减函数,
因为y =lgt 为增函数,所以g(x)在(-3,3)上为减函数,
又y =1x+3在(-3,3)上为减函数,
所以f(x)=lg 3−x 3+x +1x+3在(-3,3)上为减函数,
f(log 2x)+lg5−15≤0⇒f(log 2x)−lg5+15
⇒f(log 2x)≤f(2)⇒{log 2x ≥2,−3<log 2x <3, 解得4≤x ＜8 ,即不等式的解集为[4,8) .
素养提升练
11.函数y =f(x +1x
)的定义域为〔12,3] ,那么函数y =f(1−3x)的定义域为( ) A.[−3,−12) B.[−23,16) C.[−79,−13] D.(12,3]
答案：C
解析：令y =x +1x ,由对勾函数的性质可知,当x =1时,y =x +1x 取得最小值2;当x =3时,y =x +1x 取得最大值103 .故y =x +1x ∈[2,103] ,即f(x)的定义域为[2,103] . 令2≤1−3x ≤103 ,解得x ∈[−79,−13] .故函数y =f(1−3x)的定义域为[−79,−13] .应选C. 12.定义在(0,+∞)上的单调函数f(x)满足：∀x ∈(0,+∞),f(f(x)−log 2x)=3 ,那么方程f(x +1)−f(x)=2的解所在的区间是( )
A.(0,12)
B.(12,1)
C.〔1,2〕
D.〔2,3〕
答案：A
解析：因为∀x ∈(0,+∞),f(f(x)−log 2x)=3 ,且函数f(x)在(0,+∞)上为单调函数,所以f(x)−log 2x 必为定值.设t =f(x)−log 2x ,那么f(x)=t +log 2x ,又因为f(t)=3 ,所以t +log 2t =3 ,解得t =2 ,所以f(x)=log 2x +2 .所以方程f(x +1)−f(x)=2,即log 2(x +
1)−log 2x =2,所以x+1x =4,解得x =13 ,应选A.
13.假设函数f(x)=a x
2−2x+1
在〔1,3〕上单调递减,那么函数y =log a (x 2−2x)的增区间是 . 答案：(−∞,0) 解析：设y =a t ,t =x 2−2x +1 ,易知t =x 2−2x +1在〔1,3〕上单调递增,
∵函数f(x)=a x 2−2x+1在〔1,3〕上单调递减,
∴y =a t 在〔1,3〕上单调递减,可得0＜a ＜1 ,
∴函数y =log a (x 2−2x)的增区间就是y =x 2−2x 的减区间,
令x 2−2x ＞0 ,解得x ＞2或x ＜0 ,
∴函数y =log a (x 2−2x)的增区间是(−∞,0) .
14.函数f(x)={2−∣x ∣,x ≤2,(x −2)2,x >2,
函数g(x)=b −f(2−x) ,其中b ∈R ,假设函数ℎ(x)=f(x)−g(x)恰有4个零点,那么实数b 的取值范围是 .
答案：(74,2)
解析：由f(x)={2−∣x ∣,x ≤2,(x −2)2,x >2,得f(2−x)={2−∣2−x ∣,x ≥0,x 2,x ＜0,
∴y =f(x)+f(2−x)
={2−∣x ∣+x 2,x <0,
4−∣x ∣−∣2−x ∣,0≤x ≤2,2−∣2−x ∣+(x −2)2,x >2,
即y =f(x)+f(2−x)={x 2+x +2,x ＜0,
2,0≤x ≤2,x 2−5x +8,x ＞2,
ℎ(x)=f(x)−g(x)=f(x)+f(2−x)−b ,所以ℎ(x)=f(x)−g(x)恰有4个零点等价于方程f(x)+f(2−x)−b =0有4个不同的解,即直线y =b 与函数y =f(x)+f(2−x)的图象有4个公共点,由图象〔图略〕可知74＜b ＜2 .故实数b 的取值范围是(74,2) .
创新拓展练 15.函数f(x)=log a x−2x+2(a ＞0,且a ≠1) .
〔1〕判断函数f(x)的奇偶性并证明;
〔2〕假设函数f(x)在区间[m,n](m ＞2)上单调递减,且值域为[log a [a(n −1)],log a [a(m −
1)]] ,求实数a 的取值范围.
答案：〔1〕f(x)=log a
x−2x+2为奇函数. 证明：由题意得x−2x+2＞0 ,解得x ＞2或x ＜−2 ,
即函数f(x)的定义域为{x|x >2或x <−2} ,关于原点对称,
又f(−x)+f(x)=log a x+2x−2+log a x−2x+2=log a 1=0 ,
所以函数f(x)为奇函数.
〔2〕根据题意,设t =x−2x+2=1−4x+2,y =log a t(t ＞0).易知在区间(2,+∞)上,t =1−4x+2为增函数,假设函数f(x)在区间[m,n](m ＞2)上单调递减,
那么y =log a t(t ＞0)在(0,+∞)上单调递减,故0＜a ＜1 .
假设函数f(x)的值域为[log a [a(n −1)],log a [a(m −1)]] , 那么log a n−2n+2=log a [a(n −1)],log a m−2m+2=log a [a(m −1)], 即{m −2=a(m −1)(m +2),n −2=a(n −1)(n +2), 那么m 、n 为方程ax 2+(a −1)x −2a +2=0的两个不等的实数根,且n ＞m ＞2 , 设g(x)=ax 2+(a −1)x −2a +2,
那么有{g(2)>0,
1−a 2a >2,Δ>0,解得0＜a ＜19 ,即实数a 的取值范围是(0,19) .。