高中数学新教材必修第一册第五章 三角函数 5.5 三角恒等变换(南开题库详解)

第五章三角函数 5.5 三角恒等变换
一、选择题（共60小题；共300分）
1. 若tanθ+1
tanθ
=4，则sin2θ=( )
A. 1
5B. 1
4
C. 1
3
D. 1
2
2. 已知α是第一象限角，满足sinα−cosα=√10
5
，则cos2α=( )
A. −3
5B. ±3
5
C. −4
5
D. ±4
5
3. 已知sin(a+π
3)+sina=−4√3
5
，−π
2
<a<0，则cos(a+2π
3
)等于( )
A. −4
5B. −3
5
C. 4
5
D. 3
5
4. 设a=cos50∘cos127∘+cos40∘cos37∘，b=√2
2(sin56∘−cos56∘)，c=1−tan239∘
1+tan239∘
，d=
1
2
(cos80∘−2cos250∘+1)，则a，b，c，d的大小关系为( )
A. a>b>d>c
B. b>a>d>c
C. a>c>b>d
D. c>a>b>d
5. 如图①，这个美妙的螺旋叫做特奥多鲁斯螺旋，是由公元5世纪古希腊哲学家特奥多鲁斯给出的，
螺旋由一系列直角三角形组成（图②），第一个三角形是边长为1的等腰直角三角形，以后每个直角三角形以上一个三角形的斜边为直角边，另一个直角边为1．将这些直角三角形在公共顶点处的角依次记为α1，α2，α3，⋯，则与α1+α2+α3+α4最接近的角是( )
参考值：tan55∘≈1.428，tan60∘≈1.732，tan65∘≈2.145，√2≈1.414．
A. 120∘
B. 130∘
C. 135∘
D. 140∘
6. 若cos(π
8−α)=1
5
，则cos(3π
4
+2α)的值为( )
A. −7
8B. 7
8
C. −23
25
D. 23
25
7. 已知角θ的终边过点(2sin2π
8−1,a)，若sinθ=2√3sin13π
12
cosπ
12
，则实数a等于( )
A. −√6
B. −√6
2C. ±√6 D. ±√6
2
8. 在△ABC中，已知tan A+B
2
=sinC，给出以下四个论断：
①tanA⋅cotB=1；
②0<sinA+sinB≤√2；
③sin2A+cos2B=1；
④ cos 2A +cos 2B =sin 2C ． 其中正确的是 ( ) A. ①③
B. ②④
C. ①④
D. ②③
9. 设 α∈(0,π
2)，β∈(0,π
2)，且 sinα
cosα=cosβ1−sinβ，则 ( )
A. 2α+β=π
2
B. 2α−β=π
2
C. α+2β=π
2
D. α−2β=π
2
10. 设函数 f (x )=sin (2x +π
4)+cos (2x +π
4
)，则 ( )
A. y =f (x ) 在 (0,π
2) 单调递增，其图象关于直线 x =π
4 对称 B. y =f (x ) 在 (0,π
2) 单调递增，其图象关于直线 x =π
2 对称 C. y =f (x ) 在 (0,π
2) 单调递减，其图象关于直线 x =π
4 对称 D. y =f (x ) 在 (0,π
2) 单调递减，其图象关于直线 x =π
2 对称 11. 设 α,β∈(0,π
2) 且 tanα−tanβ=1
cosβ
，则 ( )
A. 3α+β=π2
B. 2α+β=π
2
C. 3α−β=π
2
D. 2α−β=π
2
12. 已知 D 是由不等式组 {x −2y ≥0,
x +3y ≥0
所确定的平面区域，则圆 x 2+y 2=4 在区域 D 内的弧长为
( ) A. π
4
B. π
2
C. 3π
4
D. 3π
2
13. 已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y =−√3x 上，则 sin2θ=
( ) A. 1
2
B. √3
2
C. −1
2
D. −
√32
14. “sinα=cosα”是“cos2α=0”的 ( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
15. 已知 tanθ=3，则 cos (3π
2+2θ)= ( )
A. −4
5
B. −3
5
C. 3
5
D. 4
5
16. 若 sin2α=
√5
5
，sin (β−α)=
√10
10 ，且 α∈[π
4,π]，β∈[π,
3π2
] ，则 α+β 的值是 ( )
A. 7π
4
B. 5π
4
C. 5π4
或 7π4
D. 7π
4
或 9π
4
17. 将函数 y =√3cosx +sinx (x ∈R ) 的图象向左平移 m (m >0) 个单位长度后，所得到的图象关于
y 轴对称，则 m 的最小值是 ( ) A. π
12
B. π
6
C. π
3
D. 5π
6
18. 在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别是 a ，b ，c ，已知 sin (B −A )+sin (B +A )=3sin2A ，
且 c =√7，C =π
3，则 △ABC 的面积是 ( )
A.
3√3
4
B.
7√3
6
C.
√21
3
D.
3√34 或 7√3
6
19. 函数 f (x )=cos 2x +2sin 2x 2
−2 的一个单调增区间是 ( )
A. (π3
,
2π
3
) B. (π6,π
2
)
C. (−π3,π
3
)
D. (−π6,π
6
)
20. 函数 y =2cos 2(x −π
4)−1 是 ( )
A. 最小正周期为 π 的奇函数
B. 最小正周期为 π
2
的奇函数
C. 最小正周期为 π 的偶函数
D. 最小正周期为 π
2
的偶函数
21. 若 sin2θ=2
3，则 tanθ+1
tanθ= ( )
A. √2
B. √3
C. 2
D. 3
22. 若复数 z =(cosθ−4
5)+(sinθ−3
5)i 是纯虚数（i 为虚数单位），则 tan (θ−π
4) 的值为 ( )
A. 7
B. −1
7
C. −7
D. −7 或 −1
7
23. 已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，终边在直线 y =3x 上，则 sin (2θ+
π3
)= ( ) A.
3−4√3
10
B. −
3−4√3
10
C.
4−3√3
10
D. −
4−3√3
10
24. 已知 cos (α+π
2)=3
5，−π
2<α<π
2，则 sin2α 等于 ( )
A. 12
25
B. −12
25
C. 24
25
D. −24
25
25. 若 sin (π
3−α)=1
3，则 cos (π
3+2α)= ( )
A. 7
9
B. 2
3
C. −2
3
D. −7
9
26. 设角 θ 的终边过点 (2,3)，则 tan (θ−π
4)= ( )
A. 1
5
B. −1
5
C. 5
D. −5
27. 已知 cosα=−45
，且 α∈(π2
,π)，则 tan (π4
−α)= ( )
A. −1
7
B. −7
C. 1
7
D. 7
28. 已知 x ∈(0,π)，且 cos (2x −π
2)=sin 2x ，则 tan (x −π
4
) 等于 ( )
A. 1
3
B. −1
3
C. 3
D. −3
29. 已知函数 f (x )=sin (2x +π
12)，fʹ(x ) 是 f (x ) 的导函数，则函数 y =2f (x )+fʹ(x ) 的一个单调
递减区间是 ( )
A. [π12,7π
12]
B. [−5π12,π
12]
C. [−π3,
2π3] D. [−π6,
5π
6
]
30. 已知函数 f (x )=sinωx +√3cosωx (ω>0)，f (π
6)+f (π
2)=0，f (x ) 在区间 (π6,π
2) 上单调，则
ω= ( )
A. 2
B. 1
C. 3
D. 5
31. 若 cos (π8
−α)=16
，则 cos (
3π4
+2α) 的值为 ( )
A. 17
18
B. −1718
C. 18
19
D. −18
19
32. 设函数 f (x )=sin (ωx +φ)+cos (ωx +φ)(ω>0,∣φ∣<π
2) 是最小正周期为 π 的偶函数，则
( ) A. f (x ) 在 (0,π
2) 上单调递减 B. f (x ) 在 (π4,
3π
4) 上单调递减
C. f (x ) 在 (0,π2) 上单调递增
D. f (x ) 在 (π4,
3π
4
) 上单调递增
33. 下列说法正确的是 ( )
A. 若 a ∈R ，则“1
a <1”是“a >1”的必要不充分条件 B. “p ∧q 为真命题”是“p ∨q 为真命题”的必要不充分条件 C. 若命题 p ：“∀x ∈R,sinx +cosx ≤√2”，则 ¬p 是真命题
D. 命题“∃x 0∈R,x 02
+2x 0+3<0”的否定是“∀x ∈R,x 2+2x +3>0”
34. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，S 表示 △ABC 的面积，若 acosB +
bcosA =csinC ，S =1
4(b 2+c 2−a 2)，则角 B 等于 ( )
A. 90∘
B. 60∘
C. 45∘
D. 30∘
35. 已知角 θ 的始边与 x 轴的非负半轴重合，终边过点 M (−3,4)，则 cos2θ 的值为 ( )
A. −7
25 B. 7
25 C. −24
25 D. 24
25
36. 化简：∘cos25∘
√1−sin40∘
= ( )
A. 1
B. √3
C. √2
D. 2
37. 已知 sinα=35，且 α 为第二象限角，则 tan (2α+π
4)= ( )
A. −19
5
B. −5
19
C. −31
17
D. −17
31
38. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若 √3acosB +bsinA =0，则 B = ( )
A. π
6 B. π
3
C. 2π
3
D. 5π
6
39. 已知 f (x )=sinx +√3cosx (x ∈R )，函数 y =f (x +φ) 的图象关于直线 x =0 对称，则 φ 的值
可以是 ( )
A. π
2
B. π
3
C. π
4
D. π
6
40. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，asinBcosC +csinBcosA =1
2b ，且 a >b ，
则 B = ( ) A. π
6
B. π
3
C. 2π
3
D. 5π
6
41. 已知 sin (π
3−α)=1
3，则 sin (π
6−2α)= ( )
A. −7
9
B. 7
9
C. ±7
9
D. −2
9
42. 已知 cos (2π
3−α)=3
4，则 sin (α−π
6)cos (π
3−2α)= ( )
A. 3
32
B. −3
32
C. 3
16
D. −3
16
43. 若 α∈(0,2π)，则使不等式 cos (π2
−α)≥sin (π2
+α) 成立的 α 的取值范围是 ( )
A. [π4,π
2]
B. [π
2
,π]
C. [π4
,
5π
4
] D. [π4,π2
]∪[π,
5π4
]
44. 若 3cosx −√3sinx =2√3sin (x +α)，则角 α 在 ( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
45. 已知 a =sin14∘+cos14∘，b =sin16∘+cos16∘，c =
√6
2
，则 a ，b ，c 的大小顺序为 ( ) A. a <b <c
B. a <c <b
C. b <c <a
D. b <a <c
46. 中国古代数学家赵爽设计的弦图（如图 1）是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三
角形也可拼成图 2 所示的菱形，已知弦图中，大正方形的面积为 100，小正方形的面积为 4，则图 2 中菱形的一个锐角的正弦值为 ( )
A. 24
25
B. 3
5
C. 4
5
D. 7
25
47. 如图，已知点 P (−3,−1)，OA 为第一象限的角平分线，将 OA 沿逆时针旋转 θ 角到 OB ，若 OP
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB
⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则 tanθ 的值为 ( )
A. 2
B. 3
C. −2
D. −3
48. 在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c 且 b 2+c 2+bc −a 2=0，则
asin (30∘−C )
b−c
=
( ) A. −1
2
B. 12
C. −
√32
D. √32
49. 已知 cosα=3
5，cos (α−β)=
7√2
10
，且 0<β<α<π
2，那么 β= ( )
A. π
12
B. π
6
C. π
4
D. π
3
50. 已知 cos (π4−θ2)=2
3，则 sinθ= ( )
A. 7
9
B. 1
9
C. −1
9
D. −7
9
51. 若函数 f (x )=4sinωx ⋅sin 2(π
4+
ωx 2
)+cos2ωx (ω>0) 在 [−π2,
2π
3
] 上是增函数，则 ω 的取值范
围是 ( ) A. (0,1]
B. (0,3
4]
C. [1,+∞)
D. [3
4,+∞)
52. 在 △ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且满足 b 2+c 2−a 2=bc ，AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0，a =
√3
2
，则 b +c 的取值范围是 ( )
A. (1,3
2) B. (√32,3
2)
C. (12,3
2)
D. (12,3
2]
53. 若函数 f (x )=x −13
sin2x +asinx 在 (−∞,+∞) 单调递增，则 a 的取值范围是 ( )
A. [−1,1]
B. [−1,1
3]
C. [−13,1
3]
D. [−1,−1
3]
54. 设 P 为椭圆 C:
x 2a
2+
y 2b 2
=1(a >b >0) 上的动点，F 1，F 2 为椭圆 C 的焦点，I 为 △PF 1F 2 的内心，
则直线 IF 1 和直线 IF 2 的斜率之积 ( )
A. 是定值
B. 非定值，但存在最大值
C. 非定值，但存在最小值
D. 非定值，且不存在最值 55. 已知 α∈R ，sinα+2cosα=
√10
2
，则 tan2α= ( )
A. 4
3
B. 3
4 C. −3
4
D. −4
3
56. 已知函数 f (x ) 的定义域为 R ，若存在常数 m >0，对任意 x ∈R ，有 ∣f (x )∣≤m∣x∣，则称 f (x )
为 F 函数．给出下列函数：① f (x )=0；② f (x )=x 2；③ f (x )=sinx +cosx ；④ f (x )=
x x 2+x+1
；⑤ f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，且满足对一切实数 x 1,x 2 均有 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≤
2∣∣x 1−x 2∣．其中是 F 函数的序号为 ( )
A. ①②④
B. ②③④
C. ①④⑤
D. ①②⑤
57. 如图，在正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，点 O 为线段 BD 的中点，设点 P 在线段 CC 1 上，直线
OP 与平面 A 1BD 所成的角为 α，则 sinα 的取值范围为 ( )
A. [√3
3,1]
B. [√6
3,1]
C. [√63,
2√2
3
] D. [
2√2
3
,1]
58. 已知函数 f (x )=sin 2
ωx 2
+1
2sinωx −1
2(ω>0)，x ∈R ．若 f (x ) 在区间 (π,2π) 内没有零点，则
ω 的取值范围是 ( ) A. (0,1
8] B. (0,1
4]∪[5
8,1)
C. (0,5
8] D. (0,1
8]∪[14,5
8]
59. 已知抛物线 y =−
316
(x −1)(x −9) 与 x 轴交于 A ，B 两点，对称轴与抛物线交于点 C ，与 x 轴
交于点 D ，⊙C 的半径为 2，G 为 ⊙C 上一动点，P 为 AG 的中点，则 DP 的最大值为 ( )
A. 7
2
B.
√41
2
C.
√34
2
D. 2√3
60. 设 a 1,a 2,a 3,a 4∈R ，且 a 1a 4−a 2a 3=1，记 f (a 1,a 2,a 3,a 4)=a 12+a 22+a 32+a 42
+a 1a 3+a 2a 4，
则 f (a 1,a 2,a 3,a 4) 的最小值为 ( )
A. 1
B. √3
C. 2
D. 2√3
二、填空题（共30小题；共150分） 61. sin15∘+sin75∘ 的值是 ．
62. 已知点 P (3cosθ,sinθ) 在直线 l:x +3y =1 上，则 sin2θ= ． 63. 函数 y =(tanx −1)cos 2x 的最大值是 ． 64. cos10∘
tan20∘+√3sin10∘tan70∘−2cos40∘ 的值是 ．
65. 已知 x 1，x 2 是函数 f (x )=2sin2x +cos2x −m 在 [0,π
2] 内的两个零点，则 sin (x 1+x 2)= ．
66. 若 cos (α+π5)=45，则 sin (2α+9π
10
)= ．
67. 设 sin2α=−sinα，α∈(π
2,π)，则 tan2α 的值是 ．
68. 已知 2cos 2x +sin2x =Asin (ωx +φ)+b (A >0)，则 A = ，b = ．
69. 已知角 α 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为 (3,4)，则
cos2α= ．
70. 函数 f (x )=3
sinx −1
tanx ，x ∈(0,π
2) 的最小值为 ． 71. 函数 y =2sinx +sin (π
3−x) 的最小值是 ．
72. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知角 α 的顶点和 点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边上
一点 M 坐标为 (1,√3)，则 tan (α+π
4
)= ．
73. 设 α 为锐角，若 cos (α+π
6)=4
5，则 sin (α−π
12)= ． 74. 求值： tan10∘tan20∘+tan20∘tan60∘+tan60∘tan10∘= ． 75. 已知 tanα=1
2，tan (α−β)=−2
5，那么 tan (β−2α) 的值是 ． 76. 已知 sin2α=2
3，则 cos 2(α+π
4)= ．
77. 若点 (θ,0) 是函数 f (x )=sinx +3cosx 的一个对称中心，则 cos2θ+sinθcosθ= ． 78. 计算 √3tan12∘−3(
4cos 212∘−2)sin12∘
= ．
79. 边长为 2 的正三角形 ABC 内（包括三边）有点 P ，PB
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =1，求 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的范围 ．
80. △ABC 中，sin (A −B )=sinC −sinB ，D 是边 BC 的一个三等分点（靠近点 B ），记
sin∠ABD sin∠BAD
=λ，
则当 λ 取最大值时，tan∠ACD = ． 81. 函数 f (x )=1+
sinx 2+cosx
的最大值与最小值之和为 ．
82. 在 △ABC 中，B =60∘，AC =√3，则 AB +2BC 的最大值为 ．
83. 在 △ABC 中，∠A =θ，D ，E 分别为 AB ，AC 的中点，且 BE ⊥CD ，则 cos2θ 的最小值
为 ．
84. 设 a ，b ，c 分别为 △ABC 三内角 A ，B ，C 的对边，面积 S =1
2c 2，若 ab =√2，则 a 2+b 2+
c 2 的最大值是 ．
85. 已知 α,β∈(0,π
2)，且 sinβ=2cos (α+β)sinα，若 tan (α+β)=3，则 tanα= ． 86. sin 213∘
+sin 247
∘
+sin13∘sin47∘ ．
87. （1）若 2sin 2α+sin 2β=3sinα，则 sin 2α+sin 2β 的取值范围是 ；
（2）若 3sin 2α+2sin 2β=2sinα，则 cos 2α+cos 2β 的最小值为 ． 88. 已知 A ，B ，C 是半径为 1 的圆 O 上的三点，AB 为圆 O 的直径，P 为圆 O 内一点（含圆周），
则 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC
⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为 ． 89. 在锐角三角形 ABC 中，若 sinA =2sinBsinC ，则 tanAtanBtanC 的最小值是 ．
90. 若函数 f (x )=∣asinx +bcosx −1∣+∣bsinx −acosx∣(a,b ∈R ) 的最大值为 11，则 a 2+
b 2= ．
三、解答题（共10小题；共130分）
91. 已知 α 为锐角，且 sin 2α−sinαcosα−2cos 2α=0．
（1）求 tanα 的值； （2）求 sin (α−π
3
) 的值．
92. 在 △ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，已知 b 2=ac ，且 a 2−c 2=ac −bc ．
（1）求 ∠A 的大小；
（2）设 f (x )=cos (ωx −A
2)+sin (ωx )(ω>0) 且 f (x ) 的最小正周期为 π，求 f (x ) 在 [0,π
2] 的最大值．
93. 已知 A 、 B 、 C 是 △ABC 三内角，向量 m ⃗⃗ =(−1,√3)，n ⃗ =(cosA,sinA )，且 m ⃗⃗ ⋅n ⃗ =1．
（1）求角 A ； （2）若
1+sin2B cos 2B−sin 2B
=−3，求 tanC ．
94. 已知函数 f (x )=cosx ⋅sin (x +π
3
)−√3cos 2x +
√3
4
,x ∈R ．
（1）求 f (x ) 的最小正周期； （2）求 f (x ) 在区间 [−π4,π
4] 上的最大值和最小值．
95. 已知 0<α<β<π
2
，且 cosα，cosβ 是方程 x 2−(√2sin50∘)x +sin 250∘−1
2
=0 的两根．
（1）求 α 、 β 的值； （2）求 sin (α+65∘)[1−√3tan (β−35∘)] 的值．
96. 如图，矩形公园 OABC 中，OA =2 km ，OC =1 km ，公园的左下角阴影部分为以 O 为圆心，半
径为 1 km 的 1
4 圆面的人工湖，现计划修建一条与圆相切的观光道路 EF （点 E ，F 分别在边 OA 与 BC 上），D 为切点．
（1）试求观光道路 EF 长度的最大值； （2）公园计划在道路 EF 右侧种植草坪，试求草坪 ABFE 面积 S 的最大值．
97. 如图，A ，B ，C ，D 为平面四边形 ABCD 的四个内角．
（1）证明：tan A 2=
1−cosA sinA
；
（2）若A+C=180∘，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，求tan A
2+tan B
2
+tan C
2
+tan D
2
的
值．
98. 已知函数f(x)的图象是由函数g(x)=cosx的图象经如下变换得到：先将g(x)图象上所有点的
纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移π
2
个单位长度．（1）求函数f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程；
（2）已知关于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)内有两个不同的解α，β．
①求实数m的取值范围；
②证明：cos(α−β)=2m2
5
−1．
99. 在△ABC中，已知cosC+(cosA−√3sinA)cosB=0．
（1）求角B的大小；
（2）若sin(A−π
3)=3
5
，求sin2C．
100. 已知数列{a n}中，满足a1=1
2，a n+1=√a n+1
2
，记S n为{a n}的前n项和．证明：
（1）a n+1>a n；（2）a n=cosπ
3⋅2n−1
；
（3）S n>n−27+π2
54
．
答案
第一部分 1. D 【解析】因为
tanθ+1tanθ
=sinθ
cosθ+
cosθ
sinθ=
sin 2θ+cos 2θsinθcosθ=11
2
sin2θ
=4,
所以 sin2θ=1
2．
2. C 【解析】因为 α 是第一象限角，满足 sinα−cosα=
√10
5
，所以 1−2sinαcosα=
1025
，所以
2sinαcosα=3
5，所以 sinα+cosα=√(sinα+cosα)2=√1+2sinαcosα=2√10
5
，则 cos2α=cos 2α−sin 2α
=(cosα+sinα)⋅(cosα−sinα)
=2√105⋅(−√105
)
=−4
5.
3. C
【解析】
sin (a +π
3)+sina
=1
2sina +√3
2cosa +sina
=3
2sina +√32
cosa
=√3sin (a +π
6
)
=−
4√3
5,
所以 sin (a +π
6)=−4
5，
cos (a +2π
3
)=cos [(a +π6)+π
2]=−sin (a +π
6)=−(−4
5)
=4
5.
4. C 【解析】
a
=cos50∘cos127∘+cos40∘cos37∘=−cos50∘sin37∘+sin50∘cos37∘=sin13∘,
b =√22
(sin56∘−cos56∘)=sin11∘,
c =
1−tan 239∘
1+tan 239∘
=cos 239∘−sin 239∘=cos78∘=sin12∘，
d =12(cos80∘
−2cos 250∘+1)=1
2(cos80∘−cos100∘)=sin10∘． 故 a >c >b >d ． 5. C 6. D
7. B
【解析】2sin 2π
8−1=−cos π
4=−
√2
2，2√3sin 13π12cos π12
=−
√3
2
，
因为角 θ 的终边过点 (2sin 2π8
−1,a)，sinθ=2√3sin
13π12
cos π
12
，
√12
+a 2
=−
√32
， 所以 a =−√62
． 8. B
【解析】tan
A+B 2=tan
π−C 2
=cot C 2，由 tan
A+B 2
=sinC 得 cot C 2=sinC =2sin C 2cos C
2，所以
sin 2C
2=1
2，所以 C =π
2，所以 △ABC 是为直角三角形，∠C =90∘，得不到①；sinA +sinB =sinA +cosA =√2sin (A +π
4)，所以 0<sinA +sinB ≤√2 成立，②正确；sin 2A +cos 2B =sin 2A +sin 2A ，得不到③；cos 2A +cos 2B =cos 2A +sin 2A =sin 2C =1，④正确． 9. B
【解析】由 sinα
cosα=cosβ
1−sinβ ，可得：sinα−sinαsinβ=cosαcosβ．
所以 sinα=cosαcosβ+sinαsinβ=cos (α−β)， 因为 α∈(0,π
2)，β∈(0,π2)， 所以 cos (α−β)>0， 所以 α+α−β=π
2， 即 2α−β=π
2． 10. D
11. D 【解析】因为 tanα−tanβ=1
cosβ，所以 sinα
cosα=sinβ+1cosβ
，整理得 sin (α−β)=cosα，所以 2α−
β=π
2+2kπ(k ∈Z )．
12. B 【解析】如图，阴影部分表示 {x −2y ≥0,
x +3y ≥0
确定的平面区域，
所以劣弧 AB
⏜ 的弧长即为所求． ∵ k OB =−13，k OA =1
2，
∴ tan∠BOA =tan (∠AOx +∠BOx )=12+1
31−12×13
=1，∴ ∠BOA =π
4
．
∴劣弧 AB
⏜ 的长度为 2×π
4
=π
2． 13. D
14. A 【解析】因为 cos2α=cos 2α−sin 2α， 所以当 sinα=cosα 时，cos2α=0，充分性成立； 当 cos2α=0 时， 因为 cos 2α−sin 2α=0，
所以 cosα=sinα 或 cosα=−sinα，必要性不成立． 15. C
【解析】因为 tanθ=3，则
cos (3π
2+2θ)=sin2θ
=
2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=2tanθtan 2θ+1=69+1=
35
.
16. A 【解析】由 2α+(β−α)=α+β ，可知 sin (α+β)=sin [2α+(β−α)]=sin2α⋅cos (β−α)+cos2α⋅sin (β−α) ，因为 α∈[π
4,π] 且 sin2α=√55
<1
2 ，可得 cos2α=−
2√5
5
，2α∈
[5π
6,π] ，即 α∈[5π12,π
2] ，所以 β−α∈[π2,13π
12
]，sin (β−α)=√10
10 ； cos (β−α)=
−3√10
10
， 代入 sin (α+β)=√55
×(
−3√1010)+(−2√55×√10
10
)=−
√2
2
. 所以 α+β=7π4 或 5π
4，α+β∈[17π
12,2π] ， 所以 α+β=
7π4
．
17. B 【解析】因为 y =√3cosx +sinx =2(√3
2cosx +1
2sinx)=2sin (x +π
3)，所以图象向左平移
m (m >0) 个单位长度得到 y =2sin [(x +m )+π
3]=2sin (x +m +π
3)，因为所得的图象关于 y 轴对称，所以 m +π
3
=kπ+π
2
(k ∈Z )，则 m 的最小值为 π6
.
18. D 【解析】由 sin (B −A )+sin (B +A )=3sin2A ⇒2sinBcosA =6sinAcosA ⇒cosA =0 或 sinB =3sinA ．
若 cosA =0，则 A =π
2，此时 B =π
6，在 Rt △ABC 中，b =c
tanC =
√21
3
，此时 △ABC 的面积 S =1
2bc =
12
×√7×
√21
3
=
7√3
6
． 若 sinB =3sinA ，即 b =3a ，由余弦定理得 7=a 2+9a 2−2×a ×3a ×1
2，解得 a =1，此时 b =3，△ABC 的面积 S =1
2absinC =1
2×1×3×
√32
=
3√3
4
． 19. A 【解析】f (x )=cos 2x −2cos 2x
2=cos 2x −cosx −1． 令 t =cosx ，则 g (t )=t 2−t −1．
对于 g (t )=t 2−t −1，当 t ∈[−1,1
2] 时，g (t ) 为减函数； 当 t ∈[1
2
,1] 时，g (t ) 为增函数． 当 x ∈(π3,
2π3
) 时，t =cosx 为减函数，且 t ∈(−12,1
2)， 所以原函数此时单调递增． 20. A
【解析】y =2cos 2(x −π
4)−1=cos (2x −π
2)=sin2x ． 21. D
22. C
23. A
24. D 【解析】由 cos (α+π
2)=−sinα=3
5， 则 sinα=−3
5，
又 −π2<α<π
2，
所以 cosα=√1−sin 2α=4
5，
又 sin2α=2sinαcosα=2×(−3
5)×4
5=−24
25． 25. D
26. A 【解析】由于角 θ 的终边过点 (2,3)，因此 tanθ=3
2，故 tan (θ−π
4)=tanθ−1
1+tanθ=
3
2
−11+32
=1
5
．
27. D 【解析】因为 cosα=−4
5
，且 α∈( π
2
 , π )，
所以 sinα=3
5
，
于是 tanα=−3
4． 故 tan (π
4−α)=
1−tanα1+tanα
=
1+
341−34
=7．
28. A 【解析】由 cos (2x −π
2)=sin 2x 得 sin2x =sin 2x ，
因为 x ∈(0,π)， 所以 tanx =2，
所以 tan (x −π
4)=tanx−1
1+tanx =1
3． 29. A 【解析】函数 f (x )=sin (2x +π12
)，fʹ(x ) 是 f (x ) 的导函数，
则函数
y =2f (x )+fʹ(x )=2sin (2x +
π
12
)+2cos (2x +π
12)=2√2sin (2x +π12+π
4)
=2√2sin (2x +π3), 由 2kπ+π
2≤2x +π
3≤2kπ+
3π2
，k ∈Z ，
可得 kπ+π
12≤x ≤kπ+7π
12，k ∈Z ， 所以函数的一个单调减区间为 [π12,7π12
]．
30. A
31. A
32. A 【解析】由 f (x )=sin (ωx +φ)+cos (ωx +φ)=√2sin (2ωx +φ+π
4)，f (x ) 是最小正周期为
π 的偶函数，所以 ω=1，φ+π
4=π
2+kπ(k ∈Z )．因为 ∣φ∣<π
2，所以 φ=π4．f (x )=√2cos2x ，在 (0,π
2) 上单调递减．
33. A 【解析】由 1
a <1，得 a <0 或 a >1，反之，由 a >1，得 1
a <1， 所以“1
a <1”是“a >1”的必要不充分条件，故A 正确；
由p∧q为真命题，知p，q均为真命题，
所以p∨q为真命题，反之，由p∨q为真命题，得p，q至少有一个为真命题，
所以p∧q不一定为真命题，
所以“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B不正确；
因为sinx+cosx=√2sin(x+π
4
)≤√2，
所以命题p为真命题，则¬p是假命题，故C不正确；
命题“∃x0∈R,x02+2x0+3<0”的否定是“∀x∈R,x2+2x+3≥0”，故D不正确．34. C 【解析】由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC，
即sin(B+A)=sinCsinC，
因为sin(B+A)=sinC，
所以sinC=1，C=90∘．
根据三角形面积公式和余弦定理得，
S=1
2
bcsinA，b2+c2−a2=2bccosA，
代入已知得1
2bcsinA=1
4
⋅2bccosA，
所以tanA=1，A=45∘，因此B=45∘．35. A
【解析】依题意得tanθ=4
−3=−4
3
，cos2θ=1−tan
2θ
1+tan2θ
=1−(−
4
3
)
2
1+(−4
3
)
2
=−7
25
．
36. C 【解析】原式=cos220∘−sin220∘
cos25∘(cos20∘−sin20∘)=cos20∘+sin20∘
cos25∘
=√2cos25∘
cos25∘
=√2 .
37. D 【解析】因为α为第二象限角，所以sinα=3
5⇒cosα=−4
5
⇒sin2α=−24
25
，cos2α=
2cos2α−1=7
25⇒tan2α=−24
7
⇒tan(2α+π
4
)=1−
24
7
1+24
7
=−17
31
．
38. C 【解析】因为√3acosB+bsinA=0，由正弦定理，得：√3sinAcosB+sinBsinA=0所以，√3cosB+sinB=0，即2sin(B+π
3
)=0，
所以，B=2π
3
．
39. D 【解析】因为f(x)=2sin(x+π
3
)，
所以f(x+φ)=2sin(x+φ+π
3
)．
因为f(x+φ)的图象关于直线x=0对称，
所以φ+π
3=kπ+π
2
(k∈Z)，即φ=kπ+π
6
(k∈Z)．
所以φ可以是π
6
．40. A
【解析】因为asinBcosC+csinBcosA=1
2b，所以acosC+ccosA=b
2sinB
，由正弦定理得sinAcosC+
sinCcosA=sinB=sinB
2sinB ，可得sinB=1
2
，因为a>b，所以∠A>∠B，即∠B为锐角，所以B=π
6
．
41. A 【解析】因为
sin(π
3−α)=cos[π
2
−(π
3
−α)]
=cos(π
6
+α)
=1
3
.
所以
sin(π
6−2α)=cos[π
2
−(π
6
−2α)]
=cos[2(π
6
+α)]
=2cos2(π
6
+α)−1
=2×1
9
−1
=−7
9
.
42. B 【解析】由cos(2π
3−α)=3
4
，可得，cos(π
2
+π
6
−α)=3
4
，
即sin(π
6−α)=−3
4
，
那么sin(α−π
6)=3
4
．
cos(π
3−2α)=cos2(π
6
−α)
=cos2(α−π
6
)
=1−2sin2(α−π
6
)
=1−2×9
16
=−1
8
.
所以sin(α−π
6)cos(π
3
−2α)=−1
8
×3
4
=−3
32
．
43. C 【解析】cos(π
2−α)≥sin(π
2
+α)⇔sinα≥cosα⇔sinα−cosα≥0⇔√2sin(α−π
4
)≥0，
所以2kπ≤α−π
4≤π+2kπ，即π
4
+2kπ≤α≤5π
4
+2kπ．
又α∈(0,2π)，
所以α∈[π
4,5π
4
]．
44. B
45. B
【解析】提示：a=√2sin59∘，b=√2sin61∘，c=√2sin60∘．
46. A
47. A
48. B 【解析】因为b2+c2+bc−a2=0，
所以cosA=b 2+c2−a2
2bc
=−1
2
，
所以A=120∘．由正弦定理可得
asin (30∘−C )
b−c
=sinAsin (30∘−C )sinB−sinC
=sin120∘sin (30∘−C )sin (60∘−C )−sinC =√3
2
sin (30∘−C )−√3sin (C−30∘)
=
12
.
49. C 【解析】由 0<α<β<π2
，得到 0<β−α<π2
， 又 cosα=3
5
，cos (α−β)=cos (β−α)=
7√2
10
， 所以 sinα=√1−cos 2α=45
，sin (β−α)=−sin (α−β)=−√1−cos 2(α−β)=−√210
， 则
cosβ=cos [(β−α)+α]
=cos (β−α)cosα−sin (β−α)sinα=7√210×3
5
−(−
√210)×45
=
√22,
所以 β=π
4． 50. C
51. B
52. B 【解析】由 b 2+c 2−a 2=bc 得，cosA =
b 2+
c 2−a 2
2bc
=1
2，
则 A =π
3
，由 AB
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0 知，B 为钝角， 又 a
sinA =1，则 b =sinB ，c =sinC ，
b +
c =sinB +sinC
=sinB +sin (2π
3−B)
=32
sinB +√3
2
cosB
=√3sin (B +π
6
),
由于 π
2<B <
2π3，
所以 2π3<B +π
6<
5π6
，
所以 12<sin (B +π
6)<
√3
2
，b +c ∈(
√32,3
2
)． 53. C 【解析】解法1：用特殊值法：取 a =−1，f (x )=x −13
sin2x −sinx ，fʹ(x )=1−23
cos2x −
cosx ，
但 fʹ(0)=1−23
−1=−23
<0，不具备在 (−∞,+∞) 单调递增，排除 A ，B ，D ．
解法2：fʹ(x )=−4
3cos 2x +acosx +5
3，因为 fʹ(x ) 是关于 cosx 开口向下的二次函数，由 f (x ) 在 R 上单调递增，有 {fʹ(−1)≥0,fʹ(1)≥0,
解得 a ∈[−13,1
3] .
54. A 【解析】设 ∠F 1PF 2=θ，∠PF 1F 2=α，∠PF 2F 1=β，
则有 k IF 1=tan α2
，k IF 2=−tan β
2
，则
e =
2c 2a =F 1F 2
PF 1
+PF
2
=sinθ
sinα+sinβ=sin (α+β)
sinα+sinβ
=2sin
α+β2cos α+β
22sin α+β2cos
α−β2=cos
α+β2cos
α−β2=cos α2cos β2−sin α2sin
β2cos α2cos β2+sin α2sin
β2
=
1−tan α2tan
β
21+tan α2tan β
2
,
则 tan α2tan β2=1−e
1+e ， 即 k IF 1⋅k IF 2=e−1
e+1，为定值． 55. C
【解析】方法一（直接法）：sinα+2cosα=√10
2
两边平方， 再同时除以 cos 2α，
整理得 3tan 2α−8tanα−3=0， 故 tanα=3 或 tanα=−1
3，
代入 tan2α=2tanα
1−tan 2α，得 tan2α=−3
4．
方法二（猜想法）：由给出的数据及选项的唯一性， 记 sinα=
√
10
，cosα=√10
，
这时 sinα+2cosα=
√10
2
符合要求， 此时 tanα=3，代入二倍角公式求解即可． 56. C
57. B 【解析】可证 AC 1⊥平面A 1BD ，而当 P 为 CC 1 的中点时，OP ∥AC 1，此时 OP ⊥平面A 1BD ，从而 α 的最大值为 π
2
．因此 α∈[∠AOA 1,π
2
]∪[∠C 1OA 1,π
2
]．
设 AA 1=2，则 AO =√2，A 1O =√6． 在 Rt △A 1AO 中，sin∠AOA 1=AA 1
A
1
O
=√6
3
． sin∠C 1OA 1
=sin (π−2∠AOA 1)
=sin2∠AOA 1
=2sin∠AOA 1cos∠AOA 1
=2×√63×
√3
3=2√23>√63
.
综上所述，sinα∈[√6
3,1]． 58. D 【解析】f (x )=
1−cosωx
2+
sinωx 2
−1
2=
√2
2sin (ωx −π
4)．
由 f (x )=0，得 sin (ωx −π
4)=0，解得 x =
kπ+π4
ω
(k ∈Z )．
由 f (x ) 在 (π,2π) 内没有零点，得
kπ+π4
ω
∉(π,2π)(k ∈Z )，
解得 ω∉(18,1
4)∪(58,5
4)∪(98,9
4)∪⋯=(18,1
4)∪(5
8,+∞)，
因此，ω∈(0,1
8
]∪[14,5
8
]．
59. A 【解析】抛物线 y =−3
16(x −1)(x −9) 与 x 轴交于 A ，B 两点， 可得 A (1,0)，B (9,0)，D (5,0)，C (5,3)， 圆的方程为：(x −5)2+(y −3)2=4， 设 G (5+2cosθ,3+2sinθ)．P 为 AG 的中点， 可得 P (3+cosθ,3
2+sinθ)．
DP =√(cosθ−2)2+(3
2
+sinθ)
2
=√5+9
4−4cosθ+3sinθ
=√5+94
+5sin (θ−γ),
其中 tanγ=4
3．
√5+9
4
+5sin (θ−γ)≤√10+9
4
=7
2
．
60. B
【解析】设 m ⃗⃗ =(a 1,a 2)，n ⃗ =(a 3,a 4)， f (a 1,a 2,a 3,a 4)=∣m ⃗⃗ ∣2
+∣n ⃗ ∣2
+m ⃗⃗ ⋅n ⃗ ， 由题意可知 m ⃗⃗ ，n ⃗ 不平行， 设 m ⃗⃗ 与 n ⃗ 的夹角为 θ， 则 cosθ=m
⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣∣m ⃗⃗⃗ ∣
∣⋅∣∣n ⃗ ∣∣
， 那么以 ∣m ⃗⃗ ∣ 和 ∣n ⃗ ∣ 为边长的三角形的面积为
S
=1
2
∣m ⃗⃗ ∣∣n ⃗ ∣sinθ=12∣m ⃗⃗ ∣∣n ⃗ ∣√1−cos 2θ
=12∣m ⃗⃗ ∣∣n ⃗ ∣⋅√1−(m
⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ∣m ⃗⃗⃗ ∣⋅∣∣n ⃗ ∣)2
=12√(∣m ⃗⃗ ∣⋅∣n ⃗ ∣)2−(m ⃗⃗ ⋅n ⃗ )2
=12∣a 1a 4−a 2a 3∣=1
2,
所以 ∣m ⃗⃗ ∣∣n ⃗ ∣=1
sinθ，
所以 f (a 1,a 2,a 3,a 4)≥2∣m ⃗⃗ ∣∣n ⃗ ∣+m ⃗⃗ ⋅n ⃗ =2
sinθ+cosθ
sinθ=2+cosθsinθ
,
记
2+cosθsinθ
=λ(λ>0)，
则 λsinθ−cosθ=2，
所以 √λ2+1sin (θ+φ)=2,其中tanφ=−1
λ
，
所以 sin (θ+φ)=√λ2+1
≥1，
解得 λ≥√3，
所以 f (a 1,a 2,a 3,a 4)≥√3． 第二部分 61. √62
62. −89 63.
√2−12
【解析】函数化简为 y =√2
2
sin (2x −π4)−1
2
．所以最大值为 √2−1
2
． 64. 2
【解析】
cos10∘tan20
∘+√3sin10∘tan70∘−2cos40
∘
=cos10∘+√3sin10∘tan70∘tan20∘−2cos40∘tan20∘tan20∘
=
2sin (10∘+40∘)−2cos40∘tan20∘tan20∘=2(sin40∘cos20∘−sin20∘cos40∘)sin20∘
=
2sin20∘sin20∘
=2
.
65.
2√5
5
【解析】x 1，x 2 是函数 f (x )=2sin2x +cos2x −m 在 [0,π
2] 内的两个零点，可得 m =2sin2x 1+cos2x 1=2sin2x 2+cos2x 2，
即为 2(sin2x 1−sin2x 2)=−cos2x 1+cos2x 2，
即有 4cos (x 1+x 2) sin (x 1−x 2)=−2sin (x 2+x 1)sin (x 2−x 1)，
由 x 1≠x 2，可得 sin (x 1−x 2)≠0，可得 sin (x 2+x 1)=2cos (x 1+x 2)，由 sin 2(x 2+x 1)+cos 2(x 1+x 2)=1，
可得 sin (x 2+x 1)=±2√55
，
由 x 1+x 2∈[0,π]， 即有 sin (x 2+x 1)=2√5
5
． 66. 7
25 67. √3
【解析】由 sin2α=2sinαcosα 及 sin2α=−sinα，α∈(π
2,π) 解出 α，进而求得 tan2α 的值． 因为 sin2α=−sinα，所以 2sinαcosα=−sinα． 因为 α∈(π
2
,π)，所以 sinα≠0，所以 cosα=−1
2
．
又因为 α∈(π2
,π)，所以 α=2
3
π，
所以 tan2α=tan 43π=tan (π+π3)=tan π
3=√3． 68. √2，1
【解析】因为 2cos 2x +sin2x =1+cos2x +sin2x =√2sin (2x +π
4)+1，2cos 2x +sin2x =
Asin (ωx +φ)+b (A >0)， 所以 A =√2，b =1． 69. −7
25 70. 2√2
【解析】因为 f (x )=
3−cosx sinx ，
所以由万能公式 sinx =2t
1+t 2，cosx =1−t 2
1+t 2 可得 f (t )=3(1+t 2)−1+t 2
2t
=
2t 2+1t
=2t +1
t ≥2√2（当且仅当
t =
√2
2
时取等号）． 71. −√3
【解析】
y
=2sinx +sin (π3−x)
=2sinx +√3
2cosx −1
2sinx
=3
2sinx +
√32cosx
=√3sin (x +π
6).
所以最小值为 −√3． 72. −2−√3 73. −√2
10 【解析】sin (α−π
12
)=sin [(α+π
6)−π
4]=sin (α+π
6)cos π
4−cos (α+π
6)sin π
4=−√2
10． 74. 1 【解析】
tan20∘tan60∘+tan60∘tan10∘
=√3(tan10∘+tan20∘)
=√3×tan30∘(1−tan10∘tan20∘)=1−tan10∘tan20∘，
所以结果为1．75. −1
12
76. 1
6
【解析】cos2(α+π
4)=1+cos(2α+
π
2
)
2
=1−sin2α
2
=1
6
．
77. −11
10
【解析】因为点(θ,0)是函数f(x)=sinx+3cosx的一个对称中心，所以sinθ+3cosθ=0，
所以tanθ=−3，则
cos2θ+sinθcosθ=cos2θ−sin2θ+sinθcosθ
sin2θ+cos2θ
=1−tan2θ+tanθ
tan2θ+1
=1−9−3
9+1
=−11
10
.
78. −4√3
【解析】
√3tan12∘−3=√3(sin12∘
cos12∘−
sin60∘cos60∘
)
=√3(sin12∘cos60∘−cos12∘sin60∘)
cos12∘cos60∘
=−2√3sin48∘
cos12∘
.
√3tan12∘−3 (4cos212∘−2)sin12∘=
−2√3sin48∘
2cos24∘sin12∘cos12∘=
−2√3sin48∘
cos24∘sin24∘
=
−4√3sin48∘
sin48∘
=−4√3.
79. [3−√5
2
,3−√5]
【解析】以BC中点O为原点，BC所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系，因为正三角形ABC边长为2，
所以 B (−1,0)，A(0,√3)，C (1,0)， 设 P 的坐标为 (x,y )，
所以 PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1−x,−y )，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x,−y )， 所以 PB
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−1+y 2=1， 即点 P 在 x 2+y 2=2 的圆弧即 MN
⏜ 上，
如图可以求出 sinθ=√6
4
，cosθ=
√10
4
； β=θ−π
6，sinβ=
3√2−√10
8
，cosβ=
√30+√6
8
， 设 ∠AOP =φ，则 −β≤φ≤β，P(√2sinφ,√2cosφ)， AP
⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2sinφ,√2cosφ−√3)， 又 AB
⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−√3)， 所以 AP
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√2sinφ−√6cosφ+3，−β≤φ≤β， 当 φ=−β 时，AP
⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 最大，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2)×(−3√2−√10
8
)−√6×√30+√6
8
+3=3−√5；
当 φ=β 时，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 最小，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2)×(3√2−√108)−√6×√30+√68+3=3−√52； 所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的范围是 [3−√52,3−√5]． 80. 2+√3
【解析】因为 sin (A −B )=sinC −sinB ， 所以
sinAcosB −cosAsinB =sinC −sinB
=sinAcosB +cosAsinB −sinB.
所以 sinB =2cosAsinB ， 因为 sinB ≠0，
所以 cosA =1
2，由 A ∈(0,π)，可得：A =π
3，
在 △ADB 中，由正弦定理可将 sin∠ABD
sin∠BAD =λ，变形为 AD
DB =λ，即 AD =λDB =1
3λa ， 因为
AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB
⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13
BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2
3AB
⃗⃗⃗⃗⃗ +1
3
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,
所以 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(2
3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2
，即 a 2λ2=4c 2+b 2+2bc, ⋯⋯① 在 △ACB 中，由余弦定理得：a 2=b 2+c 2−bc, ⋯⋯② 由 ① ② 得 λ2
=
4c b +b
c +2
c b +b c
−1，令 c
b =t ，λ2
=f (t )=4t+1t +2
t+1t
−1=
4t 2+2t+1t 2−t+1
，fʹ(t )=
−6t 2+6t+3
(t 2−t+1)2
， 令 fʹ(t )=0，得 t =1+√32
，
即 c
b =
1+√32
时，λ 最大．
结合 ② 可得 b =(√3−1)c ，a =3√2−√6
2c ，
在 △ACB 中，由正弦定理得
a sinA
=c sinC
⇒sinC =√6+√2
4
，⇒tanC =2+√3．
81. 2
【解析】由 f (x )=1+sinx
2+cosx ，得 sinx −(y −1)cosx =2(y −1)， 所以 √1+(y −1)2(√1+(y−1)2
√1+(y−1)2
=2(y −1)，
即 sin (x −θ)=√1+(y−1)2
tanθ=y −1)，
由 ∣
∣∣√1+(y−1)2∣
∣∣≤1，得 3y 2
−6y +2≤0，解得：3−√33≤y ≤3+√33． 所以函数 f (x )=1+sinx
2+cosx 的最大值与最小值分别为 3+√33
，
3−√33
，和为 2．
82. 2√7
【解析】由正弦定理，知 AB sinC
=
√3sin60∘
=
BC
sinA
，
所以 AB =2sinC ，BC =2sinA ．
因为 A +C =120∘， 所以
AB +2BC =2sinC +4sin (120∘−C )
=2(sinC +2sin120∘cosC −2cos120∘sinC )=2(sinC +√3cosC +sinC)=2(2sinC +√3cosC)=2√7sin (C +α). 其中 tanα=
√3
2
，α 是第一象限的角． 因为 0∘<C <120∘
，且 α 是第一象限角， 所以 AB +2BC
有最大值 2√7． 83. 7
25。