2025届山东省潍坊市昌乐县高三(最后冲刺)数学试卷含解析

2025届山东省潍坊市昌乐县高三（最后冲刺）数学试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量(2,4)a =-，(,3)b k =，且a 与b 的夹角为135︒，则k =（ ） A ．9-
B ．1
C ．9-或1
D ．1-或9
2．如图所示的程序框图输出的S 是126，则①应为（ ）
A ．5?n ≤
B ．6?n ≤
C ．7?n ≤
D ．8?n ≤
3．已知复数z 满足32i z i ⋅=+（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．23i +
B ．23i -
C ． 23i -+
D ． 23i --
4．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ） A ．
3
5
B ．
710
C ．
45
D ．
910
5．函数()()
2
41x
f x x x e =-+⋅的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．10
23
1
12x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中有理项有（ ） A ．3项
B ．4项
C ．5项
D ．7项
7．函数()y f x =满足对任意x ∈R 都有()()2f x f x +=-成立，且函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，
()14f =，则()()()201620172018f f f ++的值为（ ）
A ．0
B ．2
C ．4
D ．1
8．己知46a =，544log 21b =， 2.9
13c ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，则（ ）
A ．a b c >>
B ．a c b >>
C ．b c a >>
D ．c a b >>
9．已知抛物线2
4y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，(1,1)A ，当PAF ∆周长最小时，PF 所在直线的斜率为（ ） A ．4
3
-
B ．34
-
C ．
34
D ．
43
10．抛物线的准线与双曲线的两条渐近线所围成的三角形面积为
，则的值为 ( )
A ．
B ．
C ．
D ．
11．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是( )
A ．28cm
B ．212cm
C ．()
2
452cm +
D ．()
2
454cm +
12．sin80cos50cos140sin10︒︒︒︒+=（ ） A ．32
-
B ．
32
C ．12
-
D ．
12
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某班有学生52人,现将所有学生随机编号,用系统抽样方法,抽取一个容量为4的样本,已知5号、31号、44号学生在样本中,则样本中还有一个学生的编号是__________．
14．如图，从一个边长为12的正三角形纸片的三个角上，沿图中虚线剪出三个全等的四边形，余下部分再以虚线为折痕折起，恰好围成一个缺少上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底，则所得正三棱柱的体积为______.
15．已知数列{}n a 满足13n n a a +=,且2469a a a ++=,则()15793
log a a a ++=______.
16．已知函数()f x 在定义域R 上的导函数为()f x ',若函数()y f x '=没有零点,且
()20192019x f f x ⎡⎤-=⎣⎦,当
()sin cos g x x x kx =--在,22ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上与()f x 在R 上的单调性相同时,则实数k 的取值范围是______. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）某商场以分期付款方式销售某种商品，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数X 的分布列为：
X 2 3 4
P 0.4
a
b
其中01a <<，01b <<
（Ⅰ）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；
（Ⅱ）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得利润l00元，若顾客选择分3期付款，则商场获得利润150元，若顾客选择分4期付款，则商场获得利润200元.商场销售两件该商品所获的利润记为Y （单位：元） （ⅰ）求Y 的分布列；
（ⅱ）若()3000.8P Y ≤≥，求Y 的数学期望()E Y 的最大值.
18．（12分）万众瞩目的第14届全国冬季运动运会（简称“十四冬”）于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如图频数分布直方图：
（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”，否则定义为“非冰雪迷”，请根据频率分布直方图补全22⨯列联表；并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关；
（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座.记其中女职工的人数为ξ，求的ξ分布列与数学期望. 附表及公式：
()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k
2.072
2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
()
()()()()2
2n ad bc K a b c d a c b d -=
++++，n a b c d =+++ 19．（12分）设函数2
()2ln(1)1
x f x x x =++
+.
（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）如果对所有的x ≥0，都有()f x ≤ax ，求a 的最小值；
（Ⅲ）已知数列{}n a 中，11a =，且1(1)(1)1n n a a +-+=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：
1
1ln 2n n n n
a S a a ++>
-. 20．（12分）在三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若()31
sin ,tan 53
A A
B =-=，角
C 为钝角， 5.b = （1）求sin B 的值； （2）求边c 的长.
21．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PAD ∆为正三角形，平面PAD ⊥平面,,ABCD E F 分别是,AD CD 的中点.
（1）证明:BD ⊥平面PEF
（2）若60BAD ︒∠=，求二面角B PD A --的余弦值.
22．（10分）已知ABC ∆的三个内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，向量()12m =，
，2
cos 2,cos 2A n A ⎛
⎫= ⎪⎝
⎭
，且1m n ⋅=.
（1）求角A 的大小；
（2）若223b c a +==sin 4B π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
的值
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解析】
由题意利用两个向量的数量积的定义和公式，求k 的值. 【详解】
解：由题意可得2cos135||||416a b a b ︒
⋅===⋅+，
求得9k
=-，或1k =，
故选：C. 【点睛】
本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题． 2、B 【解析】
试题分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n 的值，并输出满足循环的条件． 解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是累加S=2+22+…+2n 的值， 并输出满足循环的条件． ∵S=2+22+…+21=121， 故①中应填n≤1． 故选B
点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误． 3、A 【解析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
解：由32i z i ⋅=+，得()()2
323223i i i z i i i +-+=
==--， ∴23z i =+．
故选A ． 【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 4、D 【解析】
利用列举法，从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有9种情况，由古典概型概率公式可得结果. 【详解】
《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．记这5部专著分别为,,,,a b c d e ，其中,,a b c 产生于汉、魏、晋、南北朝时期．从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，基本事件有,,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce de 共10种情况，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的基本事件有,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce ，共9种情况，所以所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为9
10
m P n ==．故选D ． 【点睛】
本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生. 5、A 【解析】
用0x <排除B ，C ；用2x =排除D ；可得正确答案. 【详解】
解：当0x <时，2410x x -+>，0x e >， 所以()0f x >，故可排除B ，C ；
当2x =时，()2
230f e =-<，故可排除D ．
故选：A ． 【点睛】
本题考查了函数图象，属基础题． 6、B 【解析】
由二项展开式定理求出通项，求出x 的指数为整数时r 的个数，即可求解. 【详解】
72010
3
110
(1)2
r r r r r T C x
-
-+=-，010r ≤≤，
当0r =，3，6，9时，1r T +为有理项，共4项. 故选:B. 【点睛】
本题考查二项展开式项的特征，熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键，属于基础题. 7、C 【解析】
根据函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称可得()f x 为奇函数，结合()()2f x f x +=-可得()f x 是周期为4的周期函数，利用()00f =及()14f =可得所求的值. 【详解】
因为函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，所以()y f x =的图象关于原点对称， 所以()f x 为R 上的奇函数.
由()()2f x f x +=-可得()()2f x f x +=-，故()()()42f x f x f x +=-+=， 故()f x 是周期为4的周期函数.
因为20164504,201745041,201845042=⨯=⨯+=⨯+，
所以()()()()()()()20162017201012428f f f f f f f +=+=+++. 因为()()2f x f x +=-，故()()()02000f f f +=-=-=， 所以()()()2016201720148f f f +=+. 故选：C.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性和周期性，一般地，如果R 上的函数()f x 满足()()()0f x a f x a +=-≠，那么()f x 是周期为2a 的周期函数，本题属于中档题. 8、B 【解析】
先将三个数通过指数，对数运算变形1
044
6661a ==>=， 2.9
5
544
411log log 10,012133b c ⎛⎫⎛⎫
=<=<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
再判断. 【详解】
因为1
044
6661a ==>=， 2.9
5
544
411log log 10,012133b c ⎛⎫⎛⎫
=<=<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以a c b >>， 故选：B. 【点睛】
本题主要考查指数、对数的大小比较，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题. 9、A 【解析】
本道题绘图发现三角形周长最小时A,P 位于同一水平线上，计算点P 的坐标，计算斜率，即可． 【详解】
结合题意，绘制图像
要计算三角形PAF 周长最小值，即计算PA+PF 最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN ，所以
PF PA PA PN AN AG +=+≥≥，故当点P 运动到M 点处，三角形周长最小，故此时M 的坐标为1,14⎛⎫
⎪⎝⎭
，所以斜
率为
104
1314
k -=
=--，故选A ． 【点睛】
本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等． 10、A 【解析】
求得抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解得两交点，由三角形的面积公式，计算即可得到所求值． 【详解】 抛物线
的准线为
， 双曲线的两条渐近线为
，
可得两交点为，
即有三角形的面积为，解得
，故选A ．
【点睛】
本题考查三角形的面积的求法，注意运用抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，考查运算能力，属于基础题． 11、D 【解析】
根据三视图判断出几何体为正四棱锥，由此计算出几何体的表面积. 【详解】
根据三视图可知，该几何体为正四棱锥.底面积为224⨯=.22215+=1
425452
⨯⨯=所以该几何体的表面积是()
2454cm .
故选：D 【点睛】
本小题主要考查由三视图判断原图，考查锥体表面积的计算，属于基础题. 12、D 【解析】
利用109080,1409050︒
︒
︒
︒
︒
=-=+，根据诱导公式进行化简，可得sin80cos50cos80sin 50︒︒︒︒-，然后利用两角差的正弦定理，可得结果. 【详解】
由809010,1409050︒︒︒︒︒
=-=+
所以()sin10sin 9080cos10︒︒︒︒
=-= ()cos140cos 9050sin50︒︒︒︒=+=-， 所以原式()sin80cos50cos80sin50sin 8050︒︒︒︒︒︒=-=- 所以原式1sin 302==
故1sin80cos50cos140sin102
︒︒︒︒+=
故选：D
【点睛】 本题考查诱导公式以及两角差的正弦公式，关键在于掌握公式，属基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、18
【解析】
根据系统抽样的定义和方法,所抽取的4个个体的编号成等差数列,故可根据其中三个个体的编号求出另一个个体的编号.
【详解】
解：根据系统抽样的定义和方法,所抽取的4个个体的编号成等差数列,
已知其中三个个体的编号为5,31,44,
故还有一个抽取的个体的编号为18,
故答案为:18
【点睛】
本题主要考查系统抽样的定义和方法,属于简单题.
14、1
【解析】
由题意得正三棱柱底面边长6
【详解】
如图，作AO BC ⊥，交BC 于O ，AO ==，
由题意得正三棱柱底面边长6EF =，高为h =
∴所得正三棱柱的体积为：
166sin 603272
DEF V S h ∆=⋅=⨯⨯⨯︒⨯=． 故答案为：1．
【点睛】
本题考查立体几何中的翻折问题、正三棱柱体积的求法、三棱柱的结构特征等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意翻折前后的不变量．
15、5-
【解析】
数列{}n a 满足13n n a a +=知，数列以3为公比的等比数列，再由已知结合等比数列的性质求得
15793
log ()a a a ++的值即可.
【详解】
13n n a a +=， ∴数列{}n a 是以3为公比的等比数列，
又2469a a a ++=，
35579933a a a ∴++=⨯=，
5157933
log ()35a a a log ∴++=-=-． 故答案为：5-．
【点睛】
本题考查了等比数列定义，考查了对数的运算性质，考查了等比数列的通项公式，是中档题．
16、(],1-∞-
【解析】
由题意可知：()f x 为R 上的单调函数，则()2019x f x -为定值，由指数函数的性质可知()f x 为R 上的增函数，则()g x 在[2π
-，]2π
单调递增，求导，则()0g x '恒成立，则2sin()4min k x π
+，根据函数的正弦函数的性质即可求得k 的
【详解】
若方程()0f x '=无解，
则()0f x '>或()0f x '<恒成立，所以()f x 为R 上的单调函数，
x R ∀∈都有[()2019]2019x f f x -=，
则()2019x f x -为定值，
设()2019x t f x =-，则()2019x f x t =+，易知()f x 为R 上的增函数，
()sin cos g x x x kx =--，
()sin cos )4
g x x x k x k π
∴'=+-+-， 又()g x 与()f x 的单调性相同， ()g x ∴在R 上单调递增，则当[2x π∈-，]2π，()0g x '恒成立，
当[2x π
∈-，]2
π时，[44x ππ+∈-，3]4π，sin()[4x π+∈1]，
∴)[4x π+∈-，
此时1k -，
故答案为：(],1-∞-
【点睛】
本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，正弦函数的性质，辅助角公式，考查计算能力，属于中档题．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（Ⅰ）0.288（Ⅱ）（ⅰ）见解析（ⅱ）数学期望()E Y 的最大值为280
【解析】
（Ⅰ）根据题意，设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，由独立重复事件的特点得出()3,0.4B η
，
利用二项分布的概率公式，即可求出结果；
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，Y 的取值为200，250，300，350，400，根据离散型分布求出概率和Y 的分布列；（ⅱ）由题意知0.41a b ++=，()23000.160.480.8P Y a ≤=++≥，解得0.6a <，根据Y 的分布列，得出Y 的数学期望()E Y ，结合[)0.4,0.6a ∈，即可算出()E Y 的最大值.
解：（Ⅰ）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，则()3,0.4B η
，
则()()223210.40.40.288P C η==⨯-⨯=， 故购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288.
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，Y 的取值为200，250，300，350，400，
()2000.40.40.16P Y ==⨯=，()25020.40.8P Y a a ==⨯=，
()2230020.40.8P Y b a b a ==⨯+=+，()3502P Y ab ==，()2400P Y b ==
Y ∴的分布列为：
（ⅱ）()()()()()23002002503000.160.8P Y P Y P Y P Y a b a ≤==+=+==+++，
由题意知0.41a b ++=，0.6a b ∴+=，0.6b a ∴=-，
()23000.160.480.8P Y a ≤=++≥，
0.4a ∴≥，又0b >，即0.60a ->，解得0.6a <，
[)0.4,0.6a ∴∈，
()()222000.162500.83000.83502400E Y a b a ab b =⨯+⨯+⨯++⨯+
320100a =-，
当0.4a =时，()E Y 的最大值为280，
所以Y 的数学期望()E Y 的最大值为280.
【点睛】
本题考查独立重复事件和二项分布的应用，以及离散型分布列和数学期望，考查计算能力.
18、（1）列联表见解析，有把握；（2）分布列见解析，
23. 【解析】
（1）根据频率分布直方图补全22⨯列联表，求出2 2.778 2.706k ≈>，从而有90%的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关．
（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，则抽中男教工：406460
⨯=人，抽中女教工：206260⨯=人，从这
6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座．记其中女职工的人数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
【详解】
解：（1）由题意得下表：
2
k 的观测值为2100(800400)25 2.706604060409-=>⨯⨯⨯ 所以有90%的把握认为该校教职工是“冰雪迷”与“性别”有关.
（2）由题意知抽取的6名“冰雪迷”中有4名男职工，2名女职工，
所以的可能取值为0，1，2.
且()2426C C 620155P ξ====，()114226C C C
8115P ξ===，()2
2261215C P C ξ===， 所以的分布列为
()01251515153
E ξ=⨯+⨯+⨯== 【点睛】
本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、排列组合、频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
19、（Ⅰ）函数()f x 在(1-2-+，上单调递减，在(-2)++∞单调递增；
（Ⅱ）2；（Ⅲ）证明见解析． 【解析】
（Ⅰ）先求出函数f （x ）的导数，通过解关于导数的不等式，从而求出函数的单调区间；
（Ⅱ）设g （x ）＝f （x ）﹣ax ，先求出函数g （x ）的导数，通过讨论a 的范围，得到函数的单调性，从而求出a 的最
（Ⅲ）先求出数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，1为公差的等差数列，1n a n =，111n a n +=+，问题转化为证明：()()111112123n ln n n n
++
+++++＜，通过换元法或数学归纳法进行证明即可． 【详解】 解：（Ⅰ） f （x ）的定义域为（﹣1，+∞），()()224
2
'1x x f x x ++=+，
当1
2x --＜＜f ′（x ）＜2，当2x -
+＞f ′（x ）＞2，
所以函数f （x
）在(1
2--+，上单调递减，在()2-++∞单调递增． （Ⅱ）设()()2
211x g x ln x ax x =++-+， 则()()()()()22222121142
1'(1)21
11x x x x g x a a a x x x +++-++=-=-=--+-+++， 因为x ≥2，故211(1)01
x ---≤+＜， （ⅰ）当a ≥1时，1﹣a ≤2，g ′（x ）≤2，所以g （x ）在[2，+∞）单调递减，
而g （2）＝2，所以对所有的x ≥2，g （x ）≤2，即f （x ）≤ax ；
（ⅱ）当1＜a ＜1时，2＜1﹣a ＜1，若0x ⎛∈ ⎝⎭
，则g ′（x
）＞2，g （x ）单调递增，
而g （2）＝2，所以当0x ⎛∈ ⎝⎭
时，g （x ）＞2，即f （x ）＞ax ；
（ⅲ）当a ≤1时，1﹣a ≥1，g ′（x ）＞2，所以g （x ）在[2，+∞）单调递增，
而g （2）＝2，所以对所有的x ＞2，g （x ）＞2，即f （x ）＞ax ；
综上，a 的最小值为1．
（Ⅲ）由（1﹣a n +1）（1+a n ）＝1得，a n ﹣a n +1＝a n •a n +1，由a 1＝1得，a n ≠2，
所以1111n n a a +-=，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，1为公差的等差数列， 故1n n a =，1n a n =，111
n a n +=+， 112n n n a S lna a ++-＞⇔()()111112123n ln n n n
+++++++＜，
由（Ⅱ）知a ＝1时，()2
2121
x ln x x x ++≤+，x ＞2， 即()()
2
121x ln x x x +++＜，x ＞2． 法一：令1x n
=，得()11121n ln n n n n +++＜， 即()1111121ln n lnn n n n
⎛⎫+-+- ⎪+⎝⎭＜ 因为()()()1111 112121n k n ln k lnk ln n k k n =⎡⎤⎛⎫+-+-=++ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣
⎦∑， 所以()()111112123n ln n n n ++
+++++＜， 故112n n n n
a S lna a ++-＞． 法二：112n n n n a S lna a ++-＞⇔()()
111112321n ln n n n +++++++＞ 下面用数学归纳法证明．
（1）当n ＝1时，令x ＝1代入()()2121x ln x x x +++＜，即得1124
ln +＞，不等式成立 （1）假设n ＝k （k ∈N *，k ≥1）时，不等式成立，
即()()
111112321k ln k k k +++++++＞， 则n ＝k +1时，()()1111111231211k ln k k k k k +++++++++++＞， 令11
x k =+代入()()2121x ln x x x +++＜， 得()()()()()()()()121121
1111212211211212k k k k ln ln k ln k ln k k k k k k k k k k ++++++++++++++++++++＞＞ ()()()()
()()21
12221222k k k ln k ln k k k k +++=++=+++++， 即：()1111212ln k +++++++＞，
由（1）（1）可知不等式()()
111112321n ln n n n +++++++＞对任何n ∈N *都成立． 故112n n n n
a S lna a ++-＞． 考点：1利用导数研究函数的单调性；1、利用导数研究函数的最值；
3、数列的通项公式；
4、数列的前n 项和；
5、不等式的证明．
20、（1）sin 10
B =
（2）13c = 【解析】
（1）由()sin sin B A A B ⎡⎤=--⎣⎦，分别求得sin cos A A ，，()()sin cos A B A B --
，得到答案；（2）利用正弦定理sin sin a A b B
=得到 a =13c =．
【详解】
(1)因为角C 为钝角，3sin 5A =
，所以4cos 5A == ， 又()1tan 3A B -=
，所以02A B π<-
< ， 且()()sin A B A B -=-= ， 所以()()()sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A A
B ⎡⎤=--=-
--⎣⎦
34
55=-=. (2)因为sin
sin 5
a A
b B == ，且5b =
，所以a =， 又()cos cos cos cos sin sin C A B
A B A B =-+
=-+=， 则2222cos 952525169c a b ab C ⎛
=+-=+-⨯= ⎝ ，
所以 13c = .
21、（1）详见解析；（2. 【解析】
平面ABCD ，故而BD PE ⊥，最后由线面垂直的判定得结论.
（2）以E 为原点建平面直角坐标系，求出平面平PAD 与平面PBD 的法向量()0,1,0m = ，()3,1,1n =--，最后求得二面角B PD A --的余弦值为55. 【详解】
解：（1）连结AC
∵PA PD = ，且E 是AD 的中点，
∴PE AD ⊥
∵平面PAD ⊥平面ABCD ，
平面PAD 平面ABCD AD =，
∴PE ⊥平面ABCD .
∵BD ⊂平面ABCD ，
∴BD PE ⊥
又ABCD 为菱形，且,E F 为棱的中点，
∴//,EF AC BD AC ⊥
∴BD EF ⊥.
又∵,BD PE PE EF E ⊥⋂=，,PE EF ⊂平面PEF
∴BD ⊥平面PEF .
（2）由题意有，
∵四边形ABCD 为菱形，且60,BAD ︒∠=
分别以EA ，EB ，EP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴
建立如图所示的空间直角坐标系xyz E ，设1AD =，则
1,0,0,,2D B P ⎛⎫⎛⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ 设平面PBD 的法向量为(),,.n x y z =
由·0·0n DB n DP ⎧=⎨=⎩
，得00
x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
令x ()
3,1,1n =-- 取平面APD 的法向量为()0,1,0m =
∴cos ,m n ==二面角B PD A --为锐二面角，
∴二面角B
PD A -- 【点睛】 处理线面垂直问题时，需要学生对线面垂直的判定定理特别熟悉，运用几何语言表示出来方才过关，一定要在已知平面中找两条相交直线与平面外的直线垂直，才可以证得线面垂直，其次考查了学生运用空间向量处理空间中的二面角问题，培养了学生的计算能力和空间想象力.
22、（1）3A π=
（2
【解析】 ()1利用平面向量数量积的坐标表示和二倍角的余弦公式得到关于cos A 的方程,解方程即可求解;
()2由()1知3A π=
,在ABC ∆中利用余弦定理得到关于
,b c 的方程,与方程b c +=联立求出,b c ,进而求出B ,利用两角差的正弦公式求解即可.
【详解】 ()1由题意得，2cos 22cos 2
A m n A ⋅=+, 由二倍角的余弦公式可得,
22cos 22cos 1,2cos cos 12
A A A A =-=+,
2
解得1cos 2
A =或cos 1A =-， ∵0A π<<，∴3A π
=.
()2 在ABC ∆中,由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-,
即22222122
b c bc b c bc =+-⋅=+-①
又因为b c +=把b c =代入①整理得，
230c -+=，解得c =b =
所以ABC ∆为等边三角形，3B π=
， ∴sin sin sin cos cos sin 4343434B πππππππ⎛
⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,
即1sin 4222B π⎛⎫
-
=-⨯= ⎪⎝⎭. 【点睛】 本题考查利用平面向量数量积的坐标表示和余弦定理及二倍角的余弦公式解三角形;熟练掌握余弦的二倍角公式和余弦定理是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.。