八年级数学上册勾股定理的逆定理学案苏科

课题：3.2勾股定理的逆定理
学习目标: 姓名：
1．会阐述直角三角形的判定条件（勾股定理的逆定理）；
2．会用直角三角形的判定条件判定一个三角形是直角三角形，探索怎样的数组是“勾股数”，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力；
3．经历探索一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会“形”与“数”的内在联系．
学习过程：
一.【情景创设】
古巴比伦泥板上的数组揭示了什么奥秘？
二.【问题探究】
问题1：（1）画图：画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）．
A．3，4，3； B．3，4，5；
C．3，4，6； D．5，12，13．
判断：请判断一下上述你所画的三角形的形状．
（2）猜想：三角形的三边满足什么条件时，这个三角形是直角三角形？
（3）归纳：
（4）你会用这个结论判断一个三角形是不是直角三角形吗？这个结论与勾股定理有什么关系吗？
（5）归纳：满足a2＋b2＝c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．例如：3、4、5是一组勾股数，古巴比伦泥板上的神秘数组都是勾股数，利用勾股数可以构造直角三角形．除了3、4、5这组勾股数之外，你还能写出其他的勾股数吗？先独立思考，再与同学交流你的结果．
（6）练一练判断：下列各组数是勾股数吗？
6，8，10； 9，12，15； 12，16，20．
你发现什么规律？
问题2：很久很久以前，古埃及人把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，你知道这个三角形是什么形状吗？并说明理由．
问题3: 已知：如图，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝90°，AB＝13，BC＝12.求图形的面积.
问题4: 已知某校有一块四边形空地ABCD，如图现计划在该空地上种草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需100元，问需投入多少元？
三.【变式拓展】
问题5：如图，已知：在正方形ABCD中，F是DC的中点，E是BC上一点，且EC=BC，
试说明：∠AFE=90°。

（提示：设正方形边长为4a）
四.【总结提升】
谈谈你这一节课有哪些收获．
五. 【课堂反馈】
六. 【课后作业】
（选做题）
2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．下列各式中，运算正确的是（ ）
A ．222()-=-
B ．284⨯=
C ．2810+=
D ．222-=
2．在下列条件中，能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A ．两组对边分别平行
B ．一组对边平行且另一组对边相等
C ．两组邻边相等
D ．对角线互相垂直
3．下列命题中：①两直角边对应相等的两个直角三角形全等；②两锐角对应相等的两个直角三角形全等；③斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等；④一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等；⑤一锐角和一边对应相等的两个直角三角形全等．其中正确的个数有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
4．不等式：10x ->的解集是（ ）
A ．1x >
B ．1x >-
C ．1x <
D ．1x <-
5．如图，ABCD 的周长为24，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，8BD =，则DOE ∆的周长为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．14
6．如图，点O 是AC 的中点，将面积为4cm 2的菱形ABCD 沿对角线AC 方向平移AO 长度得到菱形OB ′C ′D ′，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．1cm 2
B ．2cm 2
C ．3cm 2
D ．4cm 2
7．在平面直角坐标系的第二象限内有一点M ，点M 到x 轴的距离为3，到y 轴的距离为4，则点M 的坐标是（ ）
A ．(3,4)-
B ．(4,3)-
C ．(4,3)-
D ．()3,4-
8．如图，证明矩形的对角线相等，已知：四边形ABCD 是矩形．求证：AC BD =．以下是排乱了的证
明过程：①∴AB CD =、ABC DCB ∠=∠．②∵BC CB =③∵四边形ABCD 是矩形
④∴AC DB =⑤∴ABC DCB ∆∆≌．证明步骤正确的顺序是（ ）
A ．③①②⑤④
B ．②①③⑤④
C ．③⑤②①④
D ．②⑤①③④ 9．某区选取了10名同学参加兴隆台区“汉字听取大赛”，他们的年龄(单位：岁)记录如下：
年龄(单位：岁)
13 14 15 16 17 人数 2 2 3 2 1
这些同学年龄的众数和中位数分别是( )
A ．15，15
B ．15，16
C ．3，3
D ．3，15
10．如图， 矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，4AC cm =，120AOD ∠=︒，则BC 的长为( )
A ．43cm
B ．4cm
C ．23cm
D ．2cm
二、填空题 11．已知（m ，n ）是函数y =-3与y =3x +9的一个交点，则13m -1n 的值为______． 12．因式分解：a 2﹣4＝_____．
13．如图，这个图案是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺而成的，则这个图案中的等腰梯形的底角(指锐角)是_________度．
14．函数3y x =-与y kx =的图象如图所示，则k 的值为____．
15．在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，其余两边长是两个相邻的偶数，则这个三角形的周长为_____． 16．已知∠ABC=60°，点D 是其角平分线上一点，BD=CD=6，DE//AB 交BC 于点E.若在射线BA 上存在点F ，使DCF BDE S S ∆∆=，请写出相应的BF 的长：BF ＝_________
17．已知a ＝3﹣2，b ＝3+2，求a 2+b 2的值为_____．
三、解答题
18．已知：如图，在▱ABCD 中，点E 、F 分别是边AD 、BC 的中点．求证：BE =DF ．
19．（6分） 为更新果树品种，某果园计划新购进A 、B 两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A 种苗的单价为7元/棵，购买B 种苗所需费用y （元）与购买数量x （棵）之间存在如图所示的函数关系．
（1）求y 与x 的函数关系式；
（2）若在购买计划中，B 种苗的数量不超过35棵，但不少于A 种苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．
20．（6分）下表是某网络公司员工月收人情况表．
月收入
45000170001000056005000380030001600
（元）
人数111252112
（1）求此公司员工月收人的中位数；
（2）小张求出这个公司员工月收人平均数为6080元，若用所求平均数反映公司全体员工月收人水平，合适吗？若不合适，用什么数据更好？
21．（6分）如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE，
（1）求证：四边形AEBD是矩形；
（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．
22．（8分）如图，在□ABCD中，点E在BC上，AB=BE，BF平分∠ABC交AD于点F，请用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹，不写画法）.
（1）在图1中，过点A画出△ABF中BF边上的高AG；
（2）在图2中，过点C画出C到BF的垂线段CH.
23．（8分）某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加840元．
（1）求该商店3月份这种商品的售价是多少元？
（2）如果该商店3月份销售这种商品的利润为900元，那么该商店4月份销售这种商品的利润是多少元？24．（10分）某加工车间共有20名工人，现要加工1800个甲种零件，1000 个乙种零件，已知每人每天加工甲种零件30个或乙种零件50个(每人只能加工一种零件),怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务?
25．（10分）如图，在ABC中，100
∠=︒，将ABC绕点A逆时针旋转150︒，得到ADE，使
BAC
∠的度数．
得点B、C、D恰好在同一条直线上，求E
参考答案
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．B
【解析】
【分析】
=a≥0，b≥0），被开数相同的二次根式可以合并进行计算即可．2
a a
b ab
【详解】
-=，故原题计算错误；
A()222
B2816
=，故原题计算正确；
C2832
=
D、22不能合并，故原题计算错误；
故选B．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的混合运算，关键是掌握二次根式乘法、性质及加减法运算法则．
2．A
【分析】
根据平行四边形的判定定理逐个判断即可．
【详解】
A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项符合题意；
B、一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、两组邻边相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形才是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选A．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定定理，能熟记平行四边形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：平行四边形的判定定理有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③两组对角分别平行的四边形是平行四边形，④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形．
3．C
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定定理逐项分析，作出判断即可．
【详解】
解：①两直角边对应相等，两直角相等，所以根据SAS可以判定两直角边对应相等的两个直角三角形全等．故
①正确；
②两锐角对应相等的两个直角三角形不一定全等，因为对应边不一定相等．故②错误；
③斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形，可以根据HL判定它们全等．故③正确；
④一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形，可以根据AAS判定它们全等．故④正确；
⑤一锐角和一边对应相等的两个直角三角形，可以根据AAS或ASA判定它们全等．故⑤正确．
综上所述，正确的说法有4个．
故选：C．
【点睛】
本题考查了直角三角形全等的判定．直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
4．C
利用不等式的基本性质：先移项，再系数化1，即可解得不等式；注意系数化1时不等号的方向改变．【详解】
1-x＞0，
解得x＜1，
故选C．
【点睛】
本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
5．C
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质和已知条件得出OD=4，CD+BC=12，再证明OE是△BCD的中位线，得出DE+OE=6，即可得出结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，OB=OD=1
2
BD=4，
∵ABCD的周长为24，∴CD+BC=12，
∵点E是CD的中点，
∴DE=1
2
CD，OE是△BCD的中位线，
∴OE=1
2 BC，
∴DE+OE=1
2
（CD+BC）=6，
∴△DOE的周长=OD+DE+OE=4+6=10；
故选C．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理；熟练掌握平行四边形的性质，运用三角形中位线定理是解决问题的关键．
6．A
根据题意得，▱ABCD ∽▱OECF ，且AO=OC=
12AC ，故四边形OECF 的面积是▱ABCD 面积的14． 【详解】
由平移的性质得，▱ABCD ∽▱OECF ，且AO ＝OC ＝
12AC ， 故四边形OECF 的面积是▱ABCD 面积的
14．， 即图中阴影部分的面积为1cm 1．
故选A ．
【点睛】
此题主要考查学生对菱形的性质及平移的性质的综合运用．关键是得出四边形OECF 的面积是▱ABCD 面积的14
． 7．C
【解析】
分析：根据第二象限内点的坐标特征，可得答案．
详解：由题意，得
x=-4，y=3，
即M 点的坐标是（-4，3），
故选C ．
点睛：本题考查了点的坐标，熟记点的坐标特征是解题关键．横坐标的绝对值就是到y 轴的距离，纵坐标的绝对值就是到x 轴的距离．
8．A
【解析】
【分析】
根据SAS 定理证明三角形全等，进而得出对应边相等.
【详解】
解：∵四边形ABCD 是矩形
∴AB CD =、ABC DCB ∠=∠
∵BC CB =
∴ABC DCB ∆∆≌
∴AC DB =
所以正确顺序为③①②⑤④
本题考查了全等三角形的证明，理清证明过程是排序的关键.
9．A
【解析】
【分析】
根据众数的定义和中位数的定义求解即可，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【详解】
解：根据10名学生年龄人数最多的即为众数：15，
根据10名学生，第5,6名学生年龄的平均数即为中位数为：=15，故选A.
【点睛】
本题考查了众数和中位数的定义，解题的关键是牢记定义，并能熟练运用．
10．C
【解析】
【分析】
利用矩形对角线的性质得到OA=OB ．结合∠AOD=120°知道∠AOB=60°，则△AOB 是等边三角形；最后在直角△ABC 中，利用勾股定理来求BC 的长度即可．
【详解】
解： 如图，
矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，4AC cm =，
122OA OB AC cm ∴==
=． 又120AOD ∠=︒，
60AOB ∴∠=︒，
AOB ∴∆是等边三角形，
2AB OA OB cm ∴===．
∴在直角ABC ∆中，90ABC ∠=︒，2AB cm =，4AC m =，
BC ∴===．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OA 、OB 的长，题目比较典型，是一道比较好的题目．
二、填空题
11．【解析】
【分析】
根据函数解析式得出，n-3m=9，代入变形后代数式求出即可．
【详解】
解：∵（m ，n ）是函数y=3x+9的一个交点， ∴n-3m=9，
∴1
3m -1n =33n m mn -=-
故答案为：
【点睛】
本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及分式的运算，主要考查学生的理解能力和计算能力． 12．（a+2）（a ﹣2）．
【解析】
试题分析：直接利用平方差公式分解因式a 2﹣4=（a+2）（a ﹣2）．故答案为（a+2）（a ﹣2）．
【考点】因式分解-运用公式法．
13．60°
【解析】
【分析】
根据图案的特点，可知密铺的一个顶点处的周角，由3个完全相同的等腰梯形的较大内角组成，即可求出等腰梯形的较大内角的度数，进而即可得到答案.
【详解】
由图案可知：密铺的一个顶点处的周角，由3个完全相同的等腰梯形的较大内角组成，
∴等腰梯形的较大内角为360°÷3=120°，
∵等腰梯形的两底平行，
∴等腰梯形的底角（指锐角）是：180°-120°=60°．
故答案是：60°．
【点睛】
本题主要考查等腰梯形的性质以及平面镶嵌，掌握平面镶嵌的性质是解题的关键．
14．1
【解析】
【分析】
将x=1代入y 3x =-可得交点纵坐标的值，再将交点坐标代入y=kx 可得k ．
【详解】
解： 把x=1代入y 3x =-得：y=1，
∴y 3x =-与y kx =的交点坐标为（1，1），
把x=1，y=1代入y=kx 得k=1．
故答案是：1．
【点睛】
本题主要考查两条直线的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．
15．24
【解析】
【分析】
设其余两边长分别为n 、2n +，根据勾股定理列出方程，解方程求出n ，计算即可.
【详解】
设其余两边长分别为n 、2n +，
由勾股定理得，()222210n n ++=，
整理得，22480n n +-=，
解得，18n =-（舍去），26n =，
则其余两边长分别为6、8，
则这个三角形的周长681024=++=.
故答案为：24.
【点睛】
本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a 、b ，斜边长为c ，那么222+=a b c . 16．23或43.
【解析】
【分析】
过点D 作DF 1∥BE ，求出四边形BEDF 1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF 1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F 1为所求的点，过点D 作DF 2⊥BD ，求出∠F 1DF 2=60°，从而得到△DF 1F 2是等边三角形，然后求出DF 1=DF 2，再求出∠CDF 1=∠CDF 2，利用“边角边”证明△CDF 1和△CDF 2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F 2也是所求的点，然后在等腰△BDE 中求出BE 的长，即可得解． 【详解】
如图，过点D 作DF 1∥BE ，易求四边形BEDF 1是菱形，
所以BE=DF 1，且BE 、DF 1上的高相等，
此时S △DCF1=S △BDE ；
过点D 作DF 2⊥BD ，
∵∠ABC=60°，F 1D ∥BE ，
∴∠F 2F 1D=∠ABC=60°，
∵BF 1=DF 1，∠F 1BD=1
2∠ABC=30°，∠F 2DB=90°，
∴∠F 1DF 2=∠ABC=60°，
∴△DF 1F 2是等边三角形，
∴DF 1=DF 2，
∵BD=CD ，∠ABC=60°，点D 是角平分线上一点，
∴∠DBC=∠DCB=1
2×60°=30°，
∴∠CDF 1=180°-∠BCD=180°-30°=150°，
∠CDF 2=360°-150°-60°=150°，
∴∠CDF 1=∠CDF 2，
∵在△CDF 1和△CDF 2中，
1212DF DF CDF CDF CD CD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ， ∴△CDF 1≌△CDF 2（SAS ），
∴点F 2也是所求的点，
∵∠ABC=60°，点D 是角平分线上一点，DE ∥AB ，
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=
12×60°=30°， 又∵BD=6，
∴BE=12×6÷cos30°
=3÷2
∴BF 1=BF 2=BF 1+F 1F 2
故BF 的长为
故答案为：
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题关键，（3）要注意符合条件的点F 有两个．
17．1
【解析】
【分析】
把已知条件代入求值．
【详解】
解：原式＝22+
＝5510-+=．
故答案是：1．
【点睛】
直接代入即可，也可先求出a+b 、ab 的值，原式＝（a+b ）2﹣2ab ，再整体代入．
三、解答题
18．见解析
【解析】
【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD ∥BC ，AD =BC ，又由点E 、F 分别是▱ABCD 边AD 、BC 的中点，可得DE =BF ，继而证得四边形BFDE 是平行四边形，即可证得结论．
【详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD =BC ，
∵点E 、F 分别是▱ABCD 边AD 、BC 的中点，
∴DE =12AD ，BF =12
BC ， ∴DE =BF ，
∴四边形BFDE 是平行四边形，
∴BE =DF ．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的判定与性质定理，掌握对边平行且相等的四边形是平行四边形，是解题的关键. 19．（1）y=8x （0≤x<20）或y=6.4x+1（x≥20）；（2）当购买数量x=35时，W 总费用最低，W 最低=16元．
【解析】
【分析】
（1）根据函数图象找出点的坐标，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据B 种苗的数量不超过35棵，但不少于A 种苗的数量可得出关于x 的一元一次不等式组，解不等式组求出x 的取值范围，再根据“所需费用为W=A 种树苗的费用+B 种树苗的费用”可得出W 关于x 的函数关系式，根据一次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】
（1）当0≤x<20时，设y 与x 的函数关系式为：y=mx ，把（20，160）代入y=mx ，得160=mx ， 解得m=8,
故当0≤x<20时，y 与x 的函数关系式为：y=8x ；
当x≥20时，设y 与x 的函数关系式为：y=kx+b ， 把（20，160），（40，288）代入y=kx+b 得： 2016040288k b k b +=⎧⎨+=⎩
解得： 6.432
k b =⎧⎨=⎩ ∴y=6.4x+1．
∴y 与x 的函数关系式为y=8x （0≤x<20）或y=6.4x+1（x≥20）；
（2）∵B 种苗的数量不超过35棵，但不少于A 种苗的数量，
∴
35
45
x
x x
≤
⎧
⎨
≥-
⎩
，
∴22.5≤x≤35，
设总费用为W元，则W=6.4x+1+7（45﹣x）=﹣0.6x+347，
∵k=﹣0.6，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=35时，W总费用最低，W最低=﹣0.6×35+347=16（元）．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及解一元一次不等式组，解决该题型题目时，根据函数图象找出点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是关键．
20．（1）3000元；（2）不合适，利用中位数更好．
【解析】
【分析】
（1）根据中位数的定义首先找到25的最中间的数，再确定对应的工资数即可；
（2）先分析25人的收入与平均工资关系，根据月收入平均数为6080元，和25名员工的收入进行比较即可．
【详解】
()125个数据按大小顺序排列，最中间的是第13个数，
从收入表中可看出，第13个员工的工资数是3000元，
因此，中位数为3000元；
()2用所求平均数反应公司全体员工月收入水平不合适；
这个公司员工月收入平均数为6080元，但在25名员工中，仅有3名员工的收入在平均数以上，而另有22名员工收入在平均数以下，因此，用平均数反映所有员工的月收入不合适，
利用中位数更好．
【点睛】
此题考查了平均数、中位数，用到的知识点是中位数的定义，将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．
21．解：（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形．
∵AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC．
∴∠ADB=90°．
∴平行四边形AEBD是矩形．
（2）当∠BAC=90°时，矩形AEBD是正方形．理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD=BD=CD．
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，∴矩形AEBD是正方形．
【解析】
试题分析：（1）利用平行四边形的判定首先得出四边形AEBD是平行四边形，进而由等腰三角形的性质得出∠ADB=90°，即可得出答案；
（2）利用等腰直角三角形的性质得出AD=BD=CD，进而利用正方形的判定得出即可．
（1）证明：∵点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AEBD是矩形；
（2）当∠BAC=90°时，
理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AD=BD=CD，
∵由（1）得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
22．(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
【分析】
(1)连接AE，交BF于点G，则AG即为所求，理由为：AB＝AE，BF平分∠ABC，根据等腰三角形三线合一的性质可得BG⊥AG；
(2)连接AC、BD交于点O，连接EO并延长交AD于点G，连接CG交BF于点H，CH即为所求，理由：由平行四边形的性质以及作法可得△BOE≌△DOG，由此可得DG=BE=AB=CD，继而可得CG平分∠BCD，由AB//CD可得∠ABC+∠BCD=180°，继而可得∠FBC+∠GCB=90°，即∠BHC=90°，由此即可得答案.
【详解】
(1)如图1，AG即为所求；
(2)如图2，CH即为所求.
【点睛】
本题考查了作图——无刻度直尺作图，涉及了等腰三角形的性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.
23．（1）该商店3月份这种商品的售价是40元；（2）该商店4月份销售这种商品的利润是990元．
【解析】
【分析】
（1）设该商店3月份这种商品的售价为x 元，则4月份这种商品的售价为0.9x 元，根据数量=总价÷单价结合4月份比3月份多销售30件，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验即可得出结论；
（2）设该商品的进价为y 元，根据销售利润=每件的利润×销售数量，即可得出关于y 的一元一次方程，解之即可得出该商品的进价，再利用4月份的利润=每件的利润×销售数量，即可求出结论．
【详解】
（1）设该商店3月份这种商品的售价为x 元，则4月份这种商品的售价为0.9x 元，
根据题意得：
24002400840300.9x x
+=-， 解得：x=40，
经检验，x=40是原分式方程的解．
答：该商店3月份这种商品的售价是40元．
（2）设该商品的进价为y 元，
根据题意得：（40﹣a ）×
240040=900， 解得：a=25，
∴（40×0.9﹣25）×2400+840400.9
⨯=990（元）． 答：该商店4月份销售这种商品的利润是990元．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
24．安排15名工人加工甲种零件，5名工人加工乙种零件．
【解析】
【分析】
设安排x 人生产甲种零件，则（20-x ）人生产乙种零件，根据“生产甲种零件的时间=生产乙种零件的时间”列方程组求解可得．
【详解】
解：设安排x 名工人加工甲种零件，则（20-x ）人生产乙种零件，根据题意，得：
()
18001000305020x x =-． 解这个方程，得15x =
经检验：15x =是所列方程的解，且符合实际意义．
205x -=．
答：安排15名工人加工甲种零件，5名工人加工乙种零件．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
25．65︒
【解析】
【分析】
由旋转的性质得出∠BAD=150°，AD=AB ，∠E=∠ACB ，由点B ，C ，D 恰好在同一直线上，则△BAD 是顶角为150°的等腰三角形，求出∠B=15°，由三角形内角和定理即可得出结果．
【详解】
解：∵将ABC 绕点A 逆时针旋转150°，得到ADE ，
150,,BAD AD AB E ACB ∴∠=︒=∠=∠．
∵点B 、C 、D 恰好在同一条直线上
BAD ∴是顶角为150°的等腰三角形，
B BDA ∴∠=∠，
()1180152
B BAD ∴∠=︒-∠=︒， 1801801001565E ACB BA
C B ︒∴∠=∠=-∠-∠-︒-︒=︒=︒．
【点睛】
此题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理等知识；判断出三角形ABD 是等腰三角形是解本题的关键．
2019-2020学年初二下学期期末数学模拟试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．如图，在ABC ∆中，6AB cm =，4BC cm =，5AC cm =，,E F 分别是AB 和BC 的中点，则EF =( )
A ．2cm
B ．4cm
C ．6cm
D ．8cm
2．方程x 2+x ﹣1＝0的一个根是（ ）
A ．1﹣
B ．
C ．﹣1+
D ．
3．在平行四边形ABCD 中，若AB=5 cm ， B 55∠=︒，则（ ）
A ．CD=5 cm ，
C 55∠=︒， B ．BC=5 cm ， C 55∠=︒， C ．CD=5 cm ，
D 55∠=︒， D ．BC=5 cm ， D 55∠=︒，
4．若5,a =17b =，则0.85的值用a 、b 可以表示为 （ ） A ．10a b + B ．10b a - C ．10ab D ．b a
5．如图，正方形OABC 的兩辺OA 、OC 分別在x 轴、y 轴上，点D(5，3)在边AB 上，以C 为中心，把△CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D′的坐标是（ ）
A ．(1，10)
B ．(-2，0)
C ．(2，10)或(-2，0)
D ．(10，2)或(-2，0) 6．若分式
14a -有意义，则a 的取值范围为( ) A ．a≠4 B ．a ＞4 C ．a ＜4 D ．a ＝4
7．如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE 、BE 、DE ，过A 作AE 的垂线交ED 于点P ，若AE=AP=1，5APD ≌△AEB ；②EB ⊥ED ；③5 ）
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
8．测试五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时出现了一处错误：将最高成绩写得更高了，则计算结果不受影响的是（ ）
A ．中位数
B ．平均数
C ．方差
D ．极差
9．如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若AB=5，AC=6，则BD 的长是（ ）
A ．8
B ．7
C ．4
D ．3
10．在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，OE ∥BC 交CD 于E ，若OE ＝3cm ，CE ＝2，则矩形ABCD 的周长（ ）
A ．10
B ．15
C ．20
D ．22
二、填空题 11．如图，平面直角坐标系中，A 、B 两点的坐标分别为（2，0）、（0，1），若将线段AB 平移至A 1B 1，点A 1的坐标为（3，1），则点B 1的坐标为_______．
12．在菱形ABCD 中，6AB =，120DAB ︒∠=，则对角线AC 的长为________．
13．请写出一个过点（0，1），且y 随着x 的增大而减小的一次函数解析式_____．
14．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，∠ABC ＝60°，过BC 的中点E 作EF ⊥AB 于点F ，交DC 的延长线于点G ，则DE ＝_____．
15．如图，点O是平行四边形ABCD的对角线交点，AD AB
>，,E F是AB边上的点，且
1
2 EF AB
=；,G H是BC边上的点，且
1
3
GH BC
=，若
12
,S S分别表示EOF
∆和GOH
∆的面积，则12
:
S S=__________．
16．不等式组
623
22
3
x x
x
x a
+>-
⎧
⎪
+
⎨
<-
⎪⎩
恰有两个整数解，则实数a的取值范围是______.
17．已知28
(3)1
m
y m x m
-
=-++是一次函数，则m=__________.
三、解答题
18．如图，一次函数y＝﹣
1
2
x+4的图象与x轴y轴分别交于点A、点B，与正比例函数y＝
3
2
x的图象交于点C，将点C向右平移1个单位，再向下平移6个单位得点D．
（1）求△OAB的周长；
（2）求经过D点的反比例函数的解析式；
19．（6分）解下列方程:
（1）2410
x x
-+=
（2）(54)(45)0
x x x
+-+=
20．（6分）己知一次函数5
y kx
=-的图象过点(2,1)
A，与y轴交于点B．求点B的坐标和k的值．
21．（6分）某车行经销的A型自行车去年6月份销售总额为1.6万元，今年由于改造升级每辆车售价比去年增加200元，今年6月份与去年同期相比，销售数量相同，销售总额增加25%．
今年A，B两种型号车的进价和售价如下表：
（1）求今年A型车每辆售价多少元？
（2）该车行计划7月份用不超过4.3万元的资金新进一批A型车和B型车共50辆，应如何进货才能使这批车售完后获利最多？
22．（8分）如图，直线AB的函数解析式为y=-2x+8，与x轴交于点A，与y轴交于点B。

（1）求A、B两点的坐标；
（2）若点P（m,n）为线段AB上的一个动点（与A、B不重合），作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点F，连接E，若△PAO的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围。

23．（8分）某商场购进甲、乙两种空调共40台．已知购进一台甲种空调比购进一台乙种空调进价多0.2万元；用36万元购进乙种空调数量是用18万元购进甲种空调数量的4倍．请解答下列问题：
（1）求甲、乙两种空调每台进价各是多少万元？
（2）若商场预计投入资金不多于11.5万元用于购买甲、乙两种空调，且购进甲种空调至少14台，商场有哪几种购进方案？
24．（10分）又到一年丰收季，重庆外国语学校“国内中考、高考、国内保送、出国留学”捷报频传．作为准初三的初二年级学生希望抓紧暑期更好的提升自我．张同学采用随机抽样的方式对初二年级学生此次暑期生活的主要计划进行了问卷调查，并将调查结果按照“A社会实践类、B学习提高类、C游艺娱乐类、D其他”进行了分类统计，并绘制了如图1和如图2两幅不完整的统计图．（接受调查的每名同学只能在四类中选择其中一种类型，不可多选或不选．）请根据图中提供的信息完成以下问题．。