北京师范大学第三附属中学必修第一册第五单元《三角函数》检测(包含答案解析)

一、选择题
1．已知0>ω，函数()sin 3f x x πω⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．15,36
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．17,36
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．15,46
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．17,46
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
2．已知曲线1:sin C y x =，曲线2:sin 23C y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
，则下列结论正确的是（ ） A ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
3
π
个单位长度，得到曲线2C B ．把曲线1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6
π
个单位长度，得到曲线2C C ．把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3
π
个单位长度，得到曲线2C D ．把曲线1C 上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6
π
个单位长度，得到曲线2C 3．已知曲线C 1：y ＝2sin x ，C 2：2sin(2)3
y x π
=+，则错误的是（ ）
A ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平行移动6
π
个单位长度，得到曲线C 2 B ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平行移动56
π
个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1向左平行移动
3
π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12
倍，纵坐标不变，得到曲线C 2 D ．把C 1向左平行移动
6π
个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标缩短到原来的12
倍，纵坐标不变，得到曲线C 2
4．已知一个扇形的半径与弧长相等，且扇形的面积为22cm ，则该扇形的周长为（ ） A ．6cm
B ．3cm
C ．12cm
D ．8cm
5．已知函数()2
2
sin 23sin cos cos f x x x x x =+-，x ∈R ，则（ ） A ．()f x 的最大值为1
B ．()f x 的图象关于直线3
x π
=
对称
C ．()f x 的最小正周期为
2
π D ．()f x 在区间()0,π上只有1个零点
6．函数()(13tan )cos f x x x =+的最小正周期为（ ） A ．π
B ．
32
π C ．2π
D ．
2
π 7．函数πsin 25y x ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的最小正周期是（ ） A ．
2
π B ．π
C ．2π
D ．4π
8．sin15cos15+=（ ） A ．
12
B ．
22
C ．
3 D ．
6 9．已知函数()2
2sin cos 23cos f x x x x ωωω=-，且()f x 图象的相邻对称轴之间的距
离为
4π，则当0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()f x 的最小值为（ ） A ．1-
B ．2-
C ．3-
D ．23-
10．若
2cos 23sin 2cos(
)
4
θ
θ
π
θ=-，则sin 2θ=（ ）
A ．
13
B ．
2
3 C ．23
-
D ．13
-
11．sin34sin64cos34sin 206︒︒-︒︒的值为（ ） A ．
12
B ．
2 C ．
3 D ．1
12．已知函数()y f x =的图象如图所示，则此函数可能是（ ）
A ．sin 6()22x x x f x -=
- B ．sin 6()22x x x f x -=- C ．cos6()22x x
x f x -=- D ．cos6()22x x x
f x -=-
二、填空题
13．已知()sin()cos()1f x a x b x παπβ=++-+，其中α，β，a ，b 均为非零实数，若()20202f =，则()2021f =________.
14．已知函数sin cos y x x =-，其图象的对称轴中距离y 轴最近的一条对称轴方程为
x =________.
15．下列四个命题中：①已知
()()()
sin cos 21
,sin cos 2
πααπαπα-+-=++则tan 1α=-；②()
003tan 30tan 30;3-=-=-
③若3
sin ,2
α=-则1cos 2;2α=-④在锐角三角形
ABC 中，已知73sin ,cos ,255A B =
=则119
sin .125
C =其中真命题的编号有_______. 16．已知tan 2α=，则cos2=α__． 17．已知：3sin 25πα⎛
⎫
+
= ⎪
⎝
⎭，且α为第四象限角，则cos 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
___________． 18．已知tan 2α=，则cos 22πα⎛
⎫
-
= ⎪⎝
⎭
___________. 19．设函数()()2sin 0,2f x x πωφφφ⎛⎫
=+><
⎪⎝
⎭
的部分图象如图.若对任意的()()2x R f x f t x ∈=-，恒成立，则实数t 的最小正值为____.
20．某学生对函数()2cos f x x x =进行研究后，得出如下四个结论： （1）函数()f x 在[]π,0-上单调递增，在[]
0,π上单调递减； （2）存在常数0M >，使()f x M x ≤对一切实数x 均成立； （3）点π,02⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数()y f x =图像的一个对称中心； （4）函数()y f x =图像关于直线πx =对称； 其中正确的是______（把你认为正确命题的序号都填上）
参考答案
三、解答题
21．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫=+>< ⎪⎝
⎭的部分图象如图所示.
（1）写出函数()f x 的最小正周期T 及ω、ϕ的值； （2）求函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上的单调增区间. 22．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛
⎫
=+>< ⎪⎝
⎭
的图象的相邻两条对称轴之间的距离为4π，且()23
f x f π⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
恒成立. （1）求函数()f x 的解析式；
（2）将函数()f x 图象上各点的横坐标缩短为原来的
1
2，再向右平移3
π个单位长度得到()g x 的图象，求()g x 图象的对称中心.
23．已知()()()()
1122,,,A x f x B x f x 是函数()()2sin f x x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫
>-<< ⎪⎝⎭
图
象上的任意两点，且角ϕ的终边经过点(1,3P ，当()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为
3
π
． （1）求函数()f x 的解析式;
（2）当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，不等式()()2mf x m f x +≥恒成立，求实数m 的取值范围． 24．已知函数212()2cos sin 1f x x x ωω=+-． （Ⅰ）求(0)f 的值；
（Ⅱ）从①11ω=，21ω=； ②11ω=，22ω=这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数()f x 在[,]26
ππ
-
上的最小值，并求函数()f x 的最小正周期．
25．如图，扇形ABC 是一块半径为2千米，圆心角为60的风景区，P 点在弧BC 上，现欲在风景区中规划三条商业街道，要求街道PQ 与AB 垂直，街道PR 与AC 垂直，线段RQ 表示第三条街道．
（1）如果P 位于弧BC 的中点，求三条街道的总长度；
（2）由于环境的原因，三条街道PQ 、PR 、RQ 每年能产生的经济效益分别为每千米300万元、200万元及400万元，问：这三条街道每年能产生的经济总效益最高为多少？ 26．已知函数()()sin 0,2f x x ϕωϕπω⎛⎫
=->≤ ⎪⎝
⎭
的最小正周期为π. （1）求ω的值及()6g f ϕπ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
的值域； （2）若3
π
ϕ=
，sin 2cos 0αα-=. 求()f
α的值.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 由3222
3
2k x k π
π
ππωπ+
+
+
求得22766k k x ππππ
ωωωω
++，k z ∈．可得函数()f x 的一
个减区间为[6πω，7]6π
ω．再由6276ππωππ
ω
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，求得ω的范围．
【详解】
函数()sin()3f x x π
ω=+在(,)2
π
π上单调递减， 设函数的周期22
T T πππω⇒
=-，2ω∴．
再由函数()sin()3
f x x π
ω=+满足3222
3
2
k x k π
π
π
πωπ+
+
+
，k z ∈， 求得
22766k k x π
πππ
ω
ωωω
+
+，k z ∈． 取0k =，可得
766x ππ
ωω
， 故函数()f x 的一个减区间为[
6πω，
7]6π
ω
． 再由6276ππ
ωππ
ω
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，求得17
36ω， 故选：B ． 【点睛】
函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由
22k x π
πωϕ+≤+≤
()322
k k Z π
π+∈求得函数的减区间，由222
2
k x k π
π
πωϕπ-
+≤+≤
+求得增区间
2．D
解析：D 【分析】
根据三角函数的伸缩变换与平移变换原则，可直接得出结果. 【详解】 因为sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫=-
=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦， 所以将sin y x =图象上各点的横坐标缩短为原来的1
2
，纵坐标不变，可得sin 2y x =的图象，
再将sin 2y x =的图象向右平移6π
个单位，即可得到sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭的图象. 故选：D.
3．D
解析：D 【分析】
利用函数()sin +y A x ωϕ=的图象变换规律对各个选项进行检验即可. 【详解】
A. 1C 上各点横坐标缩短到原来的
12
倍，得到2sin 2y x =，再向左平移6π
个单位长度，得
到2sin 2+
=2sin 2+63y x x ππ⎛⎫
⎛
⎫= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，正确； B. 1C 上各点的横坐标缩短到原来的12
倍，得到2sin 2y x =，再向右平移56π
个单位长度，
得到5552sin 2=2sin 2=2sin 222sin 26
333y x x x x πππππ⎛
⎫⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫=---+=+ ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，正
确； C. 1C 向左平移
3π个单位长度，得到2sin +3y x π⎛⎫= ⎪⎝
⎭，再把各点横坐标缩短到原来的
1
2倍，得到2sin 2+3y x π⎛
⎫
= ⎪⎝
⎭
，正确； D. 1C 向左平移
6π
个单位长度，得到2sin +6y x π⎛⎫= ⎪⎝
⎭，再把各点横坐标缩短到原来的12倍，得到2sin 2+6y x π⎛⎫= ⎪⎝
⎭，错误.
故选：D
4．A
解析：A 【分析】
由题意利用扇形的面积公式可得2
122
R =，解得R 的值，即可得解扇形的周长的值．
【详解】
解：设扇形的半径为Rcm ，则弧长l Rcm =， 又因为扇形的面积为22cm ， 所以2
122
R =，
解得2R cm =， 故扇形的周长为6cm ． 故选：A ．
5．B
解析：B 【分析】
利用二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，再利用三角函数的性质求解即可. 【详解】
()
22
sin cos cos f x x x x x =+-2cos 2x x =-2sin 26x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
故最大值为2，A 错
22sin 2sin 23362f ππππ⎛⎫⎛⎫
=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故关于3x π=对称，B 对
最小正周期为
22
π
π=，C 错 ()26
x k k Z π
π-
=∈解得()12
2k x k Z π
π=
+
∈，12
x π=和712x π
=都是零点，故D 错.
故选：B 【点睛】
对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为y ＝Asin (ωx ＋φ)或y ＝Acos (ω x ＋φ)的形式，则最小正周期为2T π
ω
=
，最大值为A ，最小值为A -；奇偶性的
判断关键是解析式是否为y ＝Asin ωx 或y ＝Acos ωx 的形式．
6．C
解析：C 【分析】
由切化弦，及两角和的正弦公式化简函数，然后由正弦函数的周期性得结论． 【详解】 由已知，
()(1)cos f x x x =+cos x x =+12cos 22x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 6x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴最小正周期为221
T π
π=
=， 故选：C ．
7．B
解析：B 【分析】
按照三角函数的周期公式求最小正周期即可. 【详解】
解：函数πsin 25y x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭
的最小正周期为22T π
π==. 故选：B.
8．D
解析：D 【分析】
由辅助角公式可直接计算得到结果. 【详解】
()6sin15cos152sin 15452sin 60+=+==
.
故选：D.
9．D
解析：D 【分析】
先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定2ω=，再根据正弦函数的性质，结合给定区间，即可求出最值. 【详解】
因为(
)2
1cos 22sin cos sin 22
x
f x x x x x ωωωωω+=-=-
πsin 222sin 23x x x ωωω⎛
⎫=-=-- ⎪⎝
⎭
由题意知()f x 的最小正周期为ππ
242
⨯=，所以
2ππ22ω=，即2ω=， 所以(
)π2sin 43f x x ⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
当π0,4x ⎡
⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π4,333x ⎡⎤
-∈-⎢⎥⎣⎦，
所以π2sin 423x ⎛
⎫⎡
⎤-
∈ ⎪⎣⎦⎝
⎭， 因此(
)π2sin 423f x x ⎛⎫
⎡=-
- ⎪⎣⎝
⎭
， 所以函数()f x
的最小值为-． 故选：D.
10．B
解析：B 【分析】
由二倍角公式和差的余弦公式化简得出(
)2cos sin 2θθθ-=，再平方即可求出. 【详解】
)
22cos sin 2cos()
cos
cos sin
sin 44
4
θθ
θπ
π
π
θθθ
-=-+
()
cos sin cos sin 2cos sin θθθθθθ+-
=
=-，
()2cos sin 2θθθ∴-=，
两边平方得()2
41sin 23sin 2θθ-=，
解得sin 22θ=-（舍去）或2sin 23
θ=. 故选：B. 【点睛】
关键点睛：本题考查三角恒等变换的化简问题，解题的关键是能正确利用二倍角公式和差
的余弦公式将已知等式化简为()2cos sin 2θθθ-=，再平方求解.
11．C
解析：C 【分析】
利用诱导公式化简整理，结合两角和的正弦公式，即可求得答案. 【详解】
()sin34sin64cos34sin 206sin34cos26cos34sin 26sin 3426sin60︒︒-︒︒=︒︒+︒︒=︒+︒=︒
= 故选：C ．
12．D
解析：D 【分析】
由函数图象可得()y f x =是奇函数，且当x 从右趋近于0时，()0f x >，依次判断每个函数即可得出. 【详解】
由函数图象可得()y f x =是奇函数，且当x 从右趋近于0时，()0f x >，
对于A ，当x 从右趋近于0时，sin60x >，22x x -<，故()0f x <，不符合题意，故A 错误； 对于B ，()()sin 6sin 6()2222x x x x
x x
f x f x ----=
==--，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故B 错误； 对于C ，()()cos 6cos 6()2222x x x x
x x
f x f x ----=
==--，()f x ∴是偶函数，不符合题意，故C 错误； 对于D ，
()()cos 6cos 6()2222
x x x x
x x
f x f x ----=
==---，()f x ∴是奇函数，当x 从右趋近于0时，cos60x >，22x x ->，()0f x ∴>，符合题意，故D 正确. 故选：D. 【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
二、填空题
13．0【分析】由题设条件结合周期性及诱导公式运算即可得解【详解】由题意所以所以故答案为：0
解析：0 【分析】
由题设条件结合周期性及诱导公式运算即可得解. 【详解】
由题意，()sin(2020)cos(2020)1sin cos()12020a b a b f παπβαβ++-++-=+=
sin cos 12a b αβ=++=，
所以sin cos 1αβ+=a b ，
所以()sin(2021)cos(202)201211f a b παπβ++-+=
sin()cos()1sin cos 1110a b a b παπβαβ==++-+-+=-+=-.
故答案为：0.
14．【分析】函数令求解【详解】已知函数令解得所以其图象的对称轴中距离轴最近的一条对称轴方程为故答案为： 解析：4
π-
【分析】
函数4y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，令42x k πππ-=+求解.
【详解】
已知函数sin cos 4y x x x π⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭，
令,4
2
x k k Z π
π
π-
=+
∈，
解得 3,4
x k k Z π
π=+
∈， 所以其图象的对称轴中距离y 轴最近的一条对称轴方程为x =4
π-. 故答案为：4
π-
15．②③【分析】对于①：运用诱导公式化简再运用同角三角函数的关系可
判断；对于②：先运用同角三角函数的商数关系切化弦再运用诱导公式可判断；对于③：运用余弦的二倍角公式计算可判断；对于④：运用同角三角函数求
解析：②③ 【分析】
对于①：运用诱导公式化简，再运用同角三角函数的关系可判断；
对于②：先运用同角三角函数的商数关系“切化弦”，再运用诱导公式可判断； 对于③：运用余弦的二倍角公式计算可判断； 对于④：运用同角三角函数求得244
cos ,sin ,255
A B ==再用正弦的和角公式代入可判断． 【详解】
对于①：因为()()()sin -cos 21,sin cos 2πααπαπα+-=++所以sin cos 1,sin cos 2αααα+=-所以sin 11cos ,sin 21cos α
ααα
+=-即
tan 11
,tan 12
αα+=-解得tan 3α=-，故①不正确； 对于②：因为()()(
)
00
sin 30sin 30
tan 30tan 30cos30
3
cos 30-
--===-=-
-故②正确； 对于
③：因为sin 2α=-所以2
2
1cos 212sin 122αα⎛=-=-⨯=- ⎝⎭
，故③正确；
对于④：因为在锐角三角形ABC 中， 73
sin ,cos ,255
A B =
=所以00,02
2
2
A B C π
π
π
<<
<<
<<
，，
所以244
cos ,sin ,255
A B ==
==所以 ()()sin sin +sin +C A B A B π⎡⎤=-=⎣⎦ 73244117
sin cos +cos sin +255255125
A B A B ==
⨯⨯=，故④不正确， 故答案为：②③．
16．【分析】利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式即可求解【详解】由又由故答案为： 解析：
35
【分析】
利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】
由tan 2α=，又由2222
222
2
cos sin cos 2cos sin cos sin 1tan 143
1tan 145
ααααααααα--===-++-=-==+. 故答案为：
3
5
． 17．【分析】由诱导公式求得然后由平方关系求得再由两角和的余弦公式可得结论【详解】由已知又为第四象限角∴∴故答案为：
【分析】
由诱导公式求得cos α，然后由平方关系求得sin α，再由两角和的余弦公式可得结论． 【详解】 由已知3sin cos 25παα⎛⎫
+== ⎪
⎝
⎭，又α为第四象限角，∴4
sin 5
α=-，
∴34cos cos cos sin sin ()444525210
πππααα⎛
⎫
+=-=⨯--⨯= ⎪
⎝
⎭
故答案为：
10
． 18．【分析】本题首先可通过三角恒等变换将转化为然后代入即可得出结果【详解】因为所以故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查给值求值问题能否合理利用同角三角函数关系诱导公式二倍角公式是解决本题的关键考查计算
解析：4
5
【分析】
本题首先可通过三角恒等变换将cos 22πα⎛
⎫- ⎪⎝⎭转化为22tan tan 1
αα+，然后代入tan 2α=即可得出结果. 【详解】 因为tan 2α=， 所以2222sin cos 2tan 4
cos 2sin 22sin cos tan 15
παααααααα⎛
⎫
-==== ⎪++⎝
⎭， 故答案为：45
. 【点睛】
关键点点睛：本题考查给值求值问题，能否合理利用同角三角函数关系、诱导公式、二倍角公式是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.
19．【分析】由图象求得再根据求得从而求得函数解析式再根据由函数图象的对称轴为直线x=t 求解【详解】由图象知：即则由五点法得所以即因为所以所以又因为所以函数图象的对称轴为直线x=t 则所以解得当k=0时t 取
解析：
12
π 【分析】 由图象
5556124T ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，求得ω，再根据506
f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，求得φ，从而求得函数解析式，再根据()()2f x f t x =-，由函数()f x 图象的对称轴为直线x =t 求解. 【详解】
由图象知：5556124
T ππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即T π=， 则22T
π
ω=
=， 由“五点法”得552sin 06
3f ππφ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以
()53k k Z πφπ+=∈，即()53
k k Z π
φπ=-∈， 因为2
π
φ<， 所以3
π
φ=
，
所以()2sin 23f x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
， 又因为()()2f x f t x =-，
所以函数()f x 图象的对称轴为直线x =t ， 则()2sin 223f t t π⎛⎫
=+=± ⎪⎝
⎭
， 所以23
t π
+()2
k k Z π
π=+
∈，
解得()212
k t k Z ππ
=
+∈， 当k =0时，t 取到了最小正值为12
π. 故答案为：12
π. 【点睛】
方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x b ωϕ=++的部分图象求函数解析式的方法： （1）求A 、()()max min
:2
f x f x b A -=
，()()max min
2
f x f x b +=
；
（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2T
πω=； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.
20．（2）【分析】根据奇偶性奇函数在关于原点对称区间单调性相同确定（1）错误；取M=2可判定（2）正确；可判断（3）不正确；取特殊值判定（3）错误【详解】定义域为R 所以是奇函数在关于原点对称的区间上单调
解析：（2） 【分析】
根据奇偶性，奇函数在关于原点对称区间单调性相同，确定（1）错误； 取M=2，可判定（2）正确；202f x f x ππ++-⎛⎫⎛⎫
≠
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
可判断（3）不正确；取2233f π
π⎛⎫⎪
=- ⎝⎭，4433f ππ⎛⎫
⎪
=- ⎝⎭
特殊值判定（3）错误. 【详解】
()2cos f x x x =定义域为R ，()()2cos f x x x f x -=-=-，所以()2cos f x x x =是奇
函数，在关于原点对称的区间上单调性相同，所以（1）错误；
cos 1x ≤，令2M =，()f x M x ≤成立，所以（2）正确；
()()2sin 2sin 4sin 022x x x x x x f x f x ππππ⎛⎫
⎛⎫
=-+++-+-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
， 所以点π,02⎛⎫
⎪⎝⎭不是函数()y f x =图像的一个对称中心，所以（3）不正确； 2422cos 3
333f π
πππ⎛⎫= =-⎪⎝⎭，4844cos 3333f ππππ⎛⎫= =-⎪⎝⎭
， 函数()y f x =图像不关于直线πx =对称，所以（4）不正确. 故答案为：（2） 【点睛】
此题考查与三角函数性质相关命题的判定，需要熟练掌握奇偶性、单调性、对称性在解题中的处理方法.
三、解答题
21．（1）T π=，2ω=，3
π
ϕ=；（2）,412ππ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ 【分析】
（1）由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式．
（2）由以上可得，()sin(2)3f x x π
=+，再利用正弦函数的性质，求出函数在区间上的单调
性． 【详解】
解：（1）根据函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2
π
ϕ<的部分图象，
可得
32134123πππ
ω=-，解得2ω=，∴最小正周期22
T ππ==．所以()sin(2)f x x ϕ=+ 因为函数过13,112π⎛⎫
⎪⎝⎭，所以13sin 2112πϕ⎛⎫
⋅+= ⎪⎝⎭
，所以()13262k k Z ππϕπ+=+∈，解得()523
k k Z π
ϕπ=-
+∈ 因为2
π
ϕ<
，所以3
π
ϕ=
．所以()sin(2)3f x x π
=+
（2）由以上可得，()sin(2)3f x x π
=+，在区间,44ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦上，
所以2[3
6
x π
π
+
∈-
，
5]6π，令2632x πππ
-≤+≤，解得412
x ππ-≤≤ 即函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调增区间为,412ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
【点睛】
求三角函数的解析式时，由2T
π
ω=
即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 22．（1）()12sin 4f x x ϕ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭；（2）()2,03k k Z ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭
. 【分析】
（1）由题意知()f x 的最小正周期为8π求ω，根据函数不等式及ϕ的范围求ϕ，写出解析式；
（2）有函数平移知2()(2)3
g x f x π
=-，进而由函数性质求对称中心即可. 【详解】
（1）因为函数()f x 图象的相邻两条对称轴之间的距离为4π，所以函数()f x 的最小正周期是8π.
∴
28π
πω
=，解得14ω=
，所以()12sin 4f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又()23f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
恒成立， ∴2122sin 2343f ππϕ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=⨯+=
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，得()262k k Z ππϕπ+=+∈，即
()23
k k Z πϕπ=
+∈.由2
π
ϕ<
知，3
π
ϕ=
，
∴()2sin 43x f x π⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
. （2）将()f x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的
1
2，再向右平移3
π个单位长度后得到()2sin 26x g x π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
的图象.
由
()26x k k Z ππ+=∈，得()23
x k k Z π
π=-+∈. 所以函数()g x 图象的对称中心为()2,03k k Z ππ⎛⎫
-+∈ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
关键点点睛：三角函数相邻对称轴的距离为最小正周期的一半，结合2||
T π
ω=
即可求ω，由函数不等式结合其最值求ϕ；写出函数平移后的解析式，根据函数性质求对称中心. 23．（1）()2sin 33f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
；（2）13
m ≥
. 【分析】
（1）由ϕ的终边上的点可求出ϕ，再由题可得23
T π
=
，即可求出ω，得出解析式；
（2）根据0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
可得()1f x ≤≤，不等式化为()212m f x ≥-+，求出()
2
12f x -
+的最大值即可.
【详解】
（1）角ϕ的终边经过点(1,P ，∴tan ϕ= 又02
π
ϕ-
<<，∴3
π
ϕ=-.
∵当()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为3
π， ∴23
T π=
，即223ππ
ω=，∴3ω=，
∴()2sin 33f x x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
. （2）当0,
6x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，3,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，
∴()1f x ≤≤，于是()20f x +>，
于是()()2mf x m f x +≥即为()()
()
2
122f x m f x f x ≥=-
++，
由()1f x ≤≤，得()212f x -
+的最大值为1
3.
∴实数m 的取值范围是13
m ≥. 【点睛】
本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是由当()()124f x f x -=时，12x x -的最小值
为
3
π
得出23T π=，以便求出解析式，第二问得出()1f x ≤≤，将不等式化为
()
2
12m f x ≥-
+.
24．（Ⅰ）1；（Ⅱ）选择条件①，最小正周期为2π，在[,]26
ππ
-取得最小值2-；选择
条件②，最小正周期为π，在[,]26
ππ
-取得最小值． 【分析】
(I)将0x =代入求值即可；
(II)①121,1ωω==，()22
2cos sin 2sin sin 2f x x x x x =+=-++利用抛物线知识求解
②用二倍角和辅助角公式化简可得()+)+14f x x π=
，再由[,]26
x ππ
∈-可得
372[,]4
412
x π
ππ
+
∈-
，结合正弦函数图象求解最值； 【详解】
解：（Ⅰ）2(0)2cos 0sin 011f =+-=． （Ⅱ）选择条件①．()f x 的一个周期为2π．
2()2cos sin 1f x x x =+-22(1sin )sin 1x x =-+-219
2(sin )48
x =--+．
因为[,]26
x ππ
∈-
，所以1
sin [1,]2x ∈-．
所以 当sin =1x -时，即π
=2
x -时，
()f x 在[,]26
ππ
-
取得最小值2-． 选择条件②．()f x 的一个周期为π．
2()2cos sin 21f x x x =+-
sin2+cos2x x =2(
22)22
x x =+2)4x π=+（． 因为[,]26
x ππ
∈-
，所以372+[,]4412x π
ππ
∈-．
当2=42x ππ+-时，即3π
=8x -时，
()f x 在[,]26
ππ
-取得最小值．
【点睛】
本题考查三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用.
（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成sin()A x
k 或
cos()A x
k 的形式；
（2）根据自变量的范围确定x ωϕ+的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值.
（3）换元转化为二次函数研究最值.
25．（1）2+（千米）；（2）. 【分析】
（1）根据P 位于弧BC 的中点，则P 位于BAC ∠的角平分线上，然后分别在,,Rt APQ Rt APR 正AQR 中求解.
（2）设PAB θ∠=，060θ<<︒，然后分别在,Rt APQ Rt APR 表示 PQ ，PR ，在
AQR 中由余弦定理表RQ ，再由300200400W PQ PR RQ =⨯+⨯+⨯求解.
【详解】
（1）由P 位于弧BC 的中点，在P 位于BAC ∠的角平分线上， 则1
||||||sin 2sin30212
PQ PR PA PAB ==∠=⨯︒=⨯
=，
||cos 2AQ PA PAB =∠== 由60BAC ∠=︒，且AQ AR =，
∴
QAR 为等边三角形，则||RQ AQ ==
三条街道的总长||||||112l PQ PR RQ =++=++ ； （2）设PAB θ∠=，060θ︒<<︒， 则sin 2sin PQ AP θθ==，
PR AP =()()sin 602sin 603cos sin θθθθ-=-=-， cos 2cos AQ AP θθ==，
||||cos(60)2cos(60)cos AR AP θθθθ=-=-=+，
由余弦定理可知：
222
2cos60RQ AQ AR AQ AR =+-，
22(2cos )(cos )22cos (cos )cos 603θθθθθθ=+-⨯+=，
则|RQ =
设三条街道每年能产生的经济总效益W ，
300200400W PQ PR RQ =⨯+⨯+⨯，
3002sin sin )200θθθ=⨯+-⨯+，
400sin θθ=++
200(2sin )θθ=++
)θϕ=++tan ϕ=
，
当()sin 1θϕ+=时，W 取最大值，最大值为 【点睛】
方法点睛：解三角形应用题的两种情形：
（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；
（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．
26．（1）2ω=，()g ϕ的值域为1,12⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦；（2）()410
f α=+. 【分析】
（1）由函数()f x 的最小正周期可求得ω的值，求得()sin 3g πϕϕ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，结合ϕ的取值范围可求得()g ϕ的值域；
（2）求得tan 2α=，利用二倍角的正、余弦公式以及弦化切思想可求得()f α的值.
【详解】
（1）由于函数()()sin 0,2f x x ϕωϕπω⎛
⎫
=->≤
⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，则22π
ωπ
=
=，
()()sin 2f x x ϕ∴=-，()sin 63g f ππϕϕ⎛⎫⎛⎫∴==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 22ππϕ-≤≤，5636ππ
πϕ∴-≤-≤，所以，()1sin ,132g πϕϕ⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； （2）sin 2cos 0αα-=，可得tan 2α=，
3πϕ=，所以，
()()21sin 2sin 22sin cos 2cos 13222f πααααααα⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭
2sin cos ααα=-=+=
== 【点睛】
求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤：
第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式．
第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+）的取值范围；
第三步：求出所求函数的值域（或最值）.。