【5套打包】宁波市初三九年级数学上(人教版)第24章圆单元测试卷(含答案)

人教版数学九年级上册第24章《圆》单元综合练习卷（含详细答案）一．选择题
1．已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠D的大小是（）A．45°B．60°C．90°D．135°
2．如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB＝10，AC＝8，则BD的长为（）
A．2B．4 C．2D．4.8
3．下列说法正确的是（）
A．菱形的对角线垂直且相等
B．到线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上
C．点到直线的距离就是点到直线的垂线段
D．过三点确定一个圆
4．已知圆锥的底面半径为5cm，母线长为13cm，则这个圆锥的侧面积是（）A．60πcm2B．65πcm2C．120πcm2D．130πcm2
5．如图，已知钝角△ABC内接于⊙O，且⊙O的半径为5，连接OA，若∠OAC＝∠ABC，则AC 的长为（）
A．5B．C．5D．8
6．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，BC＝5，点I为△ABC的内心，将∠BAC平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．如图，将一块直角三角板△ABC（其中∠ACB＝90°，∠CAB＝30°）绕点B顺时针旋转120°后得Rt△MBN，已知这块三角板的最短边长为3，则图中阴影部分的面积（）
A．B．9πC．9π﹣D．
8．如图，点A，B，C，D都在半径为3的⊙O上，若OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦BC的长为（）
A．B．3C．3 D．2
9．边长相等的正方形与正六边形按如图方式拼接在一起，则∠ABC的度数为（）
A．10°B．15°C．20°D．30°
10．如图，在⊙O的内接正六边形ABCDEF中，OA＝2，以点C为圆心，AC长为半径画弧，恰好经过点E，得到，连接CE，OE，则图中阴影部分的面积为（）
A．﹣4B．2π﹣2C．﹣3D．﹣2
11．如图，从⊙O外一点A引圆的切线AB，切点为B，连接AO并延长交圆于点C，连接BC．若∠A＝28°，则∠ACB的度数是（）
A．28°B．30°C．31°D．32°
12．如图，已知正六边形ABCDEF的边长为，点G，H，I，J，K，L依次在正六边形的六条边上，且AG＝BH＝CI＝DJ＝EK＝FL，顺次连结G，I，K，和H，J，L，则图中阴影部分的周长C的取值范围为（）
A．6≤C≤6B．3≤C≤3C．3≤C≤6 D．3≤C≤6二．填空题
13．已知圆锥底面圆的半径为5，高为12，则圆锥的侧面积为（结果保留π）．14．如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，点B是弧AC的中点，如果∠ABC＝70°，那∠ADB＝．
15．如图，MN为⊙O的直径，MN＝10，AB为⊙O的弦，已知MN⊥AB于点P，AB＝8，现要作⊙O的另一条弦CD，使得CD＝6且CD∥AB，则PC的长度为．
16．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠DCB＝110°，则∠AED＝．
17．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠AOC＝70°，AD∥OC，则∠ABD＝．
18．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，弦AB的长为6，过O作OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣2，1），当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是．
三．解答题
19．已知等边△ABC内接于⊙O，D为弧BC的中点，连接DB、DC，过C作AB的平行线，交BD的延长线于点E．
（1）求证：CE与⊙O相切；
（2）若AB长为6，求CE长．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，过点B的切线BP与CD的延长线交于点P，连接OC，CB．
（1）求证：AE•EB＝CE•ED；
（2）若⊙O的半径为3，OE＝2BE，＝，求线段DE和PE的长．
21．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝60°，BD是⊙O的直径，点P是BD延长线上一点，且PA是⊙O的切线．
（1）求证：AP＝AB；
（2）若PD＝，求⊙O的直径．
22．如图所示，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE，BE交AC于点F．
（1）求证：CE＝AE；
（2）填空：①当∠ABC＝时，四边形AOCE是菱形；
②若AE＝，AB＝，则DE的长为．
23．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上异于A、B的一点，过C点的切线于BA的延长线交于D点，E为CD上一点，连EA并延长交⊙O于H，F为EH上一点，且EF＝CE，C F 交延长线交⊙O于G．
（1）求证：弧AG＝弧GH；
（2）若E为DC的中点，sim∠CDO＝，AH＝2，求⊙O的半径．
24．在等边△ABC中，BC＝8，以AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：DF为⊙O的切线．
（2）求弧DE的长度；
（3）求EF的长．
25．如图，△ACB内接于圆O，AB为直径，CD⊥AB与点D，E为圆外一点，EO⊥AB，与BC 交于点G，与圆O交于点F，连接EC，且EG＝EC．
（1）求证：EC是圆O的切线；
（2）当∠ABC＝22.5°时，连接CF，
①求证：AC＝CF；
②若AD＝1，求线段FG的长．
参考答案
一．选择题
1．解：∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：3：2，
而∠B+∠D＝180°，
∴∠D＝×180°＝90°．
故选：C．
2．解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝3，
∵OD⊥AC，
∴CD＝AD＝AC＝4，
在Rt△CBD中，BD＝＝2．
故选：C．
3．解：A、菱形的对角线垂直但不一定相等，故错误；
B、到线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上，正确；
C、点到直线的距离就是点到直线的垂线段的长度，故错误；
D、过不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误，
故选：B．
4．解：这个圆锥的侧面积＝×2π×5×13＝65π（cm2）．故选：B．
5．解：连接OC，如图，设∠OAC＝α，则∠OAC＝∠ABC＝α，∠AOC＝2∠ABC＝2α，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC＝α，
∴α+2α+α＝180°，解得α＝45°，
∴∠AOC＝90°，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴AC＝OA＝5．
故选：A．
6．解：连接BI、CI，如图所示：
∵点I为△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，
∴∠ABI＝∠CBI，
由平移得：AB∥DI，
∴∠ABI＝∠BID，
∴∠CBI＝∠BID，
∴BD＝DI，
同理可得：C E＝EI，
∴△DIE的周长＝DE+DI+EI＝DE+BD+CE＝BC＝5，即图中阴影部分的周长为5，
故选：B．
7．解：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，
∴AC＝＝＝3，
∵O、H分别为AB、AC的中点，
∴OB＝AB＝3，CH＝AC＝，
在Rt△BCH中，BH＝＝，
∵旋转角度为120°，
∴阴影部分的面积＝﹣＝π．
故选：A．
8．【解答】解：OA交BC于E，如图，
∵OA⊥BC，
∴＝，CE＝BE，
∴∠AOB＝2∠CDA＝2×30°＝60°，
在Rt△OBE中，OE＝OB＝，
∴BE＝OE＝，
∴BC＝2BE＝3．
故选：B．
9．解：由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正方形的每个内角都等于90°，故∠BAC＝360°﹣120°﹣90°＝150°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝15°．
故选：B．
10．解：连接OB、OC、OD，
S
扇形CAE
＝＝2π，
S
△AOC
＝＝，
S
△BOC
＝＝，
S
扇形OBD
＝＝，
∴S
阴影＝S
扇形OBD
﹣2S
△BOC
+S
扇形CAE
﹣2S
△AOC
＝﹣2+2π﹣2＝﹣4；
故选：A．
11．解：连接OB，如图，
∵AB为切线，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∴∠AOB＝90°﹣∠A＝90°﹣28°＝62°，
∴∠ACB＝∠AOB＝31°．
故选：C．
12．解：根据对称性可知，△GKI，△HLJ是等边三角形．阴影部分是正六边形，边长为GK 的．
∵GK的最大值为2，GK的最小值为3，
∴阴影部分的正六边形的边长的最大值为，最小值为1，
∴图中阴影部分的周长C的取值范围为：4≤C≤6．
故选：C．
二．填空题（共6小题）
13．解：∵圆锥的底面半径为5，高为12，
∴圆锥的母线长为13，
∴它的侧面积＝π×13×5＝65π，
故答案为：65π．
14．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣70°＝110°．
∵点B是弧AC的中点，
∴弧AB＝弧BC．
∴∠ADB＝∠BDC．
∴∠ADB＝∠ADC＝×110°＝55°．
故答案为55°．
15．解：当AB、CD在圆心O的两侧时，如图，连接OA、OC，∵AB∥CD，MN⊥AB，
∴AP＝AB＝4，MN⊥CD，
∴CQ＝CD＝3，
在Rt△OAP中，OP＝＝3，
同理：OQ＝4，
则PQ＝OQ+OP＝7，
∴PC＝＝＝，
当AB、CD在圆心O的同侧时，PQ＝OQ﹣OP＝1，
∴PC＝＝＝；
故答案为：或．
16．解：连接BE，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠DEB+∠DCB＝180°，
∴∠DEB＝180°﹣110°＝70°，
∴∠AED＝∠AEB﹣∠DEB＝90°﹣70°＝20°．
故答案为20°
17．解：∵AD∥OC，
∴∠BAD＝∠AOC＝70°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠D＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣70°＝20°．
故答案为20°．
18．解：连接OB，如图所示：
∵OC⊥AB，
∴BC＝AB＝3，
由勾股定理得，OC＝＝＝4，当OD⊥AB时，点D到AB的距离的最小，
由勾股定理得，OD＝＝，
∴点D到AB的距离的最小值为：4﹣，
故答案为：4﹣．
三．解答题（共7小题）
19．（1）证明：连接OC，OB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠A BC＝60°，
∵AB∥CE，
∴∠BCE＝∠ABC＝60°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠OCE＝∠OCB+∠BCE＝30°+60°＝90°，∴CE与⊙O相切；
（2）∵四边形ABDC是圆的内接四边形，
∴∠A+∠BDC＝180°，
∴∠BDC＝120°，
∵D为弧BC的中点，
∴∠DBC＝∠BCD＝30°，
∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCE＝90°，
∵AB＝BC＝6，
∴．
20．（1）证明：连接AC、BD，如图，
∵∠CAE＝∠CDB，∠ACE＝∠BDE，
∴△ACE∽△BDE，
∴AE：DE＝CE：BE，
∴AE•EB＝CE•ED；
（2）∵OE+BE＝3，OE＝2BE，
∴OE＝2，BE＝1，
∴AE＝5，
∴CE•DE＝5×1＝5，
∵＝，
∴CE＝DE，
∴DE•DE＝5，解得DE＝，
∴CE＝3．
∵PB为切线，
∴PB2＝PD•PC，
而PB2＝PE2﹣BE2，
∴PD•PC＝PE2﹣BE2，即（PE﹣）（PE+3）＝PE2﹣1，∴PE＝3
21．（1）证明：连接OA，如图，
∵∠AOB＝2∠ACB＝2×60°＝120°，
而OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∠AOP＝60°，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴∠OAP＝90°，
∴∠P＝90°﹣60°＝30°，
∴∠ABP＝∠P，
∴AB＝AP；
（2）解：设⊙O的半径为r，
在Rt△OPA中，∵∠P＝30°，
∴OP＝2OA，
即r+＝2r，解得r＝，
∴⊙O的直径为2．
22．证明（1）∵AB＝AC，AC＝CD
∴∠ABC＝∠ACB，∠CAD＝∠D
∵∠ACB＝∠CAD+∠D＝2∠CAD
∴∠ABC＝∠ACB＝2∠CAD
∵∠CAD＝∠EBC，且∠ABC＝∠ABE+∠EBC
∴∠ABE＝∠EBC＝∠CAD，
∵∠ABE＝∠ACE
∴∠CAD＝∠ACE
∴CE＝AE
（2）①当∠ABC＝60°时，四边形AOCE是菱形；
理由如下：
如图，连接OE
∵OA＝OE，OE＝OC，AE＝CE
∴△AOE≌△EOC（SSS）
∴∠AOE＝∠COE，
∵∠ABC＝60°
∴∠AOC＝120°
∴∠AOE＝∠COE＝60°，且OA＝OE＝OC
∴△AOE，△COE都是等边三角形
∴AO＝AE＝OE＝OC＝CE，
∴四边形AOCE是菱形
故答案为：60°
②如图，过点C作CN⊥AD于N，
∵AE＝，AB＝，
∴AC＝CD＝2，CE＝AE＝，且CN⊥AD ∴AN＝DN
在Rt△ACN中，AC2＝AN2+CN2，①
在Rt△ECN中，CE2＝EN2+CN2，②
∴①﹣②得：AC2﹣CE2＝AN2﹣EN2，
∴8﹣3＝（+EN）2﹣EN2，
∴EN＝
∴AN＝AE+EN＝＝DN
∴DE＝DN+EN＝
故答案为：
23．（1）证明：如图，连接AC，BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B+∠CAO＝90°，
∵CD为⊙O的切线，
∴∠ECA+∠ACO＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠OAC，
∴∠ECA＝∠B，
∵EF＝CE，
∴∠ECF＝∠EFC，
∵∠ECF＝∠ECA+∠ACG，∠EFC＝∠GAF+∠G，∵∠ECA＝∠B＝∠G，
∴∠ACG＝∠GAF＝∠GCH，
∴；
（2）解：∵CH是⊙O的直径，
∴∠CAH＝90°，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ECO＝90°，
设CO＝2x，
∵sim∠CDO＝＝，
∴DO＝6x，
∴CD＝＝4，
∵E为DC的中点，
∴CE＝＝2，
EH＝＝2，
∵∠ECH＝∠CAH，∠CHA＝∠EHC，
∴△CAH∽△ECH，
∴，
∴CH2＝AH•EH，
∴AH＝，
∵AH＝2，
∴，
∴x＝3，
∴⊙O的半径CO＝2x＝6．24．（1）证明：连接DO，
∵△AB C是等边三角形，
∴∠A＝∠C＝60°，
∵OA＝OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠ADO＝60°，
∵DF⊥BC，
∴∠CDF＝90°﹣∠C＝30°，
∴∠FDO＝180°﹣∠ADO﹣∠CDF＝90°，即OD⊥DF，
∵OD为半径，
∴DF为⊙O的切线；
（2）解：连接OC，OE，
∵在等边△ABC中，OA＝OB，
∴CO⊥AB，∠OCB＝∠OCA＝30°，
∴OB＝BC＝＝4，
∵∠AOD＝60°，
同理∠BOE＝60°，
∴∠DOE＝60°，
∴弧DE的长度：＝π；
（3）解：∵△OAD是等边三角形，
∴AD＝AO＝AB＝4，
∴CD＝AC﹣AD＝4，
Rt△CDF中，∠CDF＝30°，
∴CF＝CD＝2，DF＝2，
连接OE，
∵OB＝OE，∠B＝60°，
∴△OBE是等边三角形，
∴OB＝BE＝4，
∴EF＝BC﹣CF﹣BE＝8﹣2﹣4＝2．
25．（1）证明：连接OC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠B，
∵EO⊥AB，
∴∠OGB+∠B＝90°，
∵EG＝EC，
∴∠ECG＝∠EGC，
∵∠EGC＝∠OGB，
∴∠OCB+∠ECG＝∠B+∠OGB＝90°，
∴OC⊥CE，
∴EC是圆O的切线；
（2）①证明：∵∠ABC＝22.5°，∠OCB＝∠B，∴∠AOC＝45°，
∵EO⊥AB，
∴∠COF＝45°，
∴＝，
∴AC＝CF；
②解：作CM⊥OE于M，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°
∵∠ABC＝22.5°，∠GOB＝90°，∴∠A＝∠OGB＝∠67.5°，
∴∠FGC＝67.5°，
∵∠COF＝45°，OC＝OF，
∴∠OFC＝∠OCF＝67.5°，
∴∠GFC＝∠FGC，
∴CF＝CG，
∴FM＝GM，
∵∠AOC＝∠COF，CD⊥OA，CM⊥OF，∴CD＝DM，
在Rt△ACD和Rt△FCM中
∴Rt△ACD≌Rt△FCM（HL），
∴FM＝AD＝1，
∴FG＝2FM＝2．
人教版九年级上册第24章数学圆单元测试卷(含答案)(7)
一．选择题
1．如图，在⊙O中，AC为⊙O直径，B为圆上一点，若∠OBC＝26°，则∠AOB的度数为（）
A．26°B．52°C．54°D．56°
2．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝68°，则∠OBC等于（）
A．22°B．26°C．32°D．34°
3．已知⊙O的半径为5cm，若点A到圆心O的距离为3cm，则点A（）A．在⊙O内
B．在⊙O上
C．在⊙O外
D．与⊙O的位置关系无法确定
4．如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB＝40°，则∠APB的度数为（）
A．80°B．140°C．20°D．50°
5．下列说法错误的是（）
A．圆有无数条直径
B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦
C．过圆心的线段是直径
D．能够重合的圆叫做等圆
6．如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形ABCDEF的半径是cm，则这个正六边形的周长是（）
A． cm B．12cm C． cm D．36 cm
7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为4，∠B＝135°，则劣弧AC的长（）
A．2πB．πC．D．4π
8．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，点C是劣弧AB上的一个动点，若∠ACB＝110°，则∠P的度数是（）
A．55°B．30°C．35°D．40°
9．如图，小明为检验M、N、P、Q四点是否共圆，用尺规分别作了MN、MQ的垂直平分线交于点O，则M、N、P、Q四点中，不一定在以O为圆心，OM为半径的圆上的点是（）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
10．如图，AB为半圆O的直径，BC⊥AB且BC＝AB，射线BD交半圆O的切线于点E，DF⊥CD 交AB于F，若AE＝2BF，DF＝2，则⊙O的半径长为（）
A．B．4C．D．
二．填空题
11．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，若∠BCD＝26°，则∠ABC的度数为．
12．如图所示，AB是⊙O的直径．PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P ＝40°，则∠B等于．
13．如图，在直角坐标系中，点A（0，3）、点B（4，3）、C（0，﹣1），则△ABC外接圆的半径为．
14．如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为．
15．如图，⊙O的半径为2，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，对角线CE、DF相交于点M，则△MEF的面积是．
16．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝．
17．已知点A是圆心为坐标原点O且半径为3的圆上的动点，经过点B（4，0）作直线l⊥x 轴，点P是直线l上的动点，若∠OPA＝45°，则△BOP的面积的最大值为．
18．如图，已知⊙O的半径为m，点C为直径AB延长线上一点，BC＝m．过点C任作一直线l，若l上总存在点P，使过P所作的⊙O的两切线互相垂直，则∠ACP的最大值等于．
三．解答题
19．如图，BC是半⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点的切线交CB的延长线于点P，过点B 的切线交CA的延长线于点E，AP与BE相交于点F．
（1）求证：BF＝EF；
（2）若AF＝，半⊙O的半径为2，求PA的长度．
20．如图，点P是⊙O的直径AB延长线上的一点，点C，D在⊙O上，且PD是⊙O的切线，PC＝PD．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，DO＝PO，求图中阴影部分的面积．
21．如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连结AE交⊙O 于点F，连结BF并延长交CD于点G．
（1）求证：△ABE≌△BCG；
（2）若∠AEB＝55°，OA＝3，求劣弧的长．（结果保留π）
22．如图，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．
（1）求证：OP∥BC；
（2）过点C作⊙O的切线CD，交A P的延长线于点D．如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O 的直径．
23．如图：AB是⊙O的直径，AC交⊙O于G，E是AG上一点，D为△BCE内心，BE交AD于F，且∠DBE＝∠BAD．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：DF＝DG．
24．已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上AB同侧的两点，∠BAC＝25°（Ⅰ）如图①，若OD⊥AB，求∠ABC和∠ODC的大小；
（Ⅱ）如图②，过点C作⊙O的切线，交AB延长线于点E，若OD∥EC，求∠ACD的大小．
25．【材料阅读】
地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图1中的⊙O）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图2所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角α的大小是变化的．
【实际应用】
观测点A在图1所示的⊙O上，现在利用这个工具尺在点A处测得α为31°，在点A所在子午线往北的另一个观测点B，用同样的工具尺测得α为67°．PQ是⊙O的直径，PQ ⊥ON．
（1）求∠POB的度数；
（2）已知OP＝6400km，求这两个观测点之间的距离即⊙O上的长．（π取3.1）
参考答案
一．选择题
1．解：∵OB＝OC，
∴∠C＝∠OBC，
∵∠OBC＝26°，
∴∠AOB＝2∠C＝52°，
故选：B．
2．解：连接CO，
∵∠A＝68°，
∴∠BOC＝136°，
∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣136°）＝22°．
故选：A．
3．解：∵OA＝3cm＜5cm，
∴点A在⊙O内．
故选：A．
4．解：∠APB＝∠AOB＝×40°＝20°．
故选：C．
5．解：A、圆有无数条直径，故本选项说法正确；
B、连接圆上任意两点的线段叫弦，故本选项说法正确；
C、过圆心的弦是直径，故本选项说法错误；
D、能够重合的圆全等，则它们是等圆，故本选项说法正确；
故选：C．
6．解：设正六边形的中心为O，连接AO，BO，如图所示：∵O是正六边形ABCDEF的中心，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠AOB＝60°，AO＝BO＝2cm，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝2cm，
∴正六边形ABCDEF的周长＝6AB＝12cm．
故选：C．
7．解：连接OA、OC，如图．
∵∠B＝135°，
∴∠D＝180°﹣135°＝45°，
∴∠AOC＝90°，
则劣弧AC的长＝＝2π．
故选：A．
8．解：在优弧AB上取点D，连接BD，AD，OB，OA，∵∠ACB＝110°，
∴∠D＝180°﹣∠ACB＝70°，
∴∠AOB＝2∠D＝140°，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠P＝360°﹣∠OAP﹣∠AOB﹣∠OBP＝40°．
故选：D．
9．解：连接OM，ON，OQ， OP，
∵MN、MQ的垂直平分线交于点O，
∴OM＝ON＝OQ，
∴M、N、Q再以点O为圆心的圆上，OP与ON的大小不能确定，∴点P不一定在圆上．
故选：C．
10．解：连接AD，CF，作CH⊥BD于H，如图所示：
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADF+∠BDF＝90°，∠DAB+∠DBA＝90°，
∵∠BDF+∠BDC＝90°，∠CBD+∠DBA＝90°，
∴∠ADF＝∠BDC，∠DAB＝∠CBD，
∴△ADF∽△BDC，
∴＝＝，
∵∠DAE+∠DAB＝90°，∠E+∠DAE＝90°，
∴∠E＝∠DAB，
∴△ADE∽△BDA，
∴＝，
∴＝，即＝，
∵AB＝BC，
∴AE＝AF，
∵AE＝2BF，
∴BC＝AB＝3BF，
设BF＝x，则AE＝2x，AB＝BC＝3x，
∴BE＝＝x，CF＝＝，由切割线定理得：AE2＝ED×BE，
∴ED＝＝＝x，
∴BD＝BE﹣ED＝，
∵CH⊥BD，
∴∠BHC＝90°，∠CBH+∠BCH＝∠CBH+∠ABE，
∴∠CBH＝∠ABE，
∵∠BAE＝90°＝∠BHC，
∴△BCH∽△EBA，
∴＝＝，即＝＝，
解得：BH＝x，CH＝x，
∴DH＝BD﹣BH＝x，
∴CD2＝CH2+DH2＝x2，
∵DF⊥CD，
∴CD2+DF2＝CF2，即x2+（2）2＝（）2，
解得：x＝，
∴AB＝3，
∴⊙O的半径长为；
故选：A．
二．填空题
11．解：连接CO，
∵CD切⊙O于点C，
∴CO⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵∠BCD＝26°，
∴∠OCB＝90°﹣26°＝64°，
∵CO＝BO，
∴∠ABC＝∠OCB＝64°．
故答案为：64°．
12．解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠PAB＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠POA＝90°﹣40°＝50°，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠BCO＝25°，
故答案为：25°．
13．解：连接AB，分别作AC、AB的垂直平分线，两直线交于点H，由垂径定理得，点H为△ABC的外接圆的圆心，
∵A（0，3）、点B（4，3）、C（0，﹣1），
∴点H的坐标为（2，1），
则△ABC外接圆的半径＝＝2，
故答案为：2．
14．解：由题意：BA＝BC＝1，∠ABC＝90°，
∴S
＝＝．
扇形BAC
故答案为．
15．解：设OE交DF于N，如图所示：
∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，
∴DE＝FE，∠EOF＝＝45°，，
∴∠OEF＝∠OFE＝∠OED，OE⊥DF，
∴△ONF是等腰直角三角形，
∴ON＝FN＝OF＝，∠OFM＝45°，
∴EN＝OE﹣OM＝2﹣，∠OEF＝∠OFE＝∠OED＝67.5°，∴∠CED＝∠DFE＝67.5°﹣45°＝22.5°，
∴∠MEN＝45°，
∴△EMN是等腰直角三角形，
∴MN＝EN，
∴MF＝MN+FN＝ON+EN＝OE＝2，
∴△MEF的面积＝MF×EN＝×2×（2﹣）＝2﹣；
故答案为：2﹣．
16．解：连接OB．
∵＝，
∴∠AOB＝∠BOC＝50°，
∴∠BDC＝∠BOC＝25°，
∵∠OED＝∠ECD+∠CDB，∠ECD＝35°，
∴∠OED＝60°，
故答案为60°．
17．解：当PA是⊙O的切线时，OP最长，则PB最长，故△BOP的面积的最大，连接OA，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∵∠OPA＝45°，
∴△OPA是等腰直角三角形，
∴OA＝PA＝3，
∴OP＝3，
在Rt△BOP中， PB＝＝＝，
∴△BOP的面积的最大值为×4×＝2，
故答案为2．
18．解：∵PM、PN是过P所作的⊙O的两切线且互相垂直，
∴∠MON＝90°，
∴四边形PMON是正方形，
根据勾股定理求得OP＝m，
∴P点在以O为圆心，以m长为半径作大圆⊙O上，
以O为圆心，以m长为半径作大圆⊙O，然后过C点作大⊙O的切线，切点即为P点，此时∠ACP有最大值，如图所示，
∵PC是大圆⊙O的切线，
∴OP⊥PC，
∵OC＝2m，OP＝m，
∴PC＝＝m，
∴OP＝PC，
∴∠ACP＝45°，
∴∠ACP的最大值等于45°，．
故答案为45°．
三．解答题
19．（1）证明：连接OA，
∵AF、BF为半⊙O的切线，
∴AF＝BF，∠FAO＝∠EBC＝90°，
∴∠E+∠C＝∠EAF+∠OAC＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠C＝∠OAC，
∴∠E＝∠EAF，
∴AF＝EF，
∴BF＝EF；
（2）解：连接AB，
∵AF、BF为半⊙O的切线，
∴∠OAP＝∠OBE＝90°，且BF＝AF＝1.5，
又∵tan∠P＝，即，
∴PB＝，
∵∠PAE+∠OAC＝∠AEB+∠OCA＝90°，且∠OAC＝∠OCA，∴∠PAE＝∠AEB，∠P＝∠P，
∴△APB∽△CPA，
∴，即PA2＝PB•PC，
∴，解得PA＝．
20．（1）证明：连接OC，
在△PDO与△PCO中，，
∴△PDO≌△PCO（SSS），
∴∠PCO＝∠PDO，
∵PD是⊙O的切线，
∴∠PDO＝90°，
∴∠PCO＝90°，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：∵∠PDO＝90°，DO＝PO，∴∠POD＝60°，
∴∠DOC＝120°，
∵⊙O的半径为2，
∴PD＝OD＝2，
∴图中阴影部分的面积＝S
四边形PDOC ﹣S
扇形DOC
＝2××2×2﹣＝4﹣
．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，AB为⊙O的直径，∴∠ABE＝∠BCG＝∠AFB＝90°，
∴∠BAF+∠ABF＝90°，∠ABF+∠EBF＝90°，
∴∠EBF＝∠BAF，
在△ABE与△BCG中，，
∴△ABE≌△BCG（ASA）；
（2）解：连接OF，
∵∠ABE＝∠AFB＝90°，∠AEB＝55°，
∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠BOF＝2∠BAE＝70°，
∵OA＝3，
∴的长＝＝．
22．（1）证明：∵A关于OP的对称点C恰好落在⊙O上．∴＝
∴∠AOP＝∠COP，
∴∠AOP＝∠AOC，
又∵∠ABC＝∠AOC，
∴∠AOP＝∠ABC，
∴PO∥BC；
（2）解：连接PC，
∵CD为圆O的切线，
∴OC⊥CD，又AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠APO＝∠COP，
∵∠AOP＝∠COP，
∴∠APO＝∠AOP，
∴OA＝AP，
∵OA＝OP，
∴△APO为等边三角形，
∴∠AOP＝60°，
又∵OP∥BC，
∴∠OBC＝∠AOP＝60°，又OC＝OB，
∴△BCO为等边三角形，
∴∠COB＝60°，
∴∠POC＝180°﹣（∠AOP+∠COB）＝60°，又OP＝OC，
∴△POC也为等边三角形，
∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC，
又∵∠OCD＝90°，
∴∠PCD＝30°，
在Rt△PCD中，PD＝PC，
又∵PC＝OP＝AB，
∴PD＝AB，
∴AB＝4PD＝4．
23．证明：（1）∵点D为△BCE的内心，∴BD平分∠EBC．
∴∠EBD＝∠CBD．
又∵∠DBE＝∠BAD，
∴∠CBD＝∠BAD．
又∵AB是〇O直径，
∴∠BDA＝90°．
在Rt△BAD中，∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CBD+∠ABD＝90°，即∠ABC＝90°．∴BC⊥AB．
又∵AB为直径，
∴BC是〇O的切线；
（2）连接ED，如图，则ED平分∠BEC，∴∠BED＝∠CED．
∵∠EFD为△BFD的外角
∴∠EFD＝∠ADB+∠EBD＝90°+∠EBD，
又∵四边形ABDG为圆的内接四边形，
∴∠EGD＝180°﹣∠ABD＝180°﹣（90°﹣∠CDB）＝90°+∠CDB 又∵∠EBD＝∠CBD，
∴∠EFD＝∠EGD
又∵ED＝ED，
∴△DFE≌△DGE（AAS）．
∴DF＝DG．
24．解：（Ⅰ）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝25°，
∴∠ABC＝65°，
∵OD⊥AB，
∴∠AOD＝90°，
∴∠ACD＝∠AOD＝＝45°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝25°，
∴∠OCD＝∠OCA+∠ACD＝70°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝70°；
（Ⅱ）连接OC，
∵EC是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，
∴∠OCE＝90°，
∵∠BAC＝25°，
∴∠COE＝2∠BAC＝50°，
∴∠OEC＝40°，
∵OD∥CE，
∴∠AOD＝∠COE＝40°，
∴∠ACD＝AOD＝20°．
25．解：（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HD⊥BC于D，CH⊥BH交BC于点C，如图所示：
则∠DHC＝67°，
∵∠HBD+∠BHD＝∠BHD+∠DHC＝90°，
∴∠HBD＝∠DHC＝67°，
∵ON∥BH，
∴∠BEO＝∠HBD＝67°，
∴∠BOE＝90°﹣67°＝23°，
∵PQ⊥ON，
∴∠POE＝90°，
∴∠POB＝90°﹣23°＝67°；
（2）同（1）可证∠POA＝31°，
∴∠AOB＝∠POB﹣∠POA＝67°﹣31°＝36°，
∴＝＝3968（km）．
人教版九年级数学上册第24章圆单元测试题
一、选择题(每小题3分，共18分)
1．在⊙O 中，∠AOB ＝84°，弦AB 所对的圆周角度数为( ) A ．42° B ．138°
C ．69°
D ．42°或138°
2．如图1，在半径为4的⊙O 中，弦AB ∥OC ，∠BOC ＝30°，则AB 的长为( ) A ．2 B ．2 3 C ．4 D ．4 3
图1 图2
3．如图2，在平面直角坐标系中，⊙A 经过原点O ，并且分别与x 轴、y 轴交于点B ，C ，已知B (8，0)，C (0，6)，则⊙A 的半径为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．8
4．若100°的圆心角所对的弧长为5π cm ，则该圆的半径R 等于( )
A ．5 cm
B ．9 cm C.52 cm D.9
4
cm
5．已知OA 平分∠BOC ，点P 在OA 上，如果以点P 为圆心的圆与OC 相离，那么⊙P 与
OB 的位置关系是( )
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．不能确定
6．如图3，以等边三角形ABC 的BC 边为直径画半圆，分别交AB ，AC 于点E ，D ，DF 是半圆的切线，过点F 作BC 的垂线交BC 于点G .若AF 的长为2，则FG 的长为( )
A ．4
B ．3 3
C ．6
D ．2 3
图3 图4
二、填空题(每小题4分，共28分)
7．如图4，若AB是⊙O的直径，AB＝10 cm，∠CAB＝30°，则BC＝________cm.
8．如图5，在△ABC中，AB＝2，AC＝2，以点A为圆心，1为半径的圆与边BC相切，则∠BAC的度数是________．
图5
9.如图6，已知在正方形ABCD中，AB＝2，以点A为圆心，半径为r画圆，当点D在⊙A内且点C在⊙A外时，r的取值范围是________．
图6
10．如图7，某同学用纸板做了一个底面圆直径为10 cm，高为12 cm的无底圆锥形玩具(接缝忽略不计)，则做这个玩具所需纸板的面积是________cm2(结果保留π)．
图7 图8
11.如图8，在⊙O中，AB是⊙O的直径，弦AE的垂直平分线交⊙O于点C，交AE于点F，CD⊥AB于点D，BD＝1，AE＝4，则AD的长为________．
12．半圆形纸片的半径为1 cm，用如图9所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为________cm.
图9 图10
13．如图10，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，以CD为直径作⊙O.将矩形ABCD绕点C 旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为________．
三、解答题(共54分)
14．(8分)如图11，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝12，∠ABC＝∠DAC，求AC的长．
图11
15．(10分)如图12，BE是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE的延长线于点C.
(1)若∠ADE＝25°，求∠C的度数；
(2)若AB＝AC，CE＝2，求⊙O的半径．
图12
16．(10分)如图13，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为F，AO⊥BC，垂足为E，AO＝1.
(1)求∠C的度数；
(2)求图中阴影部分的面积．
图13
17．(12分)如图14，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，P(4，2)是⊙O外一点，连接AP，直线PB与⊙O相切于点B，交x轴于点C.
(1)求证：PA是⊙O的切线；
(2)求点B的坐标．
图14
18．(14分)如图15，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE 上的一点，且CF∥BD.
(1)求证：BE＝CE；
(2)试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；
(3)若BC＝8，AD＝10，求CD的长．
图15
详解详析
1．D
2．D [解析] 如图，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则AD ＝DB .
∵AB ∥OC ，∠BOC ＝30°， ∴∠B ＝∠BOC ＝30°.
∵在Rt △DOB 中，∠B ＝30°，OB ＝4， ∴OD ＝2.
∴DB ＝42
－22
＝2 3. ∴AB ＝2DB ＝4 3.
3．C [解析] 连接BC .∵∠BOC ＝90°， ∴BC 为⊙A 的直径，即BC 过圆心A . 在Rt △BOC 中，OB ＝8，OC ＝6，
根据勾股定理，得BC ＝10，则⊙A 的半径为5. 4．B [解析] 由100πR
180
＝5π，求得R ＝9.
5．A
6．B [解析] 连接OD .
∵DF 为半圆O 的切线，∴OD ⊥DF . ∵△ABC 为等边三角形，
∴AB ＝BC ＝AC ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°. 又∵OD ＝OC ，
∴△OCD 为等边三角形，
∴∠CDO ＝∠A ＝60°，∠DOC ＝∠ABC ＝60°， ∴OD ∥AB ，∴DF ⊥AB .
在Rt △AFD 中，∵∠ADF ＝90°－∠A ＝30°，AF ＝2，∴AD ＝4. ∵O 为BC 的中点，易知D 为AC 的中点， ∴AC ＝8，
∴FB ＝AB －AF ＝8－2＝6.
在Rt △BFG 中，∠BFG ＝90°－∠B ＝30°， ∴BG ＝3，
根据勾股定理，得FG ＝3 3. 故选B.
7．5 [解析] ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.
又∵AB ＝10 cm ，∠CAB ＝30°， ∴BC ＝1
2AB ＝5 cm.
8．105° [解析] 设⊙A 与BC 相切于点D ，连接AD ，则AD ⊥BC . 在Rt △ABD 中，AB ＝2，AD ＝1， 所以∠B ＝30°， 因而∠BAD ＝60°.
同理，在Rt △ACD 中，得到∠CAD ＝45°， 因而∠BAC 的度数是105°.
9．2＜r ＜2 2
10．65π [解析] 如图，过点P 作PO ⊥AB 于点O ，
则O 为AB 的中点，即圆锥底面圆的圆心．
在Rt △PAO 中，PA ＝OP 2
＋OA 2
＝122
＋52
＝13.
由题意，得S 侧面积＝12lr ＝12×底面圆周长×母线长＝1
2×π×10×13＝65π，∴做这个
玩具所需纸板的面积是65π cm 2.故答案为65π.
11．4 [解析] ∵CF 垂直平分AE ，
∴AF ＝1
2AE ＝2，∠AFO ＝90°.
∵CD ⊥AB ，∴∠ODC ＝∠AFO ＝90°. 又∵OA ＝OC ，∠AOF ＝∠COD ， ∴△AOF ≌△COD (AAS)， ∴CD ＝AF ＝2.
设⊙O 的半径为r ，则OD ＝r －1.
由勾股定理，得OC 2＝OD 2＋CD 2
，
即r 2＝(r －1)2＋22
， 解得r ＝5
2
，
∴AD ＝AB －1＝2×5
2－1＝4.
故答案为4.
12. 3 [解析] 如图，连接MO 交CD 于点E ，则MO ⊥CD ，连接CO .
∵MO ⊥CD ，∴CD ＝2CE .
∵对折后半圆弧的中点M 与圆心O 重合， ∴ME ＝OE ＝12OC ＝1
2 cm.
在Rt △COE 中，CE ＝
12
－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝32
(cm)，
∴折痕CD 的长为2×
3
2
＝3(cm)． 13．4 [解析] 连接OE ，延长EO 交CD ′于点G ，过点O 作OH ⊥B ′C 于点H ，
则∠OEB ′＝∠OHB ′＝90°.
∵矩形ABCD 绕点C 旋转所得矩形为A ′B ′CD ′，
∴∠B ′＝∠B ′CD ′＝90°，AB ＝CD ＝5，BC ＝B ′C ＝4，
∴四边形OEB ′H 和四边形EB ′CG 都是矩形，OE ＝OD ＝OC ＝2.5， ∴B ′H ＝OE ＝2.5，
∴CH ＝B ′C －B ′H ＝1.5， ∴CG ＝B ′E ＝OH ＝OC 2
－CH 2
＝
2.52－1.52
＝2.
∵四边形EB ′CG 是矩形，
∴∠OGC ＝90°，即OG ⊥CD ′， ∴CF ＝2CG ＝4. 故答案为4.
14．解：连接CD .
∵∠ABC ＝∠DAC ，∴AC ︵＝CD ︵
，∴AC ＝CD . ∵AD 是⊙O 的直径， ∴∠ACD ＝90°.
∴AC 2＋CD 2＝AD 2
，
即2AC 2＝AD 2
. ∴AC ＝
2
2
AD ＝6 2. 15．解：(1)如图，连接OA .
∵AC 是⊙O 的切线，OA 是⊙O 的半径，∴OA ⊥AC ， ∴∠OAC ＝90°. ∵∠ADE ＝25°，
∴∠AOE ＝2∠ADE ＝50°，
∴∠C ＝90°－∠AOE ＝90°－50°＝40°. (2)∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .
∵∠AOC ＝2∠B ，∴∠AOC ＝2∠C . ∵∠OAC ＝90°，
∴∠AOC ＋∠C ＝90°，
∴3∠C ＝90°，∴∠C ＝30°，∴OA ＝1
2OC .
设⊙O 的半径为r . ∵CE ＝2，
∴r ＝1
2
(r ＋2)，解得r ＝2，
∴⊙O 的半径为2
16．解：(1)∵CD 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ， ∴AD ︵＝BD ︵，∴∠C ＝1
2∠AOD .
∵∠AOD ＝∠COE ，∴∠C ＝1
2∠COE .
又∵AO ⊥BC ，∴∠C ＋∠COE ＝90°， ∴∠C ＝30°.
(2)连接OB ，由(1)知∠C ＝30°， ∴∠AOD ＝60°，∴∠AOB ＝120°. 在Rt △AOF 中，AO ＝1，∠AOF ＝60°， ∴∠A ＝30°，
∴OF ＝12，∴AF ＝3
2，∴AB ＝2AF ＝ 3.
故S 阴影＝S 扇形OAB －S △OAB ＝13π－34
.
17．解：(1)证明：∵⊙O 的半径为2，∴OA ＝2.
又∵P (4，2)，
∴PA ∥x 轴，即PA ⊥OA ， 则PA 是⊙O 的切线．
(2)连接OP ，OB ，过点B 作BQ ⊥OC 于点Q . ∵PA ，PB 为⊙O 的切线， ∴PB ＝PA ＝4，可证
人教版数学九年级上册第24章《圆》培优检测题（含祥细答案）
一．选择题
1．已知⊙O 的半径OA 长为
，若OB ＝
，则可以得到的正确图形可能是（ ）
A ．
B ．。