陕西省西安市西咸新区泾河新城第一中学2022-2023学年高一下综合评价考试(一)数学试题(含解析)

则c
.
15．如图，BC，DE 是半径为 1 的圆 O 的两条直径，F 为直径 BC 上一点，且 BF ＝
试卷第 2 页，共 4 页
2 FO ，则 FD · FE ＝
.
四、双空题
16．已知平面向量
a
，
b
的夹角为120
，且
|
a
|
2
，
|
b
|
5
，则
b
在
a
方向上的投影向
量是
，
|
a
b
|
(
R)
的最小值是
答案第 2 页，共 9 页
sin(A C) 2sin C ，sin B 2sin C ，b 2c ，
又 a b ，a 2c ．
cos B a2 c2 b2 4c2 c2 4c2 1 ，
2ac
2 2cc 4
B (0, ) ，
则 sin B 1 cos2B 15 .
∴| DF |=1，| CF |= 2 ﹣1，
AE BF AB BE BC CF AB CF BE BC 2 2 1 1 2 2
故答案为 C.
【点睛】(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，
运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是
【分析】利用平面向量概念可判断 AD 选项；利用单位向量的定义可判断 B 选项；利用共
线向量的定义可判断 C 选项.
【详解】对于
A
选项，若
a
b
，则 a
、b
的方向关系无法确定，A
错；
对于
B
选项，与非零向量 a
共线的单位向量是
a a
，B
错；
对于 C 选项，长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量，C 对；
两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.
6．A
【详解】∵ BC 3CD
uuuv ∴ AC − AB =3( AD − AC )；
∴
uuuv AD
=
4 3
AC
−
1 3
AB
.
故选 A.
7．A 【分析】由 c cos A a cos C 2c ，利用正弦定理可得： sin C cos A sin AcosC 2sin C ，化为 sin B 2sin C ，可得 b 2c ，又 a b ，再利用余弦定理可得 cos B ，即可得出 sin B 1 cos2B ． 【详解】解：c cos A a cos C 2c ，由正弦定理可得： sin C cos A sin Acos C 2sin C ，
D．若 PA PB PB PC PC PA ，则点 P 必为 ABC 的外心
三、填空题
13．设
a
，
b
为两个不共线向量，若向量
m
4a
5b
与
n
2a
b
共线，则实数
.
14．在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 B ， b 3 ， a 1， 3
陕西省西安市西咸新区泾河新城第一中学 2022-2023 学年高 一下学期综合评价考试（一）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各命题中，正确的是（ ）
A．若
a
b
，则 a
b或a
b
B．与非零向量 a
π A．
6
π B．
3
2π C．
3
5π D．
6
5．已知单位向量 a ， b 的夹角为 60°，则在下列向量中，与 b 垂直的是（ ）
A． a 2b
B． 2a b
C． a 2b
D． 2a b
6．设 D 为 ABC 所在平面内一点，若 BC 3CD ，则下列关系中正确的是
A．
AD
1
AB
,
b
1,
2
,
a
b
1,
3
，
a
b
12 32
10 ，故选 B,
4．C 【分析】根据已知条件及余弦定理的推论即可求解.
答案第 1 页，共 9 页
【详解】由 a2 b2 c2 bc ，得 b2 c2 a2 bc ，
由余弦定理的推理得 cos A b2 c2 a2 bc 1 ，
r a
r b
且方向相同，故
A
错误；
对于 B:
若 a / /b,b / /c
b0
，
rr 则 a / /c ，若 b=0 ，则 a、c 不一定平行.故 B 错误；
答案第 3 页，共 9 页
对于 C: 若 a b 0 ， 也可能为 a b ，故 C 错误；
对于 D:根据向量加、减法的三角形法则: a b a b a b 成立,故 D 正确.
D．B
1,1
，M
7 2
,
4
3．设
x,
y
R
，向量 a
x,1
,
b
1,
y, c
2, 4
，且 a
c,
b
/
/c ，则
a
b
( )
A． 5
B． 10
C． 2 5
D．10
4．在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，若 a2 b2 c2 bc ，则 A 的值是
（）
x 24 x
则
y
1
2
4
y
，
x 8 解得 3 ，
y 3
答案第 4 页，共 9 页
所以
P
8 3
,
3
，
故选：AD
【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
x y
2 3
3 2
x
y
5 5
；
即 B(5, 5) ；
线段 AB 的中点 M 坐标为： (2 5 ， 5 3) 即 (7 ， 4) ；
2
2
2
故选：B
3．B
【详解
】
x,
y
R
，向
量
a
x,1
,
b
1,
y
,
c
2,
4
，由
a
c
得
2
x
4
0
，
解得
x
2
；
由
b
/
/c
得
4
2
y
0
，解得
y
2
，
a
2,1
【分析】直接利用向量共线的充要条件,三角形法则的应用判断 A、B、C、D 的结论：
对于 A: 利用 a b 的充要条件判断；
对于 B: 取特殊向量 b=0 ，进行否定；
对于 C: 取特殊位置 a b ，进行否定；
对于 D:根据向量加、减法的三角形法则进行判断.
【详解】对于 A:
a
b
的充要条件是
向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为
解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法；(3)向量的两个作用：①载体作用：
关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：
利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
9．ABC
4
故选：A．
8．C
【分析】根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模
长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于 0，得到结果．
【详解】∵ AF AD DF ，
AB·AF AB· AD DF AB·AD+ AB DF = AB DF = 2|DF|= 2
共线的单位向量是
a a
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量
D．若
a
b
，则 a
b
2．已知 A(2，-3)， AB =(3，-2)，则点 B 和线段 AB 的中点 M 坐标分别为 ( )
A．B(5，-5)，M(0，0)
B．B(5，-5)，M
7 2
,
4
C．B 1,1 ，M(0，0)
试卷第 1 页，共 4 页
若 AB AF 2 ，则 AE BF 的值是（ ）
A．2﹣ 2
B．1
C． 2
D．2
二、多选题
9．下列命题中错误的是（ ）
A． a

的充要条件是
r a
r b
且 a / /b
C．若 a b 0 则 a 0 或 b 0
10．下列能化简为 PQ 的是（ ）
uuur uuur uur uuur uuur uuur uuur
对于 C， AB PC BA QC PC CQ PQ ，故 C 正确；
对于 D， PA AB BQ PB BQ ，故 D 不合题意；
故选：ABC．
11．AD
【分析】设
P
x,
y
，则
P1P
x,
y
1
,
试卷第 3 页，共 4 页
20 ．在 ABC 中 ， AC
2 ， AB
3
1，
BAC
45
，
BP
1
BA
BC
0
，
AP 2 . 2
(1)求 BA AC 的值；
(2)求实数 的值；
(3)若
BQ
1
BC
，
AQ
与
BP
交于点
M
，
AM
MQ
，求实数
的值.
4
试卷第 4 页，共 4 页
1．C
参考答案：
A． QC QP CQ
C． AB PC BA QC
B．若 a // b,b // c 则 a / /c
D． a b a b a b
B． AB PA BQ
D． PA AB BQ
11．已知在平面直角坐标系中，点 P1 0,1 ， P2 4, 4 .当 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时，
故选:ABC 10．ABC 【分析】根据向量的线性运算分别判断即可．
uuur uuur uuur uuur uuur 【详解】解：对于 A， QC QP CQ QP PQ ，故 A 正确；
uuur uur uuur uuur uur uuur 对于 B， AB PA BQ AQ PA PQ ，故 B 正确；
，所以本选项不符合题意；
2
2
B：因为 (2a
b)
b
2a
b
2 b
2
1
1
2
0
，所以本选项不符合题意；
2
C：因为 (a
2b) b
a
b
2 2b
1
21
3
0
，所以本选项不符合题意；
2
2
D：因为 (2a
b) b
2a
b
2 b
2
1
1
0
，所以本选项符合题意.
2
故选：D.
【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这
4
AC
33
C．
AD
4
AB
1
AC
33
B．
AD
1
AB
4
AC
33
D．
AD
4
AB
1
AC
33
7．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 ccos A＋acos C＝2c，若 a＝
b，则 sin B 等于（ ）
A． 15 4
1 B．
4
C． 3 4
D． 3 2
8．如图，在矩形 ABCD 中，AB= 2 ，BC=2，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，
对于
D
选项，若
a
b
，但向量 a
、b
不能比大小，D
错.
故选：C. 2．B 【分析】先根据向量的坐标和点的坐标之间的关系求出 B 的坐标，根据中点坐标公式，即可 得到 AB 的中点坐标． 【详解】设 B(x, y) ，
A(2, 3) ， AB (3, 2) ，
(x 2 ， y 3) (3 ， 2) ；
PP2
4
x,
4
y
，然后分点
P
靠近点
P1
，靠近点
P2
两种情况，利用平面向量的线性运算求解.
【详解】设
P
x,
y
，则
P1P
x,
y
1
,
PP2
4
x,
4
y
，
当点
P
靠近点
P1
时，
P1P
1 2
PP2
，
则
x
y
1 4 x
2
1 1 4
2
y
，
x 4 解得 3 ，
y 2
所以
P
4 3
,
2
，
当点 P 靠近点 P2 时， P1P 2PP2 ，
点 P 的坐标为（ ）
A．
4 3
,
2
B．
4 3
,
3
C． 2,3
12．在 ABC 中，有如下四个命题正确的有（ ）
A．若 A 30 ， b 4 ， a 3 ，则 ABC 有两解
B．若 BA BC AC ，则 ABC 的形状为等腰三角形
D．
8 3
,3
C．若 A 60 ， a 2 ，则 ABC 面积的最大值为 3
．
五、解答题
17．设向量 a 1，2，b 2，1，c 2，1
（1）若向量
a
b
与向量
c
平行，求
的值；
（2）若向量
b
c
与向量
b
c
互相垂直，求
的值.
18．在锐角 ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，已知 2c sin A 3a ． （1）求角 C 的大小； （2）若 b 2 ， c 7 ，求 ABC 的面积．
2bc
2bc 2
又因为 0 A π ,
所以 A 2π .
3
故选：C.
5．D
【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质
逐一判断即可.
【详解】由已知可得： a b
a
b
cos 60
11 1
1
.
22
A：因为 (a
2b) b
a
b
2 2b
1
21
5
0
19．海岸上建有相距 40 3 海里的雷达站 C，D，某一时刻接到海上 B 船因动力故障发 出的求救信号后，调配附近的 A 船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为 BCA 45, ACD 30 , BDC 45, ADB 75 .
(1)救援出发时，A 船距离雷达站 C 距离为多少？ (2)若 A 船以 30 海里每小时的速度前往 B 处，能否在 3 小时内赶到救援？