现代信号处理Z变换1.

• 单边正余弦序列 • 时域卷积定理 • Z域卷积定理 • 帕斯瓦尔定理
单位冲击序列
单位阶跃序列
矩形脉冲序列
单位斜变序列
单边指数序列
单边正、余弦序列
利用单边指数序列的ZT，分别取a e j0和a e ， j0 可以得到
Z[e j0nu(n)]
z z e j0
(|
z
|| e j0
| 1)
Z[e j0nu(n)]
z z e j0
(| z
|| e j0
| 1)
再由欧拉公式即可得到：
Z[c osn0u(n) ]
z[12
(e j0n
e j0n)u(n)]
1 2
[ z
z e j0
z
z e
] j0
Z[cosn0u(n)]
同理：
z2
z(z cos0) 2z cos0
1
(
|
z
| 1)
第四章 Z变换
Z变换是研究离散时间信号和系统理论的一 种重要的数学工具
它把离散系统的数学模型——差分方程转 化为简单的代数方程，使其求解过程得以 简化。
0 (t)dt E
E,t0 (t) 0, (t t0 )
E,t0 (t) E(t t0 )
(E)
0
和 处的收敛情况：
n1 0,n2 0
n1 0,n2 0
n1 0,n2 0
0 z 0 z 0 z
右边序列的ROC
Rx1 limn | x(n) | n
Rx2
limn
1 | x(n)
|
n
左边序列的ROC
双边序列的ROC
否则，ROC为空集，即双边序列不存在ZT。
注意
• 求得的是级数收敛的充分而非必要条件，实 际收敛域可能会更大；
如果
1 F(s)
|s p0
0, 则称s
p0是F (s)的“极点（pole）”。
如果零点和极点是有限的，分别称为“有限零点”或“有限极点”；
否则称为“无限零点”或“无限极点”
例题
某序列的 ZT有3个极点， p1 0.5, p2 1, p3 2,指出其可能的 ROC。
常用序列及其ZT
• 单位冲击序列 • 单位阶跃序列 • 矩形脉冲序列 • 单位斜变序列 • 单边指数序列
ZT
x(n) X (z)或者x(n) X (z)
• 单边ZT：
Zx(n) X (z) x(n)z n
n0
• 双边ZT
Z B x(n) X B (z)
x(n)z n
n
• 称整个z平面上的点构成的取值范围为“z 域”，基于ZT的分析方法成为“Z域分 析”。
• 域的变换：
时间域—时域—t—f(t)或x(t)—一维 频率域—频域—ω—F(ω)—一维 复频率域—s域—s—F(s)或X(s)—二维（s=σ+j ω)
• 引如新的复变量 z esTs ，将Ts归一化，
令T=1，则上式可以写为：
X (z) x(n)en n0
• 因此序列x(n)的Z变换定义为：
X (z) Z[x(n)] x(n)zn n0
• 复变函数X(z)的逆Z变换定义为：
x(n) Z 1[ X (z)]
其中z es
• X(n)和X(z)成为Z变换对，简单记作：
z域微分(或序列线性加权)性
初值定理 与终值定理
an1 an
1，发散
1，不一定
1，收敛
limn
| an |
1，发散
n
1，不一定
有限长序列的ROC
序列 x(n)在n n1 或n n2 (其中n1 n2 )时x(n) 0 。
则：
n2
X (z) Z[x(n)] x(n)zn
nn1
收敛域至少是0 z ，序列的左右端点只会影响其在0
• 实际的离散信号通常都是因果序列，此时单 边ZT与双边ZT是一致的，收敛域也相同， 都是z平面上的某个圆外面的区域。
关于极点与ROC关系的一些结论
• 一般地讲，序列的ZT在其ROC内是解析的，因此 ROC内不应包含任何极点，且ROC是连通的。
• 序列ZT的ROC是以极点为边界的。
• 右边序列ZT的ROC，是以其模最大的有限极点的 模为半径的圆外面的区域(不包括圆周)。
z域——z——X(z)—二维（z=es=eσ+j ω=eσ.ejω)
ZT收敛域ROC
定义：使给定序列x(n) 的Z变换X (z)中的求和级数
收敛的z的集合。
x(n)zn 收敛的充要条件是 x(n)zn
n
n
判别 | an | 收敛性的方法有比值法和根值法： n0
1，收敛
lim n
n
n
anzn 1 bnzn anzn 1 bn(z1)n
n0
n
n0
n0
z
z
a
1
z1 z1 b1
z
z a
1
z
z b
2z(z
a
2
b)
(z a)(z b)
(| z | a,| z1 | b1或a | z | b)
ZT的性质
线性
时域平移性
时域扩展性
时域共轭性
z域尺度变换(或序列指数加权)性
xs (t) x(t) • r (t) x(nTs ) (t nTs ) n0
• 求拉氏变换
X s (s)
0
xs
(t )e st
dt
[
0
x(nTs ) (t nTs )]est dt
n0
• 交换积分与求和顺序，并利用冲击函数 的抽样特性，可得：
X s (s) x(nTs )esnTs n0
n
• 逐点相成：
f (t) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
• 冲击函数的积分
t
u(t) (t)dt
• 冲击函数的傅氏变换
FE(t) E(t)e jt dt Ee j0 E
• 冲击函数的拉氏变换
L[ (t)] 1
• 设连续因果信号x(t)经过均匀抽样，则抽 样信号xs(t)的表达式为：
Z[sin n0u(n)]
z2
z sin 0 2z cos0
(| 1
z
| 1)
利用已知序列的ZT求解一般序列的ZT
求序列x(n) anu(n) bnu(n 1)的ZT（b a 0) 解：由定义
X (z) z[x(n)] x(n)zn [anu(n) bnu(n 1)]zn
• 左边序列ZT的ROC，是以其模最小的非零极点的 模为半径的圆内部的区域(不包括圆周)。
• 双边序列ZT的ROC，是以模的大小相邻近的两个 极点的模为半径的两个圆所形成的圆环区域(不包括 两个圆周)。
零点与极点的概念
如果F (s) |sz0 0，则称s z0是复变函数F (s)的“零点（zero）”；
t0
t
• 抽样特性（筛选特性）
f (t)(t t0 )dt f (t0 )
• 搬移特性
f (t) (t t0 ) f (t t0 )
• 冲击串的定义：
Ts (t) (t nTs )
n
• 抽样信号：
f s (t) f (t) T s (t)
f (nT s )(t nT s )