山师附中2019级高三第一次模拟数学试题理科-8页word资料

山师附中2019级高三第一次模拟考试试题
数 学（理工农医类） 2019.9
本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共150分考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1、设全集{}0,4,3,2,1----=U ，集合{}0,2,1--=A ，{}0,4,3--=B ，则=⋂B A C U )(（ ）
A ．{}0
B ．{}4,3--
C ．{}2,1--
D ．φ
2、已知2
()f x x =,i 是虚数单位，则在复平面中复数
(1)
3f i i
++对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
3、设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，若P (ξ>1)= p ，则P (-1<ξ<0)=（ ） A ．
p +2
1
B ．p -1
C ．p 21-
D ．
p -2
1
4、设0＜x ＜π
2 ，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5、已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m 、n ，有下列四个命题： ①若,,//α⊥m n m 则α⊥n ； ②若,,βα⊥⊥m m 则βα//； ③若,,//,βα⊂⊥n n m m 则βα⊥； ④若,,//n m =βαα 则n m //.
其中正确命题的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 6、要得到函数()cos(2)3f x x π=+
的图象，只需将函数()sin(2)3
g x x π
=+的图象（ ） A ．向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2π
个单位长度
C ．向左平移4π个单位长度
D ．向右平移4
π
个单位长度
7、已知双曲线
22
1124
x y -=的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（ ）
A ．⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-33,33 B ．[]
3,3-
C ．⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-33,33 D ．()
3,3- 8、某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同的发言顺序的种数为 （ ） A ．360 B ．520 C ．600 D ．720
9、设函数2,0,
()2,0.x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则关于x 的方程
()f x x =的解的个数为 （ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
10、已知向量OA 与OB 的夹角为θ，OA =2，OB =1，OP tOA =，()1OQ t OB =-，
PQ 在0t 时取得最小值.当01
05
t <<时，夹角θ的取值范围为（ ）
A ．⎪⎭
⎫
⎝⎛3,
0π B ．⎪⎭
⎫
⎝⎛2,3ππ C ．⎪⎭
⎫
⎝⎛32,2ππ D ．⎪⎭
⎫
⎝⎛32,
0π
第Ⅱ卷 （非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11、若k x x >-++31对任意的x R ∈恒成立，则实数k 的取值范围为___________． 12、如图给出的是计算
11112462014
+++⋅⋅⋅+的值的程序框图， 其中判断框内应填入的是_ _．
13. 已知圆C 过点)0,1(-，且圆心在x 轴的负半轴上，直线l ：
1+=x y 被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程
为 .
14、定义：{},min ,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨
>⎩，在区域02
06
x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点
结束
开始
i =2, S =0
i =i +2
S =S+1/i 输出S
否 是
()y x P ,，则x 、y 满足{}
22min 2,42x x y x y x x y ++++=++的概率为___________．
15、已知0,0x y >>，若
m m y
x x y 2822+>+恒成立，则实数m 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16、（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，且
ac b c a 21
222=
-+. （Ⅰ）求B C
A 2cos 2sin 2++的值；
（Ⅱ）若b = 2，求△ABC 面积的最大值．
17、（本小题满分12分）如图，在七面体ABCDMN 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且 MD =2，NB =1，MB 与ND 交于P 点．
（Ⅰ）在棱AB 上找一点Q ，使QP // 平面AMD ，并给出证明； （Ⅱ）求平面BNC 与平面MNC 所成锐二面角的余弦值．
18、（本小题满分12分）某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为
45、35、2
5
,且各轮问题能否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该同学被淘汰的概率；
（Ⅱ）该同学在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望.
19、（本小题满分12分）设数列{}n a 的各项都是正数，且对任意*
N n ∈，都有n n n a S a -=22
，
其中n S 为数列{}n a 的前n 项和． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ）设n n n a n b 2..)
1(31
λ--+=(λ为非零整数，*N n ∈)，试确定λ的值，使得对任意
*N n ∈，都有n
b n b >+1成立.
20、（本小题满分13分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>过点3(1,)2，且长轴长等于
4.
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，⊙O 是以F 1，F 2为直径的圆，直线:l y kx m =+与⊙
O 相切，并与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若3
,2
OA OB k ⋅=-求的值. 21、（本小题满分14分）已知函数1
)(2
++=
x b
ax x f 在点))1(,1(--f 的切线方程为03=++y x .
（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；
（Ⅱ）设x x g ln )(=，求证：)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立； （Ⅲ）已知b a <<0，求证：
2
22ln ln b a a
a b a b +>--.
2019级高三一模数学（理）参考答案及评分标准
一、选择题（每小题5分，共50分）
1、B
2、A
3、D
4、B
5、D
6、C
7、A
8、C
9、B 10、C 二、填空题（每小题5分，共25分）
11、(),4-∞ 12、2014i ≤ 13、()432
2
=++y x 14、
4
9
15、42m -<< 三、解答题：本大题共六小题，共75分。

16、（Ⅰ）在△ABC 中，由余弦定理可知，B ac b c a cos 22
2
2
=-+，由题意知
ac b c a 2
1
222=
-+，∴41cos =B ；………………2分
又在△ABC 中π=++C B A ，∴
1cos 22
cos 12cos 2cos 2cos 2sin 2cos 2sin 2222
-++=+=+-=++B B
B B B B B
C A π 212cos cos 22-+=B B ，又41cos =B ，∴4
1
2cos 2sin 2-=++B C A .………………6分
（Ⅱ）∵b =2 ，∴由ac b c a 212
2
2
=-+可知，ac c a 2
1
422=-+， 即
422
1
-≥ac ac ，∴38≤ac ，……………………8分
∵41cos =B ，∴415
sin =B ………………10分 ∴3
154153821sin 21=⋅⋅≤⋅=
∆B ac S ABC . ∴△ABC 面积的最大值为3
15
．…………………………12分 17、（Ⅰ）当1
3
BQ AB =
时，有QP //平面AMD . 证明：∵MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，∴MD//NB ，…………2分
∴
12BP NB PM MD ==，又1
2
QB QA =，∴
QB NB QA MD =，…………4分 ∴在MAB 中，QP//AM ，
又QP ⊄面AMD ，AM ⊂面AMD ，∴QP // 面AMD .…………６分
（Ⅱ）解：以DA 、DC 、DM 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则D （0,0,0），B （2,2,0），C （0,2,0），M （0,0,2）N （2,2,1），∴CM =（0,-2,2），CN =（2,0,1），
DC =（0,2,0），………………7分
设平面CMN 的法向量为1n =（x,y,z ）则110
n CM n CN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴22020y x x z -+=⎧⎨+=⎩，
∴1n =（1,-2,-2）.………………9分
又NB ⊥平面ABCD ，∴NB ⊥DC ，BC ⊥DC ，∴DC ⊥平面BNC ，∴平面BNC 的法向量为2n =DC =（0,2,0），………………11分 设所求锐二面角为θ，则1212
42
cos 323
n n n n θ⋅=
=
=⨯⋅.………………12分 18、解：（Ⅰ）记“该同学能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，， 则14()5
P A =，23()5
P A =，32()5
P A =，………………3分
∴该同学被淘汰的概率112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++
142433101555555125
=+⨯+⨯⨯=．……………………６分 （Ⅱ）ξ的可能值为1,2,3，11(1)()5P P A ξ===，1212428(2)()()()5525
P P A A P A P A ξ====⨯=，
12124312(3)()()()5525
P P A A P A P A ξ====⨯=
．………………8分
∴ξ的分布列为
ξ
1 2 3
P
15 825 1225
……………………１０分 ∴181257
1235252525
E ξ=⨯+⨯
+⨯=
……………………１２分 19、解：（Ⅰ）∵*
n N ∈时，n n n a S a -=22
，……………① 当2≥n 时，21112n n n a S a ---=-，………………②………………2分 由①－②得，22
111(2)(2)n n n n n n a a S a S a ----=---
即22
11n n n n a a a a ---=+，∵01>+-n n a a ∴)2(11≥=--n a a n n ，………………4分 由已知得，当1=n 时，2
1112a S a =-，∴11=a .………………５分
故数列}{n a 是首项为1，公差为1的等差数列.∴*
()N n a n n =∈. …………６分 （Ⅱ）∵*()N n a n n =∈，∴n n n n b 2)1(31
⋅-+=-λ,…………7分
∴1
1113
3(1)2(1)2n n n n n n n n b b λλ++-+-=-+-⋅--⋅1233(1)2n n n λ-=⨯-⋅-⋅.
要使得1n n b b +>恒成立,只须11
3
(1)()2n n λ---⋅<. …………８分
(1)当n 为奇数时,即1
3()2
n λ-<恒成立.又13()2n -的最小值为1,∴1λ<. ……9分
(2)当n 为偶数时,即1
3()2
n λ->-恒成立.又13()2n --的最大值为32-,∴32λ>-…１０分
∴由(1),(2)得3
12
λ-<<,又0λ≠且λ为整数,……………………１１分
∴1λ=-对所有的*
N n ∈,都有1n n b b +>成立. ………………１２分
20、解：（Ⅰ）由题意，椭圆的长轴长42=a ，得2=a ，…………2分 ∵点⎪⎭
⎫
⎝⎛23,1在椭圆上，∴
149
412=+b
得32=b ，…………４分 ∴椭圆的方程为13
42
2=+y x .………………6分 （Ⅱ）由直线l 与圆O 相切，得
112
=+k m ，即221k m +=，设()()2211,,,y x B y x A ，由
⎪⎩
⎪⎨
⎧+==+,,1342
2m kx y y x 消去y ，整理得(),01248432
22=-+++m kmx x k ………………8分 由题意可知圆O 在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，∴
22212
214312
4,438k m x x k km x x +-=⋅+-=+.
()()().43123438431242
222
2222
2212122121k k m m k km km k m k m x x km x x k m kx m kx y y +-=+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-++-⋅=+++⋅=++=⋅…………10分
∴,4312
1274312343124222222222121k k m k k m k m y y x x +--=+-++-=
+⋅………………11分 ∵2
2
1k m +=，∴2
2
21214355k
k y y x x +--=+⋅.………………１2分 ∵23-=⋅OB OA ，∴2343552
2-=+--k k ，212
=k ，得k 的值为2
2±.…………13分 21、解：（Ⅰ）将1-=x 代入切线方程得2-=y ， ∴21
1)1(-=+-=
-a
b f ，…………２分 化简得4-=-a b . 2
22)1(2)()1()(x x
b ax x a x f +⋅+-+='，……………４分
12
424)(22)1(-===-+=
-'b
b a b a f ，
解得：2,2-==b a .∴1
2
2)(2+-=x x x f . …………６分
（Ⅱ）由已知得12
2ln 2+-≥x x x 在),1[+∞上恒成立，
化简22ln )1(2-≥+x x x ，即022ln ln 2
≥+-+x x x x 在),1[+∞上恒成立.…………７分
设22ln ln )(2
+-+=x x x x x h ，21
ln 2)(-++='x
x x x x h ， …………８分 ∵1≥x ∴21
,
0ln 2≥+
≥x
x x x ，即0)(≥'x h ，…………９分 ∴)(x h 在),1[+∞上单调递增，0)1()(=≥h x h ，∴)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立 .…………１０分
（Ⅲ）∵b a <<0， ∴1b a >，由（Ⅱ）知有222
ln ()1
b b
a b a a
->+， ……12分
整理得222ln ln b a a a b a b +>--，∴当b
a <<0时，2
22ln ln b a a
a b a b +>--. …………14分。