数学建模 城市轻轨对城市发展的影响

城市轻轨对城市发展的影响
一、 摘要
本文研究有关城市轻轨对城市影响力的问题。

模型采用投入——产出模型模型的核心思想，以年份与GDP 的对数值的二次相关关系和合肥市社会固定资产总投入与GDP 的对数值的线性关系，利用合肥统计年鉴发布的数据，分别建立无轻轨影响的表达式，与有轻轨
影响的表达式Q 2 = e
6.5188-0.0033*x3n*x3n+0.2495*x3n-0.0000*x4n
，两式的预测误差均在3%以内。

与2009年真实值比较，用表达式1Q 预测2008年的GDP 的值可以得出城市轻轨对2009年合肥市经济贡献率达到23.9%。

并且在得知轻轨建设后第i 年合肥市固定投入总额的前提下由%1002
1
2⨯-=
Q Q Q η可求出城市轻轨对合肥地区经济的持续性积极影响。

如假设2014年合肥市固定资产总投资为2459.31亿元，则城市轻轨对合肥经济有16%的积极影响。

关键词:投入——产出模型、层次分析、主成分分析、影响力系数
二、 问题重述
2.1问题背景：
城市轻轨是城市轨道建设的一种重要形式，也是当今世界上发展最为迅猛的轨道交通形式。

近年来，随着中国城市化步伐的加快，我国重庆、上海、北京等城市纷纷兴建城市轻轨。

一时间，轻轨成为都市人的时髦话题。

那么，这些正在建设轻轨的城市是否会从轻轨得到真正的利益？又有多大的效益呢？我们不妨通过建立数学模型的方式初步分析一下。

2.1问题提出
请用数学建模的方法实现城市轻轨对一个城市发展的影响的初步分析
三、 问题分析
1、 确定数据内容
影响力是一个不可直接用数据描述的宽泛的概念。

我们不妨把研究对象的影响转化为具体的经济产值（即该市的国民生产总值）来具体分析。

我们利用数学建模的方法对其进行定性与定量的分析。

通过两种不同的思路，分别建立模型。

一是通过未建设轻轨所带来的GDP 与建立轻轨后的GDP 进行对比，建立一套投入-产出模型，得出影响力的一个参考系数。

2、 确定研究对象
由于在近几年背景申办并举办奥运会；上海申办并举办世界博览会，对城市发展所造成的影响是巨大的。

为尽量排除这些因素的影响我们选择在轻轨建设前后14年的时间里没有发生过明显影响GDP 增长速率的事件的合肥市来做研究。

所以，我们最终对合肥市1995年到2009年的GDP 增长率在2005年前后的变化进行影响力的分析。

四、 符号假设
Q 1 其中1Q 为从1997年起第n x 1年的合肥市GDP 总量
n x 1 表示从2001年起第n 年
n x 2 为从2001年起第n x 1年的合肥市固定投入总量
Q 2 为从2005年起第x 3n 年的合肥市GDP 总量
X 3n 为从2005年起第n 年
x 4n 为从2005年起第x 3n 年的合肥市固定投入总量
五、 数学模型的建立与求解
本模型中，先以合肥是不申请建设轻轨为假设，建立出一套投入产出模型后，在此前提下预计出 09年合肥市GDP 总额，与09年合肥实际GDP 总额进行对比，从而可得到轻轨对城市的影响力。

同时，以该模型为基础，可以分别算出轻轨建成后第n 年后，是否举办世博会对该地区所产生的持续性影响。

5.1 数据分析
从网上数据库或其他资料上，可以统计得到自1995到2009年合肥的GDP 和固定资产投资总额的相关数据，利用MATLAB 对数据做线性、二次线性关系或指数关系分析，如下：
合肥市1995年到2009年固定资产投资总额及GDP 统计表如下
2005 853.57 495.27 2006 1073.76 816.78 2007 1334.61 1310.43 2008 1664.84 1479.18 2009 2102.1 1927.40
（数据来源：中国知网链接：/kns55/index.aspx）
由以上数据经过初步处理后，可得出以下结论
进入01年代后合肥GDP的呈指数型增长
GDP总量的对数值可以认为与与时间增长有着2次性关系
GDP 总量的对数值与投入资本呈一次线性关系
为了使得出结果更有代表性我们截取（轻轨申办成功前）2001年至2006年的数据 年份 2001 2002 2003 2004 2005 2006 固定投入（亿元） 124.36 152.57 244.57 361.48 495.27 816.78 GDP 总量（亿
元）
363.44
412.81
484.96
589.70
853.57
1073.76
5.2 建立模型
根据上述结论，建立GDP 总量与时间、投入关系的投入产出函数模型。

n
n n x x x c e
Q 212
11γβα+++=
其中Q1为从2001年起第x1n 年的合肥市GDP 总量
其中x2n 为从2001年起第x1n 年的合肥市固定投入总量
5.3 模型求解
将等式两边取对数，变形为
n n n x x x c Q 212
11ln γβα+++=
即将问题转化为一个二元二次回归问题
在MATLAB 求解过程中，取前五组数据解得投入与产出模型的解：
Q 1 =e
6.1644+0.0803*x1n*x1n-0.0317*x1n-0.0026*x2n
在不申办建设轻轨的假设下，我们对2009年合肥GDP 总量进行预测(即把2009年的相关数据代入下式)
Q 1= e
6.1644+0.0803*x1n*x1n-0.0317*x1n-0.0026*x2n
=1599.10（亿元）
再与申建轻轨开始建设后合肥市2009年实际GDP 总量2102.10亿元进行对比
η =(2102.10-1599.10)/2102.10=23.93%
即可以认为在2009年轻轨申办成功并开始建设对合肥市GDP 存在23.93%的正面影响作用。

再以上述模型为基础，建立合肥申办并开始建设轻轨的前提下的投入产出模型
截取（轻轨申办成功时）2005年至2009年的数据表
Q2为从2005年起第x3n 年的合肥市GDP 总量
其中x4n 为从2005年起第x3n 年的合肥市固定投入总量
Q2= e
6.5188-0.0033*x3n*x3n+0.2495*x3n-0.0000*x4n
5.4 模型检验：
将第六组固定资产投入带入后进行检验，可得2009年的GDP 预测总量为：
2172.90亿元，与实际值比较，误差为3%，符合误差要求。

因此在已知第n 年合肥固定投入总额的前提下
由η=（Q2-Q1）/Q1*100% η 是轻轨对合肥经济增长率影响率
可以得出合肥轻轨建成后后，投入使用后对合肥地区的持续性影响。

如：假设2014合肥市固定投资为2459.31亿元，计算得：η=16%
则2014年时，合肥轻轨对合肥经济有16% 的积极影响。

六、模型的评价与推广
6.1 模型的优点：
1）、模型重点考虑轻轨对经济的影响，从轻轨建设申请的合肥经济发展状况与申请成功之后合肥经济发展状况的角度，采用层层递进以及图像拟合的方法，最终找出了上海市GDP的对数值与年份和社会固定投资的二元二次关系。

2）、我们利用建立的数学模型对2009年合肥市经济进行预测，发现误差率为3%，可以说明模型是可以用来预测2010年合肥市GDP的。

3）、合肥市自从2006年得到城市轻轨的建设权，经济开始突增，所以建立两个表达式，用表达式一模拟2005年到2009年GDP，来和实际GDP进行比较，凸显世博会所带来的前期经济效益。

思路清晰明了，简单易行。

6.2模型的不足
以经济为第一突破口，只考虑时间与社会固定投资与GDP的关系，考虑因素过于狭隘，容易产生误差。

另外，由于影响经济的因素千变万化，我们无法对其利用此模型进行长远预测，只能大致看出未来轻轨对合肥经济发展的影响。

6.3 模型的推广
由于建设合肥轻轨是一项投资，投资即有风险。

可以预测一下合肥会投资失误或者遭遇其他突变的几率，乘以其所可能带负面影响的减分系数，最后加入到影响力综合评估中，使得结果更为完善。

通过对工业上的投入产出模型进行分析，发现引入生产效率、人力投入、资本和劳力的产出弹性等众多因素与上海市GDP的相关关系,具有可行性。

可仿照此模型通过对文化消费指数的变化规律进行研究从而进行对轻轨对合肥文化方面的影响的评估。