高中数学必修第一册人教A版4.1《指数》能力探究课件

−
−



+



+ +
= .


=

.



−
− × .

×
=


−
简单问题解决能力
解决条件求值问题的方法
1.对于条件求值问题,一般先化简代数式,再将字母取值代入求值.但有时字母
的取值未知或不易求出,这时可将所求代数式恰当地变形,构造出与已知条件
相同或类似的结构,从而通过“整体代入法”奇妙地求出代数式的值.
处理、变形,以创造运用公式和幂的有关性质的条件,然后进行化简、求值即
可;其次,要注意方程思想、整体代入思想、化归与转化思想、换元思想等数
学思想方法的运用.
(1)换元法:运用换元法使公式的使用更清楚,过程更简洁.所以在解题时先审题,
比较各种思路的优劣,然后动手做题,养成良好的思维习惯.
综合问题解决能力






=+ −

+
−

−

+



=


= + +
(3)原式= . − − + (−)− + − + . =
(4)原式=





×
− − = −.
− ( ×
)−
−

.

×(−.)
+




−+
×
解析 (3)原式= ( 3)2 + 2 3 × 2 + ( 2)2 + 22 − 2 × 2 3 + ( 3)2 −
22
−2×2× 2+(
(2 −
2)2
−
4
2)2
−
4
(1 − 2)4 =
( 3 + 2)2 + (2 − 3)2 −
(1 − 2)4 = | 3 + 2| + |2 − 3| − |2 − 2| − |1 − 2| =
(2)代换法:对于某些实数指数幂的求值问题,不需要将未知数一一求出来(有时
也根本求不出来),此时就需要认真分析已知式和所求式的结构特征,通过变形
并结合乘法公式把它们联系起来,然后用“整体代换”或“先求值后代换”的方
法求值,常用的变形公式有: =



,

−
±
= ± + − .
人教A版同步教材名师课件
指数
---能力探究
概括理解能力、分析计算能力
根式的化简
1.在进行幂和根式的化简时,一般是先将根式化成幂的情势,并化小数指数幂
为分数指数幂,再利用幂的运算性质进行化简、求值、计算,以到达化繁为简
的目的.
对于根式的计算结果,并不强求统一的表示情势,一般用分数指数幂的情势来
表示.若有特殊要求,则按要求给出结果,但结果中不能同时含有根式和分数指
+−
+−
,求 − 的值.
+
+
−
= +
=



+
−
൫
−= −+
−
+−
−
+ ൯,则 −
+

−
−
= − .
=
综合问题解决能力
解决有关幂的综合问题的常用方法
解决有关幂的综合问题时,第一要善于视察、分析,并对它进行适当地加工、
−




−
−


=−

.

(6) + − = + − + − − .
(7) − − = − − + − + .


−


−
(8) + − = +
(9) − − = −




−


−
+
+

;



+ −. + | − . | ;

− −. +
−
−




− × . .
典型例题
解析 本题主要考查根据指数幂的运算性质和运算顺序解答问题.具体解题过程如下:


(1)原式= + ×
(2)原式=









+
.
−
(3)对于指数幂等式的证明问题,常常是将指数幂化为同底,利用指数幂相等的
规律进行证明.解决此类问题的关键是通过指数运算进行等价代换,以及利用
参数找到已知与结论的联系,这样才能使问题迅速得到解决.
典型例题
逻辑推理、数学运算
典例4 (202X江西九江调考)设,为不等于1的正数,并且实数, , 满足关系
∴( + )( − ) = ,由 > , > 得 + > ,
∴ − = , ∴ = , ∴
−
+
=
−
+
=

.

典型例题
数学运算、逻辑推理
典例3
解析
(2)若

= −
+ −
=

+− −+−

−


⋅ ( >0).
分析计算能力
2.指数幂运算的常用技能
(1)有括号先算括号里面的,没有括号先进行指数运算.
(2)负指数幂化为正指数幂的倒数.
(3)底数是小数,一般要化成分数;底数是带分数,要先化成假分数,然后要尽可
能用幂的情势表示,便于用指数幂的运算性质.
分析计算能力
3.常用指数幂的变换技能


= ,②
= ,
∴=

−
,∴
−
=


,∴

= , ∴ = () .
典型例题
逻辑推理、数学运算
典例4 (202X江西九江调考)设,为不等于1的正数,并且实数, , 满足关系

式



+ =
解析

.求证:(1)若

= ,则 = () ;(2)若 = () ,则 = () .
已知幂
目标指数
变换技能
典型例题
数学运算



典例2 计算下列各式的值.(1)
(2)
.


(3).
(4)



+ − ×

+ . −源自−
−
+

−

− ×
−



− +

+
−

(−)
−



−


− . . ;

式



+ =

.求证:(1)若

= ,则 = () ;(2)若 = () ,则 = () .
解析 本题是指数幂的综合问题,掌握指数幂的性质并运用是解题的关键.具体解题过程
如下:

(1)由ቐ




=
,①
+ = ,

−

得൝
将①代入②,得 = − ,
0, ⩾ ,
∴原式= ቊ
2( − ), < .

( − ) .
典型例题
数学运算、数学抽象
典例1 计算下列各式的值:(1)

( −
) ;(3)



+


−


− . ;(2) − + +
+ + − − − −

( − ) .

何实数.
(3)对于形如 ± ( > , > )的双重根式,当满足 > > , +
= , = 时,有 ± = ± .
典型例题
数学运算、数学抽象
典例1 计算下列各式的值:(1)

( −
) ;(3)



+


−


− . ;(2) − + +
2.利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下( > , > ):


(1) +
(3) +

−

−
=+

= +




+ .(2) −



−
+ .(4) −

−
=+



= +
− .


− .
简单问题解决能力


(5) +

+


−


− . ;(2) − + +
+ + − − − −
( − )2 + − = | − | + − .
当 ⩾ 时,原式= − + − = 0;
当 < 时,原式= − + − = 2( − ).
3 + 2 + 2 − 3 − (2 − 2) − ( 2 − 1) = 2 + 1.
分析计算能力
指数幂的化简与运算技能
1.化简指数幂的几个常用技能
(1)
−

=
(2) =







≠ , ∈ ∗ .
, =



(式子有意义).
(3)1的代换,如 = ⋅ − ( ≠ ), =
数幂.也不能既有分母又含有负指数幂.
概括理解能力、分析计算能力
2.根式的化简思想和注意点
(1)将根式有理化,利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和公式、
立方差公式等),将所求代数式恰当地变形,到达化繁为简的目的.

(2)在根式计算中,含有 (为正偶数)的情势要求 ⩾ ,而 中可以是任
+ + − − − −

解析 理解根式的意义是化简各式的关键,具体解题过程如下:
(1)原式=


+


−

−











= − − = .
( − ) .
典型例题
数学运算、数学抽象
典例1 计算下列各式的值:(1)

( −
解析
) ;(3)
(2)原式=




− .
+ .
典型例题
数学运算、逻辑推理
典例3 (1)(202X湖北荆州二中高一月考)若 > , > ,且 − − = ,
−
则
的值为多少?
+
解析 要求代数式的值,先化简再代入,注意应用公式.具体解题过程如下:
∵ − − = , > , > ,∴( ) − − ( ) = ,






(2)由 = () ,得 = () = ⋅ .




∵ + =




,∴




=

− ,


−

由 = ⋅ ,得


=

− .



−
= ,即 =


, ∴ = − .两边同乘 ,得 = () .