高考填选真题(理科)

历年高考填选最后一题
10.从双曲线
的左焦点
引圆
的切线，
切点为T,延长FT 交双曲线右支于点P,O 为坐标原点，M 为PF 的中点，则
与的大小关系为 ( B ) ． A ．MO MT b a ->- B ．MO MT b a -=- C ．MO MT b a -<- D ．.不能确定
解：将点P 置于第一象限．
设F 1是双曲线的右焦点，连接PF 1．
∵M 、O 分别为FP 、FF 1的中点，∴|MO|=12|PF 1|． 又由双曲线定义得， |PF|-|PF 1|=2a ，
|FT|=|OF|2-|OT|2=b ． 故|MO|-|MT|
=12|PF1|-|MF|+|FT| =12（|PF 1|-|PF|）+|FT| =b-a ．
10．定义：离心率21
5-=
e 的椭圆为“黄金椭圆”，已知E ：12222=+b
y a x （0>>b a ）的一个焦点为F （c ，0）（c ＞0），则E 为“黄金椭圆”是a ，b ，c 成等比数列的（ B ）
A ．既不充分也不必要条件
B ．充分且必要条件
C ．充分不必要条件
D ．必要不充分条件
解：对于黄金椭圆有c=a•e=a•5-12，b 2=a 2-c 2=a 2•5-12=a•c ，所以黄金椭圆的a ．b ．c 必成等比数列，如果a ．b ．c 成等比数列，所以b 2=a 2-c 2=a•c ，e 2+e-1=0，解得，e=5-12，所以椭圆是黄金椭圆； 所以E 为“黄金椭圆”是a ，b ，c 成等比数列的充分且必要条件．
10、已知点P 是曲线上一动点，为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则的最
小值是（C ） A ．0
B ．
C ．
D ．
15．“点动成线，线动成面，面动成体”。

如图，x 轴上有一条单位长度的线段AB ，沿着与
其垂直的y 轴方向平移一个单位长度，线段扫过的区域形成一个二维方体（正方形
ABCD ），再把正方形沿着与其所在的平面垂直的z 轴方向平移一个单位长度，则正方
形扫过的区域形成一个三维方体（正方体1111ABCD A BC D -）。

请你设想存在四维空间，将正方体向第四个维度平移得到四维方体，若一个四维方体有m 个顶点，n 条棱，p 个面，则,,m n p 的值分别为 ▲ ．
15．16,32,24
1
3+-=
x x e e y α∠α∠4
π
4
3π3
2π
解：依题意，线段AB 平移到CD 位置后，可形成正方形ABCD ，它有四个顶点、四条棱（边）、一个面； 正方形ABCD 平移到正方形A1B1C1D1位置后，可形成正方体ABCD-A1B1C1D1，它有8个顶点、12条棱、6个面；
把正方体ABCD-A1B1C1D1沿着与x 轴、y 轴、z 轴都垂直的第四维方向进行平移得到四维方体后， 原来的8个顶点在平移后形成新的8个顶点，所以四维方体就共有8+8=16个顶点； 原先的8个顶点在平移的过程又形成新的8条棱，所以四维方体就共有12+12+8=32条棱； 正方体的12条棱在平移的过程都会形成一个新的面，
∴四维方体就共有6+6+12=24个面；正方体的6个面在平移的过程中又各会形成一个正方体， ∴四维方体中就包含有1+1+6=8个正方体． 故答案为：16；32；24
15．各数互不相等的正数数组()n i i i ,,,21 （n 是不小于2的正整数），如果在q p <时有
q p i i >，则称p i 与q i 是该数组的一个“逆序”
，一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序数”。

例如，数组()1,3,4,2中有逆序“2，1”，“4，3”，“4，1”，“3，1”，其“逆序数”等于4。

若各数互不相等的正数数组()654321,,,,,a a a a a a 的“逆序数”是2，则()123456,,,,,a a a a a a 的“逆序数”是___________. 15．13
解：根据题意，各数互不相等的正数数组（a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6）的“逆序数”是2，
从6个数字中任选2个共有15种组合， ∵（a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6）的“逆序数”是2，
∴（a 6，a 5，a 4，a 3，a 2，a 1）的“逆序数”是所有组合数减去2， 共有15-2=13种结果， 故答案为：13
15、已知函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围为_________．15. [1，＋∞) （或）
10．若向量)2,1,2(),2,,1(-==b a
λ，且a 与b 的夹角余弦值为98，则λ等于D
A ．2
B ．2-
C ．2或552-
D ． 2-或55
2
14．椭圆
的焦点为 和 ，点P 在椭圆上，如果线段 的中点在 y 轴上，那么 是 的___7__倍。

x x mx x f 2ln 2
1
)(2-+=
m 1≥
m 22
1123
x y +=1F 2F 1PF 1PF 2PF
2011安徽（10）函数n m x ax x f )1()(-=在区间[0,1]上的图像如图所示，则m,n 的值可能是
B
(A) m=1,n=1
(B) m=1,n=2
(C) m=2,n=1
(D) m=3,n=1
（15）在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x,y)为整点。

下列命题中正确的是 ①③⑤ .（写出所有正确的编号）。

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y=kx+b 不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点
④直线y=kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线
2011北京8．设()0,0A ,()4,0B ，()4,4C t +,()(),4D t t R ∈.记()N t 为平行四边形ABCD
内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为C A ．{}9,10,11 B ．{}9,10,12
C ．{}9,11,12
D ．{}10,11,12
解：当t=0时，▱ABCD 的四个项点是A （0，0），B （4，0），C （4，4），D （0，4），
符合条件的点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），共九个，N （t ）=9，故选项D 不正确．
当t=1时，▱ABCD 的四个项点是A （0，0），B （4，0），C （5，4），D （1，4）， 同理知N （t ）=12，故选项A 不正确．
当t=2时，▱ABCD 的四个项点是A （0，0），B （4，0），C （6，4），D （2，4）， 同理知N （t ）=11，故选项B 不正确．
故选C ．
14．曲线C 是平面内与两个定点F1（-1，0）和F¬2（1，0）的距离的积等于常数)
1(2
>a a 的点的轨迹.给出下列三个结论：②③ ① 曲线C 过坐标原点；
② 曲线C 关于坐标原点对称；
③若点P 在曲线C 上，则△F 1PF 2的面积大于
2
1a 2。

其中，所有正确结论的序号是 。

2011福建10.已知函数f(x)=e+x ，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C ，给出以下判断：
①△ABC 一定是钝角三角形 ②△ABC 可能是直角三角形 ③△ABC 可能是等腰三角形 ④△ABC 不可能是等腰三角形 其中，正确的判断是
A.①③
B.①④
C. ②③
D.②④
解：由于函数f （x ）=e x +x ，对于曲线y=f （x ）上横坐标成等差数列的三个点A ，B ，C ，且横坐标依次增大
由于此函数是一个单调递增的函数，故由A 到B 的变化率要小于由B 到C 的变化率．可得出角ABC 一定是钝角故①对，②错．
由于由A 到B 的变化率要小于由B 到C 的变化率，由两点间距离公式可以得出AB ＜BC ，故三角形不可能是等腰三角形，由此得出③不对，④对． 故选B ．
15.设V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f V R →满足：对任意向量
1122(,),(,),a x y V b x y V =∈=∈以及任意λ∈R ，均有
((1))()(1)(),a b a b λλλλ=-=⎰+-⎰⎰
则称映射f 具有性质P 。

先给出如下映射：
其中，具有性质P 的映射的序号为________。

（写出所有具有性质P 的映射的序号）
2011广东8.设S 是整数集Z 的非空子集，如果有，则称S 关于数的乘法是封闭的. 若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集，且
有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有，则下列结论恒成立的是
A. 中至少有一个关于乘法是封闭的
B. 中至多有一个关于乘法是封闭的
C. 中有且只有一个关于乘法是封闭的
D. 中每一个关于乘法都是封闭的
解：若T 为奇数集，V 为偶数集，满足题意，此时T 与V 关于乘法都是封闭的，排除B 、C ； 若T 为负整数集，V 为非负整数集，也满足题意，此时只有V 关于乘法是封闭的，排除D ； 从而可得T ，V 中至少有一个关于乘法是封闭的，A 正确
13. 某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 和182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm.
解：设X 表示父亲的身高，Y 表示儿子的身高则Y 随X 的变化情况如下；建立这种线性模型： X 173 170 176 182 Y 170 176 182？
,,a b S ∀∈ab S ∈,T U Z ⋃=,,,a b c T ∀∈xyz V ∈,T V ,T V ,T V ,T V
用线性回归公式， 求解得线性回归方程y=x+3 当x=182时，y=185 故答案为：185
2011湖北10．放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，
这种现象称为衰变。

假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太
贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：，其中M 0为t=0时铯137
的含量。

已知t=30时，铯137含量的变化率是-10In2（太贝克／年），则M （60）= A ．5太贝克 B ．75In2太贝克
C ．150In2太贝克
D ．150太贝克
15．给个自上而下相连的正方形着黑色或白色。

当时，在所有不同的着色方案中，
黑色正方形互不相．．．邻．
的着色方案如下图所示：
由此推断，当时，黑色正方形互不相．．．邻．的着色方案共有 种，至少有两个黑色正方形相．邻．
的着色方案共有 种，（结果用数值表示） 解：由题意知当n=1时，有2种，
当n=2时，有3种， 当n=3时，有2+3=5种， 当n=4时，有3+5=8种， 当n=5时，有5+8=13种， 当n=6时，有8+13=21种，
当n=6时，黑色和白色的小正方形共有26种涂法， 黑色正方形互不相邻的着色方案共有21种结果，
∴至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有64-21=43种结果， 故答案为：21；43
30
0()2t M t M -
=n 4n
≤6n =
2011湖南8.设直线x t =与函数2(),()ln f x x g x x ==的图像分别交于点,M N ，则当
||MN 达到最小时t 的值为（ ）
A ．1
B ．12
C
D 答案：D
解析：由题2||ln MN x x =-，(0)x >不妨令2()ln h x x x =-，则1
'()2h x x x
=-
，令
'()0h x =解得2x =
，因2x ∈时，'()0h x <，当(,)2
x ∈+∞时，'()0h x >，
所以当2
x =
时，||MN 达到最小。

即2t =。

11.如图2，,A E 是半圆周上的两个三等分点，直径4BC =，
AD BC ⊥,垂足为D, BE 与AD 相交与点F ，则AF 的长为 。

解析：由题可知，60AOB EOC ∠=∠=︒，2OA OB ==,得1OD BD ==,DF =
，
又2
3AD BD CD =⋅=，所以AF AD DF =-=
2011江西10．如右图，一个直径为l 的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方
向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小 圆这样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大 致是
14．若椭圆
22
22
1
x y
a b
+=的焦点在x轴上，过点（1，
1
2
）作圆22
+=1
x y的切线，切点分别
为A,B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是
2011全国12．设向量a，b，c满足a=b=1，a b =
1
2
-，,
a c
b c
--=0
60，则c的最
大值等于
A．2 B C D．1 解：∵|a⇀|=|b⇀|=1，a⇀•b⇀=-12
∴a→，b→的夹角为120°，
设OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→则CA→=a→-c→；CB→=b→-c→
如图所示
则∠AOB=120°；∠ACB=60°
∴∠AOB+∠ACO=180°
∴A ，O ，B ，C 四点共圆 ∵AB→=b→-a→
∴AB→2=b→2-2a→•b→+a→2=3 ∴AB=3
由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=ABsin ∠ACB=2 当OC 为直径时，模最大，最大为2 故选A
16．己知点E 、F 分别在正方体ABCD -A 1B 2C 3D 4的棱BB 1 、CC 1上，且B 1E =2EB, CF=2FC 1，则
面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 ．
2011山东12．设，，，是平面直角坐标系中两两不同的四点，若
（λ∈R ），（μ∈R ），且,则称，调和分割， ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点
C ．C ，
D 可能同时在线段AB 上
D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上
16．已知函数=当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数的
零点
.
1A 2A 3A 4A 1312A A A A λ=
1412
A A A A μ= 11
2λμ
+=3A 4A 1A 2
A f x （）log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且f x （）*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则
2011辽宁12．已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =3，
30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥S —ABC 的体积为
A ．33
B ．32
C ．3
D ．1
16．已知函数)(x f =A tan （ωx +ϕ）（2
||,0π
ϕω<
>），y =)(x f
的部分图像如下图，则=)24
(π
f ．
2011上海14、已知点、和，记的中点为，取和中的一条，记其端点为、，使之满足；记的中点为，取和中的一条，记其端点为、，使之满足；依次下去，得到点，则 。

18、设是各项为正数的无穷数列，是边长为的矩形面积（），则为等比数列的充要条件为〖答〗（ ） A 是等比数列。

B 或是等比数列。

C 和均是等比数列。

D 和均是等比数列，且公比相同。

2011四川
12.在集合中任取一个偶数
和一个奇数构成以原点为起点的向量.
从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为，其中面积不超过．．．的平行四边形的个数为
，则
(0,0)O 0(0,1)Q 0(3,1)R 00Q R 1P 01Q P 10PR 1Q 1R 11(||2)(||2)0OQ OR --<11Q R 2P 12Q P 21P R 2Q 2R 22(||2)(||2)0OQ OR --<12,,,,n P P P 0lim ||n n Q P
→∞
={}n a i A 1,i i a a +1,2,i = {}n A {}n a 1321,,,,n a a a - 242,,,,n a a a 1321,,,,n a a a - 242,,,,n a a a 1321,,,,n a a a - 242,,,,n a a a
{}1,2,3,4,5a b (,)a b α=n 4m m
n
=
（A ）
（B ） （C ） （D ）
答案：D
基本事件：其中面积为的平行
四边形的个数其中面积为的平行四边形的个数为
其中面积为的平行四边形的个数其中面积为的平行四边形的个数其中面积为的平行四边形的个数
；其中面积为的平行四边形的个数其中面积为的
平行四边形的个数其中面积为的平行四边形的个数 16.函数的定义域为A ，若时总有 为单函数.例如，函数=2x+1（）是单函数.下列命题： ① 函数=（x R ）是单函数；
② 若为单函数， ③ 若f ：A B 为单函数，则对于任意b B ，它至多有一个原象； ④ 函数f （x ）在某区间上具有单调性，则f
（x ）一定是单函数. 其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号） 答案：②③④
解析 ：①错，，②③④正确。

20114天津8．对实数
a 和
b ，定义运算“⊗”
：,1,,1
.aa
b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩ 设函数()()22()2,.f x x x x x R =-⊗-∈若函数()y f x
c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，
则实数c 的取值范围是
A ．(]3,21,2⎛
⎫-∞-⋃- ⎪⎝⎭
B ．(]3,21,4⎛⎫-∞-⋃--
⎪⎝⎭
C ．111,,44
⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．311,,44
⎛⎫⎡⎫--⋃+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭
4151325232
6(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3),3515n C ==⨯=由1(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1)2(2,3)(2,5);(2,1)(2,3)3(2,3)(4,3);(2,1)(4,5)4(2,1)(2,5);(4,1)(4,3);(4,3)(4,5)5(2,3),(4,1);(2,5)(4,5)7(2,5),(4,3)8(4,1)(4,5)9(2,5),(4,1)f x （）1212x x A f x =f x ∈，且（）（）
12x =x f x ，则称（）
f x （）x R ∈f x （）2
x ∈f x （）121212x x A x x f x f x ∈≠≠，且，则（）（）；→∈12x x =±
解：∵a ⊗b={a ，a-b≤1b ，a-b ＞1.，
∴函数f （x ）=（x 2-2）⊗（x-x 2）={x2-2，-1≤x≤32x -x2，x ＜-1或x ＞32， 由图可知，当c ∈(-∞，-2]∪(-1，-34) 函数f （x ） 与y=c 的图象有两个公共点， ∴c 的取值范围是 (-∞，-2]∪(-1，-34)， 故选B ．
14．已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,0
90ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的
动点，则3PA PB +
的最小值为____________.
2011重庆10．设m ，k 为整数，方程2
20mx kx -+=在区间（0,1）内有两个不同的根，
则m+k 的最小值为 A ．-8
B ．8
C ．12
D ．13
15．设圆C 位于抛物线2
2y x 与直线x=3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C 的半
径能取到的最大值为__________
当圆C 半径取最大值时，由对称性知，圆心C 应在x 轴上区间(0,3)内，且圆C 与直线x=3相切，
设此时圆心为(a,0)(0<a<3),则圆C 方程为(x-a)²+y²=(3-a)²‎,把y²=2x 代入其中得，(x-a)²+2x=(3-a)²‎, x²+2(1-a)x+6a-9=0,圆C 与抛物线相切，判别式△=[2(1-a)]²-4(6a-9)=0,(1-a)²-6a+9=0, a²-8a+10=0,a=(8-2√6)/2=4-√6,圆C 半径能取到的最大值为3-a=3-(4-√6)=√6-1。