【数学】山西省长治二中、晋城一中、康杰中学、临汾一中、忻州一中五校2017届高三第四次联考(理)

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山西省长治二中、晋城一中、康杰中学、临汾一中、
忻州一中五校2017届高三第四次联考（理）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.已知集合则等于 A. B. C. D.
2.设复数，若复数的虚部为，则等于 A. 1 B. C. 2 D.
3.若为第四象限角，则的值为 A.
B. C. D. 4.给出下列两个命题：
命题：若在边长为1的正方形ABCD 内任取一点M,则的概率为
. 命题：若函数，则在区间上的最小值为4. 那么，下列命题中为真命题的是
A. B. C. D. 5.执行下面的程序框图，则输出的等于 A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 6.的展开式
中的系数为 A. 3 B. C. 4 D. ()(){}
{}|5120|4,A x x x B x x =+-<=<A B (),4-∞1,25⎛⎫- ⎪⎝⎭()2,4()1,2,45⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
,z a i a R =+∈1z z +
4
5
a 1±2±2cos ,3θθ=
cos 4πθ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭2106+2210
6+2106-2210
6
-:p 1MA ≤4
π
q ()4f x x x =+
()f x 31,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
p q ∧p ⌝()p q ∧⌝()()p q ⌝∧⌝x (
)
3
3
217x x
x ⎛
⎫+-+ ⎪⎝
⎭3x 4-7-
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7.在平面直角坐标系中，动点P 关于轴的对称点为Q,且，已知点
，则
A. 为定值8
B.为定值4
C. 为定值2
D.不是定值 8.设，则函数的部分图象不可能使
9.一个直三棱柱的每条棱长都是，且每个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 A. B. C. D.
10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：今有刍童，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问：积几何？其意思是说：“今有底面为矩形的屋脊状楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈.问它的体积是多少？”已知一丈为10尺，现将该楔体的三视图给出如右图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该楔体的体积为
A. 5000立方尺
B. 5500立方尺
C. 6000立方尺
D. 6500立方尺
11.已知抛物线上一点到焦点的距离为6，P,Q 分别为抛物线C
与圆上的动点，当取得最小值时，向量在轴正方向上的投
影为 A.
B. C. D. xoy x 2OP OQ ⋅=
()()2,0,2,0A B -()2
PA PB -k R ∈()sin 6f x kx k π⎛⎫
=+
+ ⎪⎝
⎭
84π96π112π144π()2
:20C y px p =>()5,m ()2
2
:61M x y -+=PQ PQ
x 525-
251-21121
-211-
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12.定义在上的可导函数的导数为，且有，若
，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设函数，且，则.
14.设向量满足，则.
15.不等式组表示的平面区域为，直线将分成面积之比为1:4的两部分，则目标函数的最大值为.
16.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅锤平面内，已知飞机的高度为海拔15000m,速度为1000km/h,飞行员先看到山顶的仰角为，经过108s 后又看到山顶的仰角为，则山顶的海拔高度为 m.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）设等比数列的前项和为，.在等差数列
中， （1）求证：；
（2）求数列的前项和.
(),0-∞()f x ()f x '()()2
2xf x f x x '->()()()2
2015201510f m m f +-+->m ()2016,0-(),2017-∞-(),2016-∞-()2016,2015--()()
()2
lg lg 1f x x x x =---()02f x =0x =,a b 2,3a b a b ==+= 2a b +=
1020480y x y x y -≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
Ω()
1x a a =>Ωz ax y =+15
75
{}n a n n S 2
74213,2a a a a =={}n b 34155,.b a b a ==23n n S a =-()48n n b ⎧⎫⎪⎪
⎨⎬+⎪⎪⎩
⎭n n T
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18.（本题满分12分）
宝宝的健康成长是妈妈们最关心的问题，父母亲为婴儿选择什么品牌的奶粉一直以来都是育婴中的一个重要话题.为了解国产奶粉的知名度和消费者的信任度，某调查小组特别调查记录了某大型连锁超市2015年与2016年这两年销售量前5名的五个奶粉的销量（单位：罐），绘制出如下的管状图：
（1）根据给出的这两年销量的管状图，对该超市这两年品牌奶粉销量的前五强进行排名； （2）分别计算这5个品牌奶粉2016年所占总销量（仅指这5个品牌奶粉的总销量）的百分比（百分数精确到个位），并将数据填入如上饼状图中的括号内；
(3)试以（2）中的百分比为概率，若随机选取2名购买这5个品牌中任意1个品牌的消费者进行采访，记X 为被采访者中购买飞鹤奶粉的人数，求X 的分布列和数学期望.
19.（本题满分12分）在四棱锥中，底面，平分
为的中点，分别为上一点，且
（1）求的值，使得平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
P ABCE -PA ⊥ABCE ,CD AE AC ⊥,BAD G ∠PC 2,,3,23,,PA AD BC DE AB CD F M =====,BC EG //.AF CD ME MG
//CM AFG CE AFG
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20.（本题满分12分）已知A,B 分别为椭圆在轴正半轴，
轴正半轴上的顶点，原点O 到直线AB 的距离为
，且 （1）求椭圆C 的离心率；
（2）直线与圆相切，并与椭圆C 交于M,N 两点，求的取值范围.
21.（本题满分12分）设函数
（1）若曲线在点处的切线的方程，并证明：除点A 外， 曲线都在直线的下方；
（2）若函数在区间上有零点，求的取值范围.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分； 作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。

22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），点为坐标
为
（1）试判断曲线C 的形状为何种圆锥曲线；
（2）已知直线过点P 且与曲线C 交于A,B 两点，若直线的倾斜角为，求()22
22:10x y C a b a b
+=>>x y 221
7
7.AB =():12l y kx m k =+-≤≤222x y +=MN ()()ln .f x x ax a R =-∈()y f x =()()
1,1A f L ()y f x =L ()()x
h x e f x =+()1,3a xoy C 5cos sin x y θ
θ
=⎧⎨=⎩θP ()
32,0l l 45
PA PB
⋅
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的值.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数不等式的解集为P. （1）若不等式的解集为Q,求证：; （2）若，且，求证：
.
()211,f x x =-+()2f x <21x -<P Q =∅ 1m >n P ∈11m n
mn
+>+
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