2019届上海市上海中学高三下学期开学摸底数学试题(解析版)

2019届上海市上海中学高三下学期开学摸底数学试题
一、单选题
1．设,a R i ∈是虚数单位，则“1a =”是“a i
a i
+-为纯虚数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】试题分析：22222()()1212()()111a i a i a i a ai a a i a i a i a i a a a +++-+-===+--++++，∵a i
a i
+-为纯虚数，
∴221
01
a a -=+且2
201a a ≠+，∴1a =±，∴“1a =”是“a i a i +-为纯虚数”的充分不必要条件． 【考点】充分必要条件、复数的运算、纯虚数的概念． 2．将函数sin(2)3y x π
=-
图象上的点(,)4
P t π
向左平移s （0s >） 个单位长度得到
点P'，若P'位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ） A ．12
t =
，s 的最小值为6π
B ．3t =
，s
的最小值为6π
C ．12
t =
，s 的最小值为3π
D ．3t =
，s
的最小值为3π
【答案】A 【解析】【详解】 由题意得，1
sin(2)432
t π
π=⨯
-=， 可得，
因为
P'位于函数sin 2y x =的图象上
所以
，
可得，
s 的最小值为，故选A.
【名师点睛】
三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.
3．对任意实数,a b 定义运算“⊗”：,1,1b a b a b a a b -≥⎧⊗=⎨-<⎩
，设()2
1()(4)f x x x =⊗+-，
若函数()y f x k =+ 恰有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(2,1)- B ．[0,1]
C ．[2,0)-
D ．[2,1)-
【答案】D
【解析】由题意可得2
4,(,2][3,)
()1,
(2,3)x x f x x x +∈-∞-⋃+∞⎧=⎨-∈-⎩，画图f(0)=-1,f(-2)=2,由图可知，12,21k k -<-≤-≤<，选D.
【点睛】对于函数零点问题，对于能分离参数的题型，我们一般分离参数，如本题-k=f(x),所以只需画出函数y=f(x)与y=-k 的图像，两图像有几个交点，就有几个零点。

当然，要求两个函数的图像非常好画。

4．已知集合{
}22
(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈，{}
(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为（ ） A ．77 B ．49
C ．45
D ．30
【答案】C
【解析】因为集合{
}
22
(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈，所以集合
中有5个元素（即5
个点），即图中圆中的整点，集合{}
(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈中有25个元素（即25个点）：即图中正方形
中的整点，集合
{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈的元素可看作正方形
中的整点（除去四个顶点），即
个．
【考点】1．集合的相关知识，2．新定义题型． 【详解】
请在此输入详解！
二、填空题
5．设集合{}
|31,A x x k k N ==+∈，{}|5,B x x x Q =≤∈，则A B =I ______. 【答案】{}1,2,4,5
【解析】315,k k N +≤∈的k 的取值范围，从而可求得A B I . 【详解】
因为{}|5,B x x x Q =≤∈
315,k k N +≤∈得08,k k N ≤≤∈
由题：{
}{}
|8,x x k k N =≤≤∈= 所以A B =I {}1,2,4,5 故答案为：{}1,2,4,5 【点睛】
此题考查求集合的交集运算，关键在于准确识别每个集合中元素的特征和限制条件，准确计算得解.
6．在平面直角坐标系中，抛物线22y x =的焦点到准线的距离是______. 【答案】
14
【解析】写出抛物线2
2y x =的标准方程，即可得到焦点到准线的距离.
【详解】
抛物线2
2y x =的标准方程为2
12x y =
，焦点10,8F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，准线18y =-，
所以焦点到准线的距离是1
4
. 故答案为：14
【点睛】
此题考查根据抛物线的方程求焦点到准线的距离，关键在于准确写出抛物线的标准方程，写出焦点坐标和准线方程.
7．抽样统计甲，乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：
则空气质量指数(AQI)较为稳定(方差较小)的城市为 （填甲或乙）． 【答案】乙
【解析】试题分析：甲的平均值为1109111132118110
1165
x ++++==，乙的平均
值为2110111115132112
5
x ++++=
116=，甲的方差为
2222221
[(109116)(111116)(132116)(118116)(110116)]
5
s =-+-+-+-+-甲74=，同理得乙的方差为266.8s
=乙2s <甲.
【考点】方差.
8．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，236n n S S +-=，则
． 【答案】8.
【解析】试题分析：根据等差数列的前项和公式知，
，由236n n S S +-=得，
，解之得
.
【考点】等差数列的前项和公式.
9．已知正实数x ，y 满足24xy x y ++=，则x + y 的最小值为 【答案】263
【解析】试题分析：因为,x y 为正实数,且24xy x y ++=，设0x y k +=>，则
y k x =-代入已知式得
()240x k x x k x -++--=，整理得2(1)40x k x k -+-+=，关于x 的方程有解，
所以
2[(1)]4(4)0k k ∆=-+-⨯-≥，解之得：326k ≤--或263k ≥，
又因为0k >，所以263k ≥，即x y +的最小值为263． 【考点】方程与不等式． 10．若函数()6,2
3log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨
+>⎩
（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的
取值范围是__________． 【答案】(]
1,2
【解析】试题分析：由于函数()()6,2
{0,13log ,2
a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，
故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以
log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥⇒<<，所以实数a 的取值范围12a <≤.
【考点】对数函数的性质及函数的值域.
【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当2x >时，由()4f x ≥，得
log 1a x ≥，即log 21a ≥，即可求解实数a 的取值范围.
11．设正三棱锥侧棱长为1，底面三角形的边长为2．现从正三棱锥的6条棱中随机选取2条，这两条棱互相垂直的概率为________． 【答案】
【解析】从正三棱锥的6条棱中随机选取2条，有15种选法，因为正三棱锥侧棱长为12，易知其中两条棱互相垂直的选法共有6种，所以所求概率为
25
12．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 的直线上的投影，由区域
200
340x x y x y -≤⎧⎪
+≥⎨⎪-+≥⎩
中的点在直线20x y +-=上的投影构成的线段记为AB ，则AB =_____．
【答案】32【解析】作出不等式组对应的平面区域,利用投影的定义,确定投影构成的线段AB ,求解即可． 【详解】
作出不等式组200340x x y x y -≤⎧⎪
+≥⎨⎪-+≥⎩
对应的平面区域如图：（阴影部分），
区域内的点在直线20x y +-=上的投影构
成线段R Q ''，即AB ，而R Q RQ ''=，
由340
x y x y -+=⎧⎨
+=⎩,得()1,1Q -，
由2
0x x y =⎧⎨
+=⎩
,即()2,2R -， 则22||||(12)(12)32AB QR ==--++=， 故答案为：32．
【点睛】
本题考查线性规划中可行域,以及点在线上的投影,解题关键要领会题意,用数行结合思想解决问题,属于中档题.
13．在ABC ∆中，已知角A 是锐角，且2
2
sin sin sin 4sin sin B C A B C m +⎛⎫== ⎪
⎝⎭
，则实数m 的取值范围是______. 【答案】66
2,2⎛- ⎝⎭⎝U 【解析】根据正弦定理得()2
24b c m bc
+=
，角A 是锐角，由余弦定理：
2220cos 12b c a A bc +-<=<，化简得()2
68b c bc
+<<，即可得解.
【详解】
由题：2
2
sin sin sin 4sin sin B C A B C m +⎛⎫== ⎪
⎝⎭
，根据正弦定理可得：
224b c a bc m +⎛⎫== ⎪
⎝⎭，所以()2
24b c m bc
+=
角A 是锐角，由余弦定理：222
0cos 12b c a A bc
+-<=<，
即224012b c bc bc
+-<<，2246bc b c bc <+<，()2
68bc b c bc <+<
()2
68b c bc
+<
<，
所以2648m <<，即23
22
m <<， 即66
2,,2m ⎛⎫⎛⎫∈--
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝U 故答案为：66
2,,2⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝U
【点睛】
此题考查利用正余弦定理求解与三角形有关的参数取值范围，利用正弦定理进行边角互化，利用等价转化的思想求解范围.
14．已知点P 是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>左支上一点，12,F F 是双曲线的左右
焦点，且双曲线的一条渐近线恰是线段2PF 的中垂线，则该双曲线的离心率是______ . 【答案】5
【解析】根据题意得21PF PF ⊥，通过斜率以及直角三角形关系建立等量关系，结合双曲线的定义求解离心率. 【详解】
由题：双曲线的一条渐近线恰是线段2PF 的中垂线，O 是12F F 的中点， 所以渐近线与1PF 平行，所以21PF PF ⊥，
1
21
PF PF b k a PF ==，22
2214PF PF c += 所以212,2PF b PF a ==，又212PF PF a =+
所以222222224,4,4,5b a b a c a a c a ==-==，
所以2
25c a
=，离心率e =
【点睛】
此题考查求双曲线的离心率，关键在于根据题意找出等量关系，结合几何特征求解. 15．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是正方体棱上一点（不包括棱的端点），若满足1PA PC m +=点P 的个数为6，则m 的取值范围是______.
【答案】
【解析】根据1PA PC m +=分析点P 的轨迹为以1,A C 为焦点，长轴长为m 的椭圆绕长轴旋转而成的椭球表面，只需考虑椭球表面与正方体的棱的公共点情况即可得解. 【详解】
棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，体对角线1AC 点P 是正方体棱上一点（不包括棱的端点），
若m ≤，无解，
所以m >
1PA PC m +=点P 的轨迹为以1,A C 为焦点，长轴长为m 的椭圆
绕长轴旋转而成的椭球表面，满足条件的只有六个点，这六个点为椭球与正方体的棱的公共点（不包括棱的端点），根据对称性，这六个点分别在以A 为顶点的三条棱和以1C 为顶点的三条棱上.
2
<，解得m <
综上所述：m ∈
故答案为：
【点睛】
此题考查立体几何中的轨迹问题，关键在于熟练掌握椭圆的定义，进行等价转化求解.
16．直角坐标系上，有2019个非零向量1a u r ，2a u u r
，…，2019a u u u u r ，且()11,2,,2018k k a a k +⊥=⋅⋅⋅u u r u u u r
，各向量的横坐标和纵坐标均为非负实数，若
122019a a a l ++⋅⋅⋅+=u r u u r u u u u r （l 是常数），则122019a a a ++⋅⋅⋅+u r u u r u u u u r 的最小值是______.
【答案】
2
【解析】根据题意可得1a u r ，3a u u r
，…，2019a u u u u r 共线， 2a u u r ，4a u u r ，…，2018a u u u u r 共线，
(
)()
132019242018a a a a a a ++⋅⋅⋅+⊥++⋅⋅⋅+u r u u r u u u u r u u r u u r u u u u r ，122019a a a ++⋅⋅⋅+u r u u r u u u u r
可变形为
.
【详解】
2019个非零向量1a u r ，2a u u r ，…，2019a u u u u r
，且()11,2,,2018k k a a k +⊥=⋅⋅⋅u u r u u u r ，
各向量的横坐标和纵坐标均为非负实数，
1a u r ，3a u u r
，…，2019a u u u u r 共线， 2a u u r ，4a u u r ，…，2018a u u u u r 共线，
(
)(
)
132019242018a a a a a a ++⋅⋅⋅+⊥++⋅⋅⋅+u r u u r u u u u r u u r u u r u u u u r
先由基本不等式可得：222222
2,222a b ab a b ab a b +≥+≥++，
所以()2
222
a b a b ++≥
，当a =b 时，等号成立
所以()(
)
122019132019242018a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+u r u u r u u u u r u r u u r u u u u r u u r u u r u u
u u r
=
132019242018
2
2
a a a a a a ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+≥=
u r u u r u u u u r u u r u u r u u u u r ， 当且仅当132019242018a a a a a a ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+u r u u r u u u u r u u r u u r u u u u r
时等号成立.
所以122019a a a ++⋅⋅⋅+u r
u u r u u u u r
.
故答案为：2
【点睛】
此题考查利用平面向量数量积求模长的取值范围，关键在于准确识别向量间的关系，根
据位置关系表示模长，结合基本不等式求解最值，需要考虑等号成立的条件.
三、解答题
17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan tan cos cos A B
B A
+. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值． 【答案】（1）见解析；（2）
12
． 【解析】试题分析：（1）根据三角函数的基本关系式，可化简得
2(sin cos sin cos )sin sin A B B A A B +=+，再根据A B C π++=，即可得到
sin sin 2sin A B C +=，利用正弦定理，可作出证明；（2）由（1）2
a b
c +=，利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得cos C 的最小值. 试题解析：（1）由题意知，sin sin sin sin 2(
)cos cos cos cos cos cos A B A B
A B A B A B
+=+， 化简得：2(sin cos sin cos )sin sin A B B A A B +=+ 即2sin()sin sin A B A B +=+，因为A B C π++=，所以
sin()sin()sin A B C C π+=-=，
从而sin sin 2sin A B C +=，由正弦定理得2a b c +=.
（2）由（1）知，2
a b
c +=
，所以222
222
()3112cos ()22842
a b a b a b c b a C ab ab a b ++-+-===+-≥，当且仅当a b =时，等号成立，故cos C 的最小值为1
2
.
【考点】三角恒等变换的应用；正弦定理；余弦定理.
【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换的应用、正弦定理与余弦定理的应用，涉及到三角函数的基本关系式和三角形中的性质和基本不等式的应用，着重考查了转化与化归思想和学生的推理与运算能力，以及知识间的融合，属于中档试题，解答中熟记三角函数恒等变换的公式是解答问题的关键.
18．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>
的离心率为2
，点()01P ，
和点()A m n ，()0m ≠
都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；
（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得
OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ）2
212x y +=，(,0)1m M n
-；（Ⅱ）存在点Q 02±（，）
． 【解析】（Ⅰ）由于椭圆C ：()22
2210x y a b a b +=>>过点()01P ，
且离心率为22，2211,1,b b ==222c e a =222
21112a b a a -==-=，2
2a =，椭圆C 的方程为2212x y +=. (0,1),(,)P A m n Q ,直线PA 的方程为：11n y x m -=
+，令0,1m
y x n
==-，(,0)1m
M n
∴-；
（Ⅱ）(0,1),(,)P B m n -Q ，直线PB 的方程为：11n
y x m
+=+，直线PB 与x 轴交于点N ，令0,1m y x n ==+，则(
,0)1m
N n
+. 设0(0,)Q y
00
1tan (1)m
m
n OQM y n y -∠==-,00(1)
tan 1y y n ONQ m m n
+∠=
=+, ,tan tan OQM ONQ OQM ONQ ∠=∠∴∠=∠Q ,
则0
(1)m n y =-0(1)y n m +，所以22
2
02
2212
m m y m n ===-，（注：点()A m n ，()0m ≠在椭圆C 上，2
212
m n +=）
，则02y =±，存在点Q 02±（，）使得OQM ONQ ∠=∠. 【考点】1.求椭圆方程；2.求直线方程及与坐标轴的交点；3.存在性问题.
19．某校课外兴趣小组的学生为了给学校边的一口被污染的池塘治污，他们通过实验后决定在池塘中投放一种能与水中的污染物质发生化学反应的药剂．已知每投放
(14,)m m m R ≤≤∈且个单位的药剂，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（天）
变化的函数关系式近似为
，其中16
048(){154102
x x
f x x x ≤≤-=-<≤，，，．若多次投放，
则某一时刻水中的药剂浓度为各次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效治污的作用． (Ⅰ)若一次投放4个单位的药剂，则有效治污时间可达几天？ (Ⅱ)若第一次投放2个单位的药剂，6天后再投放个单位的药剂，要使接下来的4天
中能够持续有效治污，试求
的最小值．
【答案】（Ⅰ）有效治污的时间可达8天； （Ⅱ）m 的最小值为1
【解析】试题分析：（Ⅰ）先由4m =可得在水中释放的浓度64
(04)
{8202(410)
x y x x x ≤≤=--<≤再
分别分段求出水中药剂的浓度不低于4（克/升）时的天数，从而得出有效治污的时间可达8天；
（Ⅱ）先得出模型当610x ≤≤时，
11616162(5)[]1014428(6)1414m m y x m x x x x x
=⨯-
+=-+=-+-----，然后由基本不等式知1644y m m ≥=，再由844m ≥，解得1m ≥，即m 的最小值为1 .
试题解析：（I ）∵4m =∴64
(04)
{8202(410)
x y x x x ≤≤=--<≤． 2分
当04x ≤≤时，由
64
48x
≥-，解得8x ≥-，此时04x ≤≤； 当410x <≤时，由2024x -≥，解得8x ≤，此时48x <≤． 4分
综上，得08x ≤≤．故若一次投放4个单位的药剂，则有效治污的时间可达8天．6分 （II ）当610x ≤≤时，
11616162(5)[]1014428(6)1414m m y x m x x x x x
=⨯-
+=-+=-+-----，9分 又14[4,8]x -∈，[1,4]m ∈，则216484y m m ≥=． 当且仅当161414m
x x
-=
-，即144[4,8]x m -=时取等号. 令844m ≥，解得1m ≥，故所求m 的最小值为1 ． 14分
【考点】1.函数模型的应用；2.基本不等式的应用 20．设函数()2
f x x ax b =-+.
（1）讨论函数()sin f x 在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
内的单调性；
（2）记()2
000f x x a x b =-+，求函数()()0sin sin f x f x -在,22ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值
D ；
（3）在（2）中，取000a b ==，求2
4
a z
b =-满足1D ≤时的最大值.
【答案】（1）①当2a ≤-，b R ∈时，单调递增；②当2a ≥，b R ∈时，单调递减；③当22a -<<时， 0,2x x π⎛⎫∈-
⎪⎝⎭
时，单调递减，0,2x x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，单调递增；（2）
00D a a b b =-+-；（3）1
【解析】（1）根据复合函数单调性关系分类讨论即可得到单调性； （2）根据绝对值三角不等式
()()()000
sin sin sin f x f x a a x b b -=-+-()0000sin a a x b b a a b b ≤-+-≤-+-，即可得解；
（3）根据1D a b =+≤，21
11,01,044
a b a -≤≤≤≤≤≤即可求得最大值.
【详解】
（1）由题sin y x =在,22x ππ⎛⎫
∈-
⎪⎝
⎭单调递增， ①当2a ≤-，b R ∈时，()2
f x x ax b =-+在[]1,1x ∈-单调递增，(),,sin 1,122x x ππ⎛⎫
∈-∈- ⎪⎝⎭
， 所以()sin f x 在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
内单调递增；
②当2a ≥，b R ∈时，()2
f x x ax b =-+在[]1,1x ∈-单调递减，
(),,sin 1,122x x ππ⎛⎫
∈-∈- ⎪⎝⎭
， 所以()sin f x 在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
内单调递减；
③当22a -<<时，()2
f x x ax b =-+在[]01,sin x x ∈-单调递减，()2
f x x ax b =-+在
[]0sin ,1x x ∈单调递增，所以()sin f x 在 0,2x x π⎛⎫∈-
⎪⎝⎭
时，单调递减，0,2x x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，
单调递增；
综上所述：①当2a ≤-，b R ∈时，单调递增；②当2a ≥，b R ∈时，单调递减；③当22a -<<时， 0,2x x π⎛⎫∈-
⎪⎝⎭
时，单调递减，0,2x x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，单调递增；
（2）由题：,22x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦. ()()()000sin sin sin f x f x a a x b b -=-+-()0000sin a a x b b a a b b ≤-+-≤-+-，
当()()000,2
a a
b b x π
--≥=
等号成立；或当()()000,2
a a
b b x π
--≤=-
等号成立
所以其最大值00D a a b b =-+-；
（3）在（2）中，取000a b ==，1D ≤，即1D a b =+≤，
21
11,01,044
a b a -≤≤≤≤≤≤
所以2
14a z b =-≤，当0,1a b ==时取得等号.
所以2
4
a z
b =-的最大值为1.
【点睛】
此题考查求复合函数的单调性，涉及分类讨论二次函数区间定轴动的类型，涉及绝对值三角不等式求最值，根据不等式求最值需要注意考虑等号成立的条件. 21．如果数列{}n a 同时满足：（1）各项均不为0，（2）存在常数k, 对任意
*212,n n n n N a a a k ++∈=+都成立，则称这样的数列{}n a 为“类等比数列” .由此等比数
列必定是“类等比数列” .问：
（1）各项均不为0的等差数列{}n b 是否为“类等比数列”？说明理由.
（2）若数列{}n a 为“类等比数列”，且12,a a a b ==(a ，b 为常数)，是否存在常数λ，使得21n n n a a a λ+++=对任意*n N ∈都成立？若存在，求出λ；若不存在，请举出反例．
（3）若数列{}n a 为“类等比数列”，且12,a a a b ==，22k a b =+(a ，b 为常数)，求数列
的前n 项之和n S ；数列{}n S 的前n 项之和记为
，求43()k T k N *
-∈.
【答案】（1）是，（2）
，（3）2()(1).a b k a +-+
【解析】【详解】试题分析：（1）解决新定义问题，关键根据“定义”列条件，根据“定义”判断. 因为{}n b 为各项均不为0的等差数列，故可设n b dn b =+（d 、b 为常数），由
212n n n b b b k ++=+得[][]2
(1)()(2)d n b dn b d n b k ++=++++得2k d =为常数，所以
各项均不为0的等差数列{}n b 为“类等比数列”，（2）存在性问题，通常从假设存在出发，列等量关系，将是否存在转化为对应方程是否有解. 先从必要条件入手
2
212213113222a k
a a a a a
b k a a a a a ab
λλ-+
++-+=⇒===
，再从充分性上证明：因为
所以2
11,n n n a a a k -+=+所以
即
得
所以
而
（3）由（2）易得20n n a a ++=，
均为公比为
的等比数列，1
2
1
2(1),{(1)
,n n n
a n a
b n ---=-为奇数
为偶数
，，
434441422()0()k k k k k T T S S S a b k b a b ---=---=+---+2()(1)a b k a =+-+
[解] （1）因为{}n b 为各项均不为0的等差数列，故可设n b dn b =+（d 、b 为常数）
由2
12n n n b b b k ++=+得[][]2
(1)()(2)d n b dn b d n b k ++=++++
得2k d =为常数，所以各项均不为0的等差数列{}n b 为“类等比数列”
（2）存在常数使
（或从必要条件入手
2
21221
3113222a k a a a a a b k a a a a a ab
λλ-+
++-+=⇒===
） 证明如下：因为所以2
11,2,*n n n a a a k n n N -+=+≥∈
所以
即
由于0,n a ≠此等式两边同除以
得8分
所以
即当*n N ∈都有
因为
所以
所以
所以对任意*n N ∈都有此时
（3）
均为公比为
的等比数列
1
2
1
2(1),{(1),n n n
a n a
b n ---=-为奇数为偶数
434441422()0()k k k k k T T S S S a b k b a b ---=---=+---+2()(1)a b k a =+-+。