黑龙江省佳木斯市2021届数学高二上学期期末学业水平测试试题

黑龙江省佳木斯市2021届数学高二上学期期末学业水平测试试题
一、选择题 1．已知，
，若
，则的值是（ ）
A.-1
B.1
C.-4
D.4 2．复数2i z =-的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3．在平面几何里有射影定理：设三角形ABC 的两边AB ⊥AC ，D 是A 点在BC 上的射影，则AB 2=BD•BC．拓展到空间，在四面体A-BCD 中，AD ⊥面ABC ，点O 是A 在面BCD 内的射影，且O 在△BCD 内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（ ） A.2ABC BCO BCD S S S =⋅ B.2ABD BOD BOC
S S S =⋅
C.2ADC
DOC
BOC
S
S
S
=⋅
D.2BDC
ABD
ABC S
S
S
=⋅
4．函数()ln 3f x x x =+-的零点所在的区间是( ) A ．()0,1
B ．()1,2
C ．()2,3
D ．()3,4
5．下列导数运算正确的是（ ） A ．1
()x
x a xa -='
B ．(sin cos )cos 2x x x ='⋅
C ．1(lg )x x
'=
D ．1
2
()x x --'=
6．定义22⨯矩阵12
142334
[]=a a a a a a a a -，若22cos sin 3()cos(2)12x x
f x x π⎡⎤
-⎢⎥=⎢⎥
+⎢⎥⎣
⎦
，则()f x 的图象向右平移3π个
单位得到函数()g x ，则函数()g x 解析式为（ ） A ．()22g x cos x =- B ．()2sin 2g x x =-
C ．()2sin(2)6
g x x π
=- D ．()2(2)6
g x cos x π
=--
7．在极坐标系中，圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）
A ．和
B ．和
C ．
和
D ．
和
8．已知函数()()sin 02f x x ωω=<<的图象关于直线34
x π
=对称，则（ ） A.()f x 在30,
4π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减 B.()f x 在33,42ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣
⎦上单调递增 C.()f x 在,4ππ⎡
⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减
D.()f x 在3,04π⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增 9．若函数f （x ）=()(0)20lgx x x x >⎧≤⎨⎩
，则f （f （1
100））=（ ）
A ．4
B ．4-
C ．
1
4
D ．14
-
10．若集合{0,1,2,3},{1,2,4},A B C A B ===⋂，则C 的子集共有（ ）
A ．6个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
11．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin 1sin sin A b
B C a c
+=++，则C 为（ ）
A.6
π B.
3
π C.
23
π D.
56
π 12．三位男同学和两位女同学随机排成一列，则女同学甲站在女同学乙的前面的概率是（） A.
12
B.
25
C.
13
D.
23
二、填空题
13．函数1
lg(3)4y x x
=-+
-的定义域为__________． 14．若回归直线y b x a ∧
∧
∧
=+的斜率估值为1.23，样本中心点为(4,5)，当2x =时，估计y 的值为___． 15．点P 是边长为2的正方形ABCD 的内部一点，||1AP =，若(,)AP AB AD R λμλμ=+∈，则
λμ+的取值范围为___.
16．直三棱柱ABC-A 1B 1C 1，内接于球O ，且AB ⊥BC ，AB=3．BC=4．AA 1=4，则球O 的表面积______． 三、解答题 17．如图，直角梯形中，，
，
，
，
底
面
，
底面
且有
.
（1）求证：；
（2）若线段
的中点为
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
18．有甲、乙两个游戏项目，要参与游戏，均需每次先付费元（不返还），游戏甲有种结果：可能
获得
元，可能获得
元，可能获得元，这三种情况的概率分别为
，
，
；游戏乙有种结果：
可能获得元，可能获得元，这两种情况的概率均为.
（1）某人花元参与游戏甲两次，用
表示该人参加游戏甲的收益（收益=参与游戏获得钱数-付费钱
数），求
的概率分布及期望；
（2）用表示某人参加次游戏乙的收益，为任意正整数，求证：的期望为.
19．“微信运动”是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己及好友每日行走的步数、排行榜，也可以与其他用户进行运动量的
或点赞.现从某用户的
“微信运动”朋友圈中随机选取40人，记录他们某一天的行走步数，并将数据整理如下： 步数/步 0～2000 2001～5000 5001～8000 8001～10000 10000以上 男性人数/人 1 6 9 5 4 女性人数/人
3
6
4
2
（1）将这40人中“运动型”用户的频率看作随机抽取1人为“运动型”用户的概率.从该用户的“微信运动”朋友圈中随机抽取4人，记为“运动型”用户的人数，求和的数学期望；
（2）现从这40人中选定8人（男性5人，女性3人），其中男性中“运动型”有3人，“懈怠型”有2人，女性中“运动型”有2人，“懈怠型”有1人.从这8人中任意选取男性3人、女性2人，记选到“运动型”的人数为，求的分布列和数学期望.
20．某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，它的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某实验基地为了研究海水浓度对亩产量(吨)的影响,通过在试验田的种植实验,测得了该农作物的亩产量与海水浓度的数据如下表：
海水浓度
亩产量（吨）
残差
绘制散点图发现,可以用线性回归模型拟合亩产量(吨)与海水浓度之间的相关关系，用最小二乘法计算得与之间的线性回归方程为.
（1）求的值；
（2）统计学中常用相关指数来刻画回归效果，越大，回归效果越好，如假设，就说
明预报变量的差异有是解释变量引起的.请计算相关指数(精确到),并指出亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的？
（附：残差，相关指数，其中）
21．2017年10月9日，教育部考试中心下发了《关于年普通高考考试大纲修订内容的通知》，在各科修订内容中明确提出，增加中华优秀传统文化的考核内容，积极培育和践行社会主义核心价值观，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用.鞍山市教育部门积极回应，编辑传统文化教材，在全是范围内开设书法课，经典诵读等课程.为了了解市民对开设传统文化课的态度，教育机构随机抽取了位市民进行了解，发现支持开展的占，在抽取的男性市民人中支持态度的为人.
支持不支持合计
男性
女性
合计
（1）完成列联表
（2）判断是否有的把握认为性别与支持有关？
附：.
22．已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式对于恒成立,求实数的取值范围. 【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C A A C B A B D C B B A
二、填空题
13．(3,4).
14．54
15．(12 ,
22
]
16．41
三、解答题
17．(1)证明见解析；(2).
【解析】
试题分析：（1）根据线段长度的关系得到，，、是平面内的相交直线，平面，进而得到线线垂直；（2）常用的方法是建系，建立空间坐标系，求得直线的方向向量和面的法向量，根据向量的夹角公式得到线面角.
解析：
（1），
，且是等腰直角三角形，
平面中，，
，可得
，即
底面，底面，
、是平面内的相交直线，平面
平面，
（2）解法一：几何法
如图，过点作，垂足为，连接，，
，，，平面，
平面，
结合且，可得平面
是在平面内的射影，
可得就是直线与平面所成的角.
中，，
中，
，，，可得
因此，在中，
即直线与平面所成角的正弦值是.
解法二：向量法
如图，以点为坐标原点，直线为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，
所以：
设平面的一个法向量为，由
可取
设直线与平面所成角为，则
.
18．（1）分布列见解析，期望为；（2）见解析．
【解析】
分析：（1）表示该人参加游戏甲的收益，可能取值为，，，，
分布列为：
（2）用表示某人参加次游戏乙的收益可能取值为，，，…，
，…（且），每次独立，获奖的概率为.满足二项分布。

详解：（1）则的所有可能取值为，，，，，
，，
，，
，
；
（2）证明：的所有可能取值为，，，…，，…（且），
（且），
，
，
两式相加即得
，
所以.
点睛：（1）离散型随机变量的分布列，根据题意，搞清随机变量的最小值和最大值，其它值随之确定。

（2）根据题意，要能判断出是否为二项分布，抓题目的关键词：事件相互独立（放回），每次事件成功的概率相等.
（3）二项分布的期望公式，方差
19．（1），（2）分布列见解析，
【解析】
分析：（1）由题意可知，“运动型”的概率为，且 ,由此可求求和
的数学期望；
（2）由题意可知，的所有取值为，求出相应的概率，即可得到的分布列和数学期望.
详解：
（1）由题意可知，“运动型”的概率为，
且 ,则，
.
（2）由题意可知，的所有取值为，
相应的概率分别为：
,，
，，
所以的分布列为：
2 3 4 5
.
点睛：本题考查二项分布，超几何分布及其期望，属基础题.
20．（1）；（2）.
【解析】
分析：（1）先求出，再代入方程即得的值；再求，最后利用残差定义求m,n.(2)直接利用相关指数公式求相关指数，并指出亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的.
详解：（1）因为,
,
所以，即,
所以线性回归方程为,
所以,
.
（2）,
所以相关指数,
故亩产量的变化有是由海水浓度引起的.
点睛：（1）本题主要考查回归方程的性质和残差，考查相关指数，意在考查学生对这些知识的掌握水平
和计算能力.(2) 称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心.
21．(1)列联表见解析.
(2) 有的把握认为性别与支持有关.
【解析】
分析：（1）先由题得到抽取的男性市民为人，持支持态度的为人，男性公民中持支持态度的为人，再完成2×2列联表.(2)先计算,再判断是否有的把握认为性别与支持有关.
详解：（1）抽取的男性市民为人，持支持态度的为人，男性公民中持支持态度的
为人，列出列联表如下：
支持不支持合计
男性
女性
合计
（2）
所以有的把握认为性别与支持有关.
点睛：本题主要考查列联表和独立性检验，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力. 22．（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）绝对值函去绝对值得到分段函数，得的解集为；（2）由题意得，，即
，解得。

试题解析：
（1）依题意，故不等式的解集为
（2）由（1）可得，当时，取最小值，对于恒成立，
∴，即，∴，
解之得，∴实数的取值范围是
点睛：绝对值函数基本处理技巧就是去绝对值，得到分段函数，本题中再进行分段解不等式，得到答
案；任意型恒成立问题得到，由分段函数分析得到，所以
，解得答案。