四川省雅安市中里中学高三数学理模拟试题含解析

四川省雅安市中里中学高三数学理模拟试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列关于命题的说法错误的是( )
A．命题“若，则”的逆否命题为“若，则”；
B．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件；
C．若命题：，则：；
D．命题“”是真命题．
参考答案：
D
【知识点】命题及其关系A2
因为命题“若x2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2-3x+2≠0”，所以A正确；由a=2能得到函数f（x）=log a x在区间（0，+∞）上为增函数，反之，函数f（x）=log a x在区间（0，
+∞）上为增函数，a不一定大于2，所以“a=2”是“函数f（x）=log a x在区间（0，+∞）上为增函数”的充分不必要条件，所以选项B正确；命题P：n∈N，2n＞1000，的否定为￢P：n∈N，
2n≤1000，所以C正确；因为当x＜0时恒有2x＞3x，所以命题“x∈（-∞，0），2x＜3x”为假命题，所以D不正确
【思路点拨】选项A是写一个命题的逆否命题，只要把原命题的结论否定当条件，条件否定当结论即可；选项B看由a=2能否得到函数f（x）=log a x在区间（0，+∞）上为增函数，反之又是否成立；选项C、D是写出特称命题的否定，注意其否定全称命题的格式．
2. 在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以O为始边，OP为终边，若，则P所在的圆弧是
（A）（B）（C）（D）参考答案：
C
分析：逐个分析A、B、C、D四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.
详解：由下图可得：有向线段OM为余弦线，有向线段MP为正弦线，有向线段AT为正切线.
A选项：当点P在弧AB上时，，
，故A选项错误；
B选项：当点P在弧CD上时，，，
，故B选项错误；
C选项：当点P在弧EF上时，，，
，故C选项正确；
D选项：点P在弧GH上且弧GH在第三象限，，故D选项错误.
综上，故选C.
3. 已知函数y=Asin（ωx+φ）+m的最大值为4，最小值为0，两个对称轴间的最短距离为，直线
是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
B
【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【分析】由题意可得A+m=4，A﹣m=0，解得 A 和m的值，再根据周期求出ω，根据函数图象的对称轴及φ的范围求出φ，从而得到符合条件的函数解析式．
【解答】解：由题意m=2．A=±2，
再由两个对称轴间的最短距离为，可得函数的最小正周期为π可得，解得ω=2，
∴函数y=Asin（ωx+φ）+m=±2sin（2x+φ）+2．
再由是其图象的一条对称轴，可得+φ=kπ+，k∈z，即φ=kπ，故可取φ=，
故符合条件的函数解析式是 y=﹣2sin（2x+）+2，
故选B
【点评】本题主要考查利用y=Asin（ωx+?）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+?）的部分图象求解析式，属于中档题．
4. 为了得到函数的图像，只需把函数的图像( )
A.向左平移个长度单位
B.向右平移个长度单位
C.向左平移个长度单位
D.向右平移个长度单位
参考答案：
B
5. 定义，若，则（）．
参考答案：
C
6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
7. 已知z是复数，i是虚数单位，若zi=1+i，则z=( )
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
参考答案：
B
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的运算法则即可得出．
解答：解：∵zi=1+i，
∴﹣i?zi=﹣i（1+i），
∴z=﹣i+1．
故选：B．
点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．
8. 设命题，则是
A. B.
C. D.
参考答案：
C
由含有一个量词的命题的否定. 故选C.
9. △ABC中，AB边的高为CD，若=，=，?=0，||=1，||=2，则=( ) A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】平面向量的综合题．
【分析】由题意可得，CA⊥CB，CD⊥AB，由射影定理可得，AC2=AD?AB可求AD，进而可求，从而可求与的关系，进而可求
【解答】解：∵?=0，
∴CA⊥CB
∵CD⊥AB
∵||=1，||=2
∴AB=
由射影定理可得，AC2=AD?AB
∴
∴
∴==
故选D 【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理的应用，向量的基本运算的应用，向量的数量积的性质的应用．
10. 设等比数列的公比为，前项和为，且。

若，则的取值范围是
（）
A．B．
C．D．
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若一个长、宽、高分别为4，3，2的长方体的每个顶点都在球的表面上，则此球的表面积
为．
参考答案：
29π
12. 在平面向量中，已知，.如果，那么；如果，那么 .
参考答案：
；
考点：数量积及其应用
因为，所以，
因为，所以，即，
所以，即，所以
13. 已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：
①f（2）=0；
②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[8，10]单调递增；
④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．
上述命题中所有正确命题的序号为．
参考答案：
①②④
【考点】命题的真假判断与应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据f（x）是定义在R上的偶函数，及在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2可得f（﹣2）=f（2）=0，从而有f（x+4）=f（x），故得函数f（x）是周期为4的周期函数，再结合y=f（x）单调递减、奇偶性画出函数f（x）的简图，最后利用从图中可以得出正确的结论．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
可得f（﹣2）=f（2），
在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2得
f（2）=f（﹣2）+f（2），
∴f（﹣2）=f（2）=0，
∴f（x+4）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，又当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，结合函数的奇偶性画出函数f（x）的简图，如图所示．
从图中可以得出：
②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[8，10]单调递减；
④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．
故答案为：①②④．【点评】本题考查函数奇偶性的性质，函数奇偶性的判断，考查学生的综合分析与转化能力，属于难题．
14. 给出定义：若（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m．在此基础上给出下列关于函数的四个论断：
①；②
③④的定义域为R，值域是[一]．
则其中论断正确的序号是（）
（A）①②（B）①③（C）②④（D）③④
参考答案：
B
略
15. 对于下列命题：
①函数在区间内有零点的充分不必要条件是；
②已知是空间四点，命题甲：四点不共面，命题乙：直线和不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件；
③“”是“对任意的实数，
恒成立”的充要条件；
④“
”是“方程
表示双曲线”的充分必要条件．
其中所有真命题的序号是 .
参考答案：
①②④ 略
16. 己知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺 寸（单位cm ），可得这个几何体的体积是----_________
．
参考答案：
略
17. 正四面体S —ABC 中，E 为SA 的中点，F 为的中心，则直线EF 与平面ABC 所成
的角的正切值是。

参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72
分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分） 如图所示，在直三棱柱中，底面的棱
， 且
．点
、
在侧棱
上，且
.
（1）证明：平面； （2）求点
到平面
的距离．
参考答案：
19. 某公司A产品生产的投入成本x（单位：万元）与产品销售收入y（单位：十万元）存在较好的线性关系，下表记录了该公司最近8次该产品的相关数据，且根据这8组数据计算得到y关于x的线性
回归方程为．
（1）求的值（结果精确到0.0001），并估计公司A产品投入成本30万元后产品的销售收入（单位：十万元）．
（2）该公司B产品生产的投入成本u（单位：万元）与产品销售收入v（单位：十万元）也存在较好的线性关系，且v关于u的线性回归方程为．
（i）估计该公司B产品投入成本30万元后的毛利率（毛利率）；
（ii）判断该公司A，B两个产品都投入成本30万元后，哪个产品的毛利率更大．
参考答案：
（1）；产品投入成本30万元后的收入估计值为（单位：十万元）.（2）（i ）
产品投入成本30万元后的毛利率为40%；（ii ）产品投入成本30万元后的毛利率的毛利率更大. 【分析】
（1）将代入回归直线方程，求得，并由此对销售收入进行估计.
（2）
（i）根据毛利率的计算公式，计算出产品投入成本万元后的毛利率.
（ii）根据毛利率的计算公式，计算出产品投入成本万元后的毛利率，由此判断出毛利率更大的产品.
【详解】（1）依题意，
，
代入回归直线方程，得
，
解得，所以，
令，可得（单位：十万元）
（2）
（i）由于，
所以当时，（单位：十万元），
故毛利率为.
（ii）由（1）得当时，（单位：十万元），
故毛利率为
所以产品的毛利率更大.
【点睛】本小题主要考查回归直线方程的求法，考查利用回归直线方程进行估计，考查运算求解能力，属于中档题.
20. 设无穷数列的首项，前项和为（），且点在直线
上（为与无关的正实数）．
（1）求证：数列（）为等比数列；
（2）记数列的公比为，数列满足
，设
，求数列的前项和
；
（3）（理）若（1）中无穷等比数列
（
）的各项和存在，记
，求函数
的值域.
参考答案：
21. （本小题满分10分）
如图，已知AP 是圆O 的切线，P 为切点，AC 是圆O 的割线，与圆O 交于B,C 两点，圆心O 在的内部，点M 是BC 中点.
（1） 证明：A,P,O,M 四点公园共圆；（2）求
的大小.
参考答案：
【知识点】几何证明选讲. N1
【答案解析】(1)略；（2）.
解析：（1）证明：连接OP,OM.因为AP与圆O相切于点P,所以.
因为M是圆O的弦BC的中点，所以.于是由圆心O在的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A,P,O,M四点共圆. -------5分
（2）由（1）得A,P,O,M四点共圆，所以.由（1）得,
由圆心O在的内部，可知,
所以. -----------10分
【思路点拨】（1）根据对角互补的四边形由外接圆，证明A,P,O,M四点共圆；
（2）由同弧所对圆周角相等得.又,由圆心O在的内部，可知,所以.
22. 已知数列{a n}的前n项和．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若b n=a n+log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．
参考答案：
（1）；（2）
【分析】
（1）利用a n与S n的关系可求出数列的通项公式；
（2）由（1）得b n=a n+log2a n=4n+2n，故利用分组求和法即可求出数列的和.
【详解】（1）因为数列{a n}的前n项和，
当n≥2时，，
两式相减得，
当n=1时，，满足上式，
故；
（2）由（1）得b n=a n+log2a n=4n+2n，所以==．
【点睛】本题考查数列的通项公式的求法及应用，分组法求数列的和，着重考查学生的运算能力、转化能力和思维能力，注意过程的规范性书写，属中档题．。