人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件4：1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
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(2)﹁ q：存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或
没有外接圆，假命题．
(3)﹁ r：所有三角形的内角和小于或等于180°，真命题．
(4)﹁ s：所有的质数都不是奇数，假命题．
迁移体验3 对下列命题的否定，说法错误的是(
A．p：能被3整除的整数是奇数
﹁ p：存在一个能被3整除的整数不是奇数
B．p：每一个四边形的四个顶点共圆
﹁ p：存在一个四边形的四个顶点不共圆
C．p：有的三角形为正三角形
﹁ p：所有的三角形都不是正三角形 NhomakorabeaD．p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0
﹁ p：当x2＋2x＋2>0时，x∈R
)
【解析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，
存在量词命题的否定是全称命题可知，选项D中，p
的否定应为： ﹁ p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0.
解：(1)∀x∈R，|x＋1|>1；
(2)∀x∈R，x2＋3x－4>0.
类型三
例3
两种命题的综合
写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)p：对任意的正数x， >x－1；
(2)q：三角形有且仅有一个外接圆；
(3)r：存在一个三角形，它的内角和大于180°；
(4)s：有些质数是奇数．
解：(1)﹁ p：存在正数x，使 ≤x－1，真命题．
∀x∈M，﹁ p(x)．存在量词命题的否定是全称量词命
题．如：“存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0”的否定为
“对所有实数x，都有x2＋x＋1>0”，其中，把存在量词
“存在一个”变为全称量词“对所有的”．
思考感悟
对省略量词的命题怎样否定？
提示：对于含有一个量词的命题，容易知道它是全
称量词命题或存在量词命题．一般地，省略了量词
(2)每个二次函数的图象都开口向下；
(3)任何一个平行四边形的对边都平行；
(4)负数的平方是正数．
解：(1)是全称量词命题且为真命题．
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一
个三角形且它的内角和不等于180°.
(2)是全称量词命题且为假命题．
命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．
1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
目标导航
1.能正确的对含有一个量词的命题进行否定．
2.知道全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量
词命题的否定是全称量词命题.
新知预习
1．全称量词命题的否定：
一般地，对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下
面的结论：全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁ p：
(3)是全称量词命题且为真命题．
命题的否定：存在一个平行四边形的对边不都平行．
(4)是全称量词命题且为真命题．命题的否定：某个
负数的平方不是正数．
迁移体验1
写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)任何一个素数是奇数．
(2)所有的矩形都是平行四边形．
(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解．
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
∃x0∈M，﹁ p(x0)．全称量词命题的否定是存在量词命
题．如：“所有的正方形都是矩形”的否定为“至少存在
一个正方形不是矩形”．其中，把全称量词“所有的”变
为存在量词“至少存在一个”．
2.存在量词命题的否定：
一般地，对于含一个量词的存在量词命题的否定，有下面
的结论：存在量词命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定﹁ p：
解：(1)﹁ p：∀x>1，x2－2x－3≠0.
(2)﹁ p：若an＝－2n＋10，则∀n∈N，有Sn≥0.
(3)﹁ p：a、b是异面直线，则∀A∈a，B∈b，有AB不
与a垂直，或不与b垂直．
迁移体验2
写出下列存在量词命题的否定：
(1)∃x0∈R，|x0＋1|≤1；
(2)∃x0∈R，x＋3x0－4≤0.
末位不是0，因为15能被5整除，其末位为5，因此其
否定是真命题．
类型二
例2
存在量词命题的否定
写出下列存在量词命题的否定：
(1)p：∃x0>1，使02 －2x0－3＝0.
(2)p：若an＝－2n＋10，则∃n0∈N，使Sn0<0.
(3)p：a、b是异面直线，∃A0∈a，B0∈b，
使A0B0⊥a，A0B0⊥b.
【答案】D
类型四
例4
求参数的取值范围
若r(x)：sinx＋cosx>m，s(x)：x2＋mx＋1>0，如
果∀x∈R，r(x)为假命题且s(x)为真命题，求实数m的
取值范围．
解：由于sinx＋cosx＝
π
2sin(x＋ )∈[－
故选C.
【答案】C
2．命题“存在x0∈R，20 ≤0”的否定是(
)
A．不存在x0∈R，20 >0
B．存在x0∈R，2x≥0
C．对任意的x0∈R，2x≤0
D．对任意的x∈R，2x>0
【解析】原命题为存在量词命题，其否定为全称量词命题．
【答案】D
3．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是
解：(1)是全称量词命题，其否定为：存在一个素数，
它不是奇数，因为2是素数，而不是奇数，所以其否
定是真命题．
(2)是全称量词命题，其否定为：存在一个矩形，它
不是平行四边形，假命题．
(3)是全称量词命题，其否定为：∃a，b∈R，使方程
ax＝b的解不惟一，真命题．
(4)是全称量词命题，其否定为：存在被5整除的整数，
的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，
它的否定是存在量词命题．
尝试应用
1．命题：“∀ x∈R，都有 x2－x＋1>0”的否定是(
A．∀ x∈R，都有 x2－x＋1≤0
B．∃ x0∈R，使 x20－x0＋1>0
C．∃ x0∈R，使 x20－x0＋1≤0
D．以上均不正确
)
【解析】原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，
(4)∃x∈R，x2＋1<0.
解：(1)否定：有的矩形不是平行四边形．
(2)否定：∃x∈R，x2－2x＋1<0.
(3)否定：任意实数的绝对值都不是正数．
(4)否定：∀x∈R，x2＋1≥0.
典例精析
类型一
例1
全称量词命题的否定
判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)三角形的内角和为180°；
________．
【答案】对于任意的x∈R，都有x2＋2x＋5≠0
4．命题“∀x∈R，3x2－2x＋1>0”的否定是
__________．
【答案】∃x∈R，3x2－2x＋1≤0
5．写出下列命题的否定．
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)∀x∈R，x2－2x＋1≥0；
(3)有些实数的绝对值是正数；
没有外接圆，假命题．
(3)﹁ r：所有三角形的内角和小于或等于180°，真命题．
(4)﹁ s：所有的质数都不是奇数，假命题．
迁移体验3 对下列命题的否定，说法错误的是(
A．p：能被3整除的整数是奇数
﹁ p：存在一个能被3整除的整数不是奇数
B．p：每一个四边形的四个顶点共圆
﹁ p：存在一个四边形的四个顶点不共圆
C．p：有的三角形为正三角形
﹁ p：所有的三角形都不是正三角形 NhomakorabeaD．p：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0
﹁ p：当x2＋2x＋2>0时，x∈R
)
【解析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，
存在量词命题的否定是全称命题可知，选项D中，p
的否定应为： ﹁ p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0.
解：(1)∀x∈R，|x＋1|>1；
(2)∀x∈R，x2＋3x－4>0.
类型三
例3
两种命题的综合
写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)p：对任意的正数x， >x－1；
(2)q：三角形有且仅有一个外接圆；
(3)r：存在一个三角形，它的内角和大于180°；
(4)s：有些质数是奇数．
解：(1)﹁ p：存在正数x，使 ≤x－1，真命题．
∀x∈M，﹁ p(x)．存在量词命题的否定是全称量词命
题．如：“存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0”的否定为
“对所有实数x，都有x2＋x＋1>0”，其中，把存在量词
“存在一个”变为全称量词“对所有的”．
思考感悟
对省略量词的命题怎样否定？
提示：对于含有一个量词的命题，容易知道它是全
称量词命题或存在量词命题．一般地，省略了量词
(2)每个二次函数的图象都开口向下；
(3)任何一个平行四边形的对边都平行；
(4)负数的平方是正数．
解：(1)是全称量词命题且为真命题．
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一
个三角形且它的内角和不等于180°.
(2)是全称量词命题且为假命题．
命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．
1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
目标导航
1.能正确的对含有一个量词的命题进行否定．
2.知道全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量
词命题的否定是全称量词命题.
新知预习
1．全称量词命题的否定：
一般地，对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下
面的结论：全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁ p：
(3)是全称量词命题且为真命题．
命题的否定：存在一个平行四边形的对边不都平行．
(4)是全称量词命题且为真命题．命题的否定：某个
负数的平方不是正数．
迁移体验1
写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)任何一个素数是奇数．
(2)所有的矩形都是平行四边形．
(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有惟一解．
(4)可以被5整除的整数，末位是0.
∃x0∈M，﹁ p(x0)．全称量词命题的否定是存在量词命
题．如：“所有的正方形都是矩形”的否定为“至少存在
一个正方形不是矩形”．其中，把全称量词“所有的”变
为存在量词“至少存在一个”．
2.存在量词命题的否定：
一般地，对于含一个量词的存在量词命题的否定，有下面
的结论：存在量词命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定﹁ p：
解：(1)﹁ p：∀x>1，x2－2x－3≠0.
(2)﹁ p：若an＝－2n＋10，则∀n∈N，有Sn≥0.
(3)﹁ p：a、b是异面直线，则∀A∈a，B∈b，有AB不
与a垂直，或不与b垂直．
迁移体验2
写出下列存在量词命题的否定：
(1)∃x0∈R，|x0＋1|≤1；
(2)∃x0∈R，x＋3x0－4≤0.
末位不是0，因为15能被5整除，其末位为5，因此其
否定是真命题．
类型二
例2
存在量词命题的否定
写出下列存在量词命题的否定：
(1)p：∃x0>1，使02 －2x0－3＝0.
(2)p：若an＝－2n＋10，则∃n0∈N，使Sn0<0.
(3)p：a、b是异面直线，∃A0∈a，B0∈b，
使A0B0⊥a，A0B0⊥b.
【答案】D
类型四
例4
求参数的取值范围
若r(x)：sinx＋cosx>m，s(x)：x2＋mx＋1>0，如
果∀x∈R，r(x)为假命题且s(x)为真命题，求实数m的
取值范围．
解：由于sinx＋cosx＝
π
2sin(x＋ )∈[－
故选C.
【答案】C
2．命题“存在x0∈R，20 ≤0”的否定是(
)
A．不存在x0∈R，20 >0
B．存在x0∈R，2x≥0
C．对任意的x0∈R，2x≤0
D．对任意的x∈R，2x>0
【解析】原命题为存在量词命题，其否定为全称量词命题．
【答案】D
3．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是
解：(1)是全称量词命题，其否定为：存在一个素数，
它不是奇数，因为2是素数，而不是奇数，所以其否
定是真命题．
(2)是全称量词命题，其否定为：存在一个矩形，它
不是平行四边形，假命题．
(3)是全称量词命题，其否定为：∃a，b∈R，使方程
ax＝b的解不惟一，真命题．
(4)是全称量词命题，其否定为：存在被5整除的整数，
的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，
它的否定是存在量词命题．
尝试应用
1．命题：“∀ x∈R，都有 x2－x＋1>0”的否定是(
A．∀ x∈R，都有 x2－x＋1≤0
B．∃ x0∈R，使 x20－x0＋1>0
C．∃ x0∈R，使 x20－x0＋1≤0
D．以上均不正确
)
【解析】原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，
(4)∃x∈R，x2＋1<0.
解：(1)否定：有的矩形不是平行四边形．
(2)否定：∃x∈R，x2－2x＋1<0.
(3)否定：任意实数的绝对值都不是正数．
(4)否定：∀x∈R，x2＋1≥0.
典例精析
类型一
例1
全称量词命题的否定
判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)三角形的内角和为180°；
________．
【答案】对于任意的x∈R，都有x2＋2x＋5≠0
4．命题“∀x∈R，3x2－2x＋1>0”的否定是
__________．
【答案】∃x∈R，3x2－2x＋1≤0
5．写出下列命题的否定．
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)∀x∈R，x2－2x＋1≥0；
(3)有些实数的绝对值是正数；